«ТИПИЧНО ВЕЩЕСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ»

в области В- функция f(z), аналитическая в нек-рой области Вплоскости z, содержащей отрезки вещественной оси, если она вещественна на этих отрезках и Im f(z)x Im z>0 при Основной класс Т. в. ф.- класс Тфункций

регулярных и типично вещественных в круге|z|<l (см. [1]). Из определения класса Тследует, что с _п, вещественны. Класс Тсодержит класс S_r функций

с вещественными коэффициентами с _п, регулярных и однолистных в|z|<l. Если то

и, обратно, если то

где С _r - класс функций

регулярных в в|z|<1, и таких, что

вещественны.

Пусть М ₁ - класс функций неубывающих на [-1, 1] и таких, что Класс Тпредставим в|z|<l интегралом Стилтьеса (см. [2]):

в том смысле, что для каждой функции найдется функция такая, что справедлива формула (1), и, обратно, какую бы ни взять, формула (1) определяет нек-рую функцию при любом фиксированном Наибольшей областью, в к-рой все функции класса Тоднолистны, является Исходя из представления (1) на классе Тбыл получен ряд теорем искажения и вращения (см. Искажения теоремы, Вращения теоремы). Для класса Тсправедливы точные оценки:

если nнечетно

знак равенства в (2) слева достигается только для s(z, -1), справа - только для s(z, 1), в (3) слева - только для функций при нек-ром справа - только для

На классе Тнайдены области значений систем {с _2, c₃,..., с _n}, {f(z)}, {f(z), с ₂, с ₃,..., с _п}, (см. [3], с. 589-90).

Лит.:[1] Rogosinski W., лMath. Z.