«Аналитическая геометрия»

см. Геометрия.

раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат (см. ниже) и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчётливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ А. г. было сделано P. Декартомв его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка А. г. связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера.Средствами А. г. пользовался Ж. Лагранжпри построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. Ныне А. г. не имеет самостоятельного значения как наука, однако её методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и др. наук.

Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, например, на плоскости π две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Оу (рис. 1). Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат О и выбранной масштабной единицей е образуют т. н. декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ox и Оу называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Охуможно определить следующим образом. Пусть M_x и M_y — проекции М на Ox: и Оу,а числа хиy — величины отрезков OM_xи ОМ_у (величина х отрезка OM_x, например, равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к M_xсовпадает с направлением на прямой Ox,и со знаком минус в противоположном случае). Числа х и у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М в системе Оху. Обычно они называются соответственно абсциссой и ординатой точки M. Для обозначения точки М с абсциссой х и ординатой у пользуются символом М(х,у). Ясно, что координаты точки М определяют её положение относительно системы Оху.

Пусть на плоскости π с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана некоторая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии L относительно системы Оху как соотношения вида F(x,y)= 0, которому удовлетворяют координаты х и у любой точки M, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L. Если, например, линия L является окружностью радиуса R с центром в начале координат O, то уравнение x²+ y² — R² =0будет уравнением рассматриваемой окружности, в чём можно убедиться, обратившись к рис. 2. Если точка М лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника OMM_x получается x² + y² — R² = 0. Если же точка не лежит на окружности, то, очевидно, x² + y²— R²≠0. Итак, линии Lна плоскости можно сопоставить её уравнение F(x,y)= 0 относительно системы координат Оху.

Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения F(x,y)=0 этой линии. Например, применим метод координат для выяснения числа точек пересечения окружности С радиуса R и данной прямой линии В(рис. 3). Пусть начало системы координат Оху находится в центре окружности, а ось Ox направлена перпендикулярно прямой В. Так как прямая В перпендикулярна оси Ox, то абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной a. Т. о., уравнение прямой В имеет вид x — a = 0. Координаты (x, y) точки пересечения окружности С (ур-ние которой имеет вид x² + y² — R² = 0) и прямой В удовлетворяют одновременно уравнениям

x² + y² - R² = 0, х-а = 0, (1)

то есть являются решением системы (1). Следовательно, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений алгебраической системы (1). Решая эту систему, получают х = a, у = ± R² — a². Итак, окружность и прямая могут пересекаться в двух точках (R² > a²) (этот случай изображен на рис. 3), могут иметь одну общую точку (R² = a²) (в этом случае прямая В касается окружности C) и не иметь общих точек (R² <>²) (в этом случае прямая Влежит вне окружности C).

В А. г. на плоскости подробно изучаются геометрические свойства Эллипса, гиперболы (См. Гипербола) и параболы (См. Парабола), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Конические сечения).Эти линии часто встречаются во многих задачах естествознания и техники. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий; в инженерном деле для конструирования прожекторов, антенн и телескопов пользуются важным оптическим свойством параболы, заключающимся в том, что лучи света, исходящие из определённой точки (фокуса параболы), после отражения от параболы образуют параллельный пучок.

В А. г. на плоскости систематически исследуются т. н. алгебраические линии первого и второго порядков (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями первой и второй степени). Линии первого порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax + By + С = 0. Линии второго порядка определяются уравнениями вида Ax² + Вху + Су² + Dx + Еу + F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Можно доказать, что таким способом уравнение любой вещественной линии второго порядка может быть приведено к одному из следующих простейших видов:

Первое из этих уравнений определяет эллипс, второе — гиперболу, третье — параболу, а последние два — пару прямых (пересекающихся, параллельных или слившихся).

В А. г. в пространстве также пользуются методом координат. При этом декартовы прямоугольные координаты .x, у и z(абсцисса, ордината и апликата) точки М вводятся в полной аналогии с плоским случаем (рис. 4). Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить её уравнение F(x, y, z) =0 относительно системы координат Oxyz. (Так, например, уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат имеет вид x² + y² + z² — R² = 0.) При этом геометрические свойства поверхности S выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S₁ и S₁.Если F₁(x, y, z) = 0 и F₂(x, y, z)= 0 — уравнения S₁ и S₂, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую Lв пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскость в пространстве определяется уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, то пара уравнений такого вида, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение прямой L. Т. о., метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В A. г. в пространстве систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности первого и второго порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями первого порядка являются лишь плоскости. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида:

Ax² + By² + Cz²+ Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Ну + Mz + N = 0.

Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Важнейшими вещественными поверхностями второго порядка являются Эллипсоиды, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический Параболоиды. Эти поверхности в специально выбранных декартовых прямоугольных системах координат имеют следующие уравнения:

Перечисленные важнейшие поверхности второго порядка часто встречаются в различных вопросах механики, физики твёрдого тела, теоретической физике и инженерном деле. Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом теле, пользуются понятием т. н: эллипсоид напряжений. В различных инженерных сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов.

Лит.: Декарт Р., Геометрия, [пер. с франц.], М.—Л., 1938; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1967; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд., М., 1964; Клетеник Д. В., Сборник задач по аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967.

Э. Г. Позняк.

Рисунки 1, 2, 3 к ст. Аналитическая геометрия.

Рис. 4. к ст. Аналитическая геометрия.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел геометрии, в котором свойства геометрических образов (точек, линий, поверхностей) устанавливаются средствами алгебры при помощи метода координат, т. е. путем изучения свойств уравнений, графиками которых эти образы являются. В аналитической геометрии исследуются линии (поверхности) 1-го и 2-го порядков. Линии (поверхности) 1-го порядка - прямые (плоскости); среди линий (поверхностей) 2-го порядка - эллипсы, гиперболы, параболы (эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды). Аналитическую геометрию впервые изложил в 1-й пол. 17 в. Р. Декарт.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются средствами алгебры. Существенным при этом является применение координат и исследование геометрических свойств по свойствам уравнений. Основы аналитической геометрии были заложены Р. Декартом (1637).

analytic geometry

analytic geometry

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, см. КООРДИНАТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Создание аналитической геометрии обычно приписывают Р.Декарту, изложившему ее основы в последней главе своего трактата Рассуждение о методе, озаглавленной Геометрия (1637). Однако сам метод был известен П.Ферма еще в 1629, о чем свидетельствует его переписка. Аналитическая геометрия стала неоценимым подспорьем для математического анализа, изобретенного вскоре Ньютоном (1665-1666) и Лейбницем (1675-1676). Методы аналитической геометрии применимы к фигурам на плоскости и к поверхностям в трехмерном пространстве, а также допускают естественное обобщение и на пространства более высоких размерностей. Мы начнем с аналитической геометрии на плоскости. Сущность метода координат состоит в следующем. На плоскости задаются две взаимно перпендикулярные прямые (координатные оси), пересекающиеся в точке О, называемой началом координат. Одна из них - ось x, или ось абсцисс, обычно выбирается горизонтальной, другая - ось y, или ось ординат, - вертикальной. Справа от O выбирается точка, у которой ставится отметка 1. Если принять отрезок от O до 1 за единицу длины, то откладывая последовательно этот отрезок вдоль прямой, мы получаем числовую ось. Считается, что эта ось продолжается вправо до бесконечности. Точки на оси x слева от O помечаются отрицательными числами, как на шкале термометра. Например, точка -2 расположена от точки O слева на таком же расстоянии, как точка 2 справа. Аналогичным образом с той же единицей длины размечается и ось y. Положительные числа располагаются выше точки O, отрицательные - ниже. Пусть P - любая точка на плоскости с заданной системой координат, Q - основание перпендикуляра, опущенного из P на ось x, а R - основание перпендикуляра, опущенного из P на ось y. Положение точки P полностью определяется двумя числами, называемыми координатами x и y. Первая координата указывает положение точки Q на оси x, вторая - положение точки R на оси y. На рис. 1 положение точки P полностью определяется ее координатами (2,3).

Рис. 1. ДВЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ, называемые осью x и осью y, составляют основу для большинства операций в аналитической геометрии на плоскости. Именно они позволяют использовать алгебраические средства в геометрии и геометрические - в алгебре. Будучи снабженными шкалами, они представляют координаты точки. Например, точка P имеет координату x, равную 2, и координату y, равную 3.

Основная задача аналитической геометрии заключается в изучении геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы. Любую фигуру можно рассматривать как множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. Это условие можно записать в виде алгебраического уравнения, связывающего координаты x и y каждой точки фигуры. Суть метода аналитической геометрии состоит в изучении свойств фигуры с помощью соответствующего уравнения, исследуемого средствами алгебры. Этот метод позволяет устанавливать геометрические факты систематичным образом, в отличие от традиционной "синтетической" геометрии, где приходилось изобретать методы доказательства для каждого отдельного случая. Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точками P1 = (x1,y1) и P2 = (x2,y2). Числа x1, y1, x2 и y2 могут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 2 все числа выбраны положительными. Проведем через точку P1 горизонтальную прямую, а через точку P2 - вертикальную. Пусть R - точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

Рис. 2. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ можно найти, если построить прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Расстояние между точками P1 и P2 устанавливается по теореме Пифагора.

откуда d 2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2. Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками. Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки P1 и P2. Например, если точка P2 расположена ниже точки P1 и справа от нее, как на рис. 3, то отрезок RP2 можно считать равным y1 - y2, а не y2 - y1. Расстояние между точками, вычисляемое по формуле, от этого не изменится, так как (y1 - y2)2 = (y2 - y1)2. Заметим, что так как величина y2 в этом случае отрицательна, разность y1 - y2 больше, чем y1, как и должно быть.

Рис. 3. ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ не изменяется, если одна из точек имеет отрицательные координаты, так как величина (y1 - y2)2 положительна, даже если величина (y1 - y2) отрицательна.

Прямые. Прямая - одна из простейших геометрических фигур. Алгебраическое уравнение прямой также имеет простой вид. Пусть B = (0,b)- точка пересечения прямой L с осью y, а P = (x,y) - любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку B прямую, параллельную оси x, а через точку P - прямую, параллельную оси y; проведем также прямую x = 1. Пусть m - угловой коэффициент прямой L (см. рис. 4). Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то

Рис. 4. ЛЮБАЯ НЕВЕРТИКАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ, например L, определяется заданием точки, в которой она пересекает ось y (точка b) и угловым коэффициентом m, определяемым отношением (y - b)/x, или расстоянием QS по вертикали при x = 1.

или, после упрощения,

Следовательно, если точка P лежит на прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1). Обратно, нетрудно показать, что если x и y связаны между собой уравнением (1), то точка P непременно лежит на прямой L, проходящей через точку (0,b) и имеющей угловой коэффициент m. Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени по x и y можно привести к виду (2) либо (3). Рассмотрим произвольное уравнение первой степени

Если B № 0, мы можем записать уравнение (4) в виде

т.е. в виде (2). При B = 0 уравнение (4) сводится к уравнению Ax = C, или

т.е. к уравнению вида (3). Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени по x и y, и обратно, каждое уравнение первой степени по x и y соответствует некоторой прямой.

Парабола. Методы аналитической геометрии позволяют без особых трудностей исследовать свойства кривых, которые обычно не рассматриваются в стандартных учебниках планиметрии. Пусть заданы точка F с координатами (0,1) и прямая y = -1 (рис. 5). Множество точек P = (x,y), для которых расстояние PF равно расстоянию PD, называется параболой. Прямая y = -1 называется директрисой параболы, а точка F - фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки P, удовлетворяющие условию PF = PD, запишем его с помощью координат:

Рис. 5. ПОСТРОЕНИЕ ПАРАБОЛЫ - траектории точки P, равноудаленной от заданной точки, например F, и прямой, например y = -1.

x2 + (y - 1)2 = (y + 1)2 + (x - x)2, или после упрощения x2 = 4y. Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу. Рассмотрим теперь точки пересечения произвольной невертикальной прямой y = mx + b с параболой x2 = 4y. Точки пересечения должны иметь координаты, удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям, поэтому x2 = 4mx + 4b, или x2 - 4mx - 4b = 0. В общем случае существуют два решения x1 и x2 квадратного уравнения. Известно, что сумма этих решений x1 + x2 равна коэффициенту при x, взятому со знаком минус. Следовательно, x1 + x2 = 4m. Абсцисса средней точки M хорды P1P2 равна

Результат зависит только от m и не зависит от b. Если теперь мы рассмотрим множество параллельных прямых с одним и тем же угловым коэффициентом m, но с различными значениями b, то середины всех хорд, высекаемых на этих прямых параболой, лежат на вертикальной прямой x = 2m (см. рис. 6).

Рис. 6. ПАРАБОЛА, симметричная относительно оси y, пересечена семейством параллельных прямых с угловым коэффициентом m. Середины всех хорд, отсекаемых от этих прямых параболой, лежат на вертикальной прямой x = 2m. Касательная T к параболе пересекает ее в единственной точке P с координатами (2m,m2).

Среди этих параллельных прямых есть одна особенная прямая T, пересекающая параболу только в одной точке. Эта прямая называется касательной. Точка касания P имеет координаты (2m,m2).

Преобразование уравнений. Уравнение кривой зависит от положения координатных осей и от выбранных масштабов. Например, уравнение окружности с радиусом r единиц и с центром в начале координат имеет вид x2 + y2 = r2. Но если окружность расположена так, как показано на рис. 7, с центром в точке с координатами (h,k), то ее уравнение принимает более сложный вид:

Рис. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ уравнений, связанное с различным расположением системы координат. Окружность с центром в точке (h,k) имеет иное уравнение, чем окружность с центром в начале координат O.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2, в чем нетрудно убедиться, воспользовавшись формулой расстояния. Для исследования свойств кривой удобно расположить оси так, чтобы уравнение приняло по возможности более простой вид, как мы поступили в случае параболы. До сих пор мы исследовали кривую, заданную некоторым геометрическим условием, которому должны удовлетворять все принадлежащие ей точки, и вывели уравнение относительно заданной пары координатных осей. Обратная задача состоит в том, чтобы построить кривую, соответствующую данному уравнению, и исследовать геометрические свойства этой кривой или ее графика. Предположим, что мы хотим исследовать график кривой

Перепишем это соотношение в виде y = x2 - 2x + 1 + 2 = (x - 1)2 + 2. Сделав затем замену переменных xў = x - 1 и yў = y - 2, сведем (5) к следующему уравнению:

которое, конечно, гораздо проще. Теперь заданную кривую можно записать в новой системе, оси которой параллельны старым с началом координат в точке x = 1, y = 2. Помимо такого приема (называемого параллельным переносом) - сдвига осей координат по горизонтали и по вертикали на соответствующие величины, уравнения часто упрощаются после поворота системы координат на некоторый угол вокруг неподвижного начала координат O. Оказывается, что этих двух приемов - параллельного переноса и поворота координатных осей, выполняемых по отдельности или вместе, - вполне достаточно, чтобы привести уравнение второй степени или к уравнениям двух прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих) или к одному из стандартных видов:

Уравнение (7) описывает параболу с фокусом в точке (0,p) и директрисой y = - p. Уравнение (8) соответствует эллипсу. Уравнение (9) описывает гиперболу (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ). Помимо исследования графиков алгебраических уравнений, аналитическая геометрия изучает также неалгебраические, или трансцендентные, кривые, например графики экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций. В качестве примера трансцендентной кривой приведем циклоиду - кривую, описываемую точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой (рис. 8). Если в качестве прямой выбрать ось абсцисс, а радиус окружности принять равным 1, то координаты точки P будут иметь вид

где q - угол в радианах.

Рис. 8. ЦИКЛОИДА, кривая, определяемая как траектория точки окружности, катящейся по прямой без скольжения.

Циклоида обладает многими замечательными свойствами. Длина дуги циклоиды в 8 раз больше, чем длина катящейся окружности, а площадь под дугой в 3 раза больше площади катящегося круга. Если циклоиду перевернуть, то мы получим форму нити, по которой бусина соскальзывала бы до данной точки за кратчайшее время. Эти результаты доказываются методами математического анализа, а последний из них - методами вариационного исчисления. Циклоиды и аналогичные кривые, возникающие при движении одной окружности по другой, играют важную роль при проектировании зубчатых передач, действующих бесшумно и эффективно. На рис. 9 вы видите несколько других кривых и их уравнения.

Рис. 9. РАЗЛИЧНЫЕ КРИВЫЕ и их уравнения.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Методами аналитической геометрии исследуются также и пространственные фигуры. Нужно лишь воспользоваться тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось шкалой, можно задать тремя числами (координатами) положение точки в пространстве. Например (рис. 10), P = (1,2,3).

Рис. 10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ требует трех взаимно перпендикулярных координатных осей и трех координат для задания положения точки. Точка P имеет координаты (1,2,3).

Множеству точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию, соответствует определенное алгебраическое соотношение между их координатами x, y, z. Для задания этого соответствия необходима фундаментальная формула, определяющая расстояние d между точками P1 = (x1, y1, z1) и P2 = (x2, y2, z2), а именно: d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2. Эта формула представляет собой обобщение теоремы Пифагора с двумерного случая на трехмерный. Из нее следует, что сфера радиуса r с центром в начале координат описывается уравнением x2 + y2 + z2 = r2. Любая плоскость задается уравнением первой степени относительно x, y и z, т.е. уравнением вида Ax + By + Cz = D, где A, B, C и D - постоянные и, по крайней мере, один из коэффициентов A, B или C не равен нулю. Помимо сферы есть и другие поверхности, также описываемые уравнением второй степени относительно x, y и z. Одна из задач аналитической геометрии в трехмерном пространстве состоит в том, чтобы дать классификацию таких квадратичных поверхностей и, исходя из соответствующих им уравнений, исследовать их свойства. Эти поверхности называются эллипсоидами, параболоидами, гиперболоидами или коническими и цилиндрическими поверхностями различных типов. Особенно простой подкласс этих фигур состоит из поверхностей, получаемых при вращении конических сечений вокруг различных осей симметрии. Существуют многочисленные поверхности, задаваемые уравнениями более высокого порядка. Как правило, они довольно сложны. Их изучением, как и плоских кривых высокого порядка, занимается алгебраическая геометрия. Как и в случае фигур на плоскости, исследование трехмерных геометрических тел часто облегчается подходящим выбором координатных осей. Соответствующее уравнение обычно удается упростить с помощью параллельного переноса и (или) поворота осей. Иногда бывает удобно воспользоваться непрямоугольной системой координат. Например, если в уравнение, записанное в прямоугольных координатах x, y и z, подставить x = r cos q, y = r sin q и z = z, то получится эквивалентное и нередко более простое уравнение в цилиндрических координатах r, q и z (рис. 11). Так, уравнение z = x2 + y2 сводится к уравнению z = r2.

Рис. 11. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ иногда используются в геометрии трехмерного пространства для упрощения уравнений. Прямоугольные координаты x и y в этом примере заменены полярными r и q, а координата z оставлена без изменений.

Подстановка x = r cos q sin f, y = r sin q sin f, z = r cos f преобразует уравнение, заданное в прямоугольных координатах, в уравнение в сферических координатах r, q и f (рис. 12).

Рис. 12. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ - трехмерный аналог полярных координат на плоскости. Положение точки однозначно определяется заданием расстояния r и двух углов - q, отсчитываемого от оси x, и f, отсчитываемого от оси z.

Аналитическая геометрия занимается также изучением прямых и кривых в трехмерном пространстве. Прямую можно рассматривать как линию пересечения подходящей пары плоскостей. Соответственно, пространственную прямую можно задать с помощью двух уравнений первого порядка. Однако часто бывает проще задать прямую L с помощью параметра t следующим образом: x = x0 + a1t, y = y0 + a2t, z = z0 + a3t. Когда t принимает все возможные действительные значения, мы получаем все возможные значения x, y и z для точек на L. При t = 0 мы получаем координаты x0, y0 и z0 некоторой точки P0; при t = 1 - координаты (x0 + a1, y0 + a2, z0 + a3) некоторой другой точки P1. Прямая L определяется двумя своими точками P0 и P1. Пространственную кривую можно также записать в виде x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t), где f1, f2 и f3 - заданные функции. (Прямая соответствует случаю, когда все три функции имеют первую степень по t.) Например, x = cos t, y = sin t, z = t - уравнения винтовой линии, получающейся при наматывании нити на цилиндрическую поверхность радиуса 1 с постоянным шагом (рис. 13).

Рис. 13. ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ, пространственная кривая, задаваемая радиусом и расстоянием между точками пересечения кривой с любой вертикальной прямой на поверхности цилиндра того же радиуса.

Более высокие размерности. Вполне естественно обобщить методы аналитической геометрии на случаи, когда число координат больше трех. Разумеется, невозможно представить себе наглядно гиперсферу x2 + y2 + z2 + w2 = r2 или гиперплоскость Ax + By + Cz + Dw = E. И все же мы можем воспользоваться теми же алгебраическими методами, как и в случаях двух или трех измерений, используя соответствующий им наглядный геометрический язык как подсказку, когда такая наглядность отсутствует. Более того, весьма плодотворным оказалось обобщение методов аналитической геометрии на бесконечномерные пространства. Многие важные разделы аналитической геометрии пространства трех и более измерений можно существенно упростить с помощью векторных методов (см. также ВЕКТОР).

ЛИТЕРАТУРА

Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. М., 1978 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., 1981

аналити́ческая геоме́трия

раздел геометрии, в котором свойства геометрических образов (точек, линий, поверхностей) устанавливаются средствами алгебры при помощи метода координат, то есть путём изучения свойств уравнений, графиками которых эти образы являются. В аналитической геометрии исследуются линии (поверхности) 1-го и 2-го порядков. Линии (поверхности) 1-го порядка — прямые (плоскости); среди линий (поверхностей) 2-го порядка — эллипсы, гиперболы, параболы (эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды). Аналитическую геометрию впервые изложил в 1-й половине XVII в. Р. Декарт.

* * *

АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, раздел геометрии, в котором свойства геометрических образов (точек, линий, поверхностей) устанавливаются средствами алгебры при помощи метода координат, т. е. путем изучения свойств уравнений, графиками которых эти образы являются. В аналитической геометрии исследуются линии (поверхности) 1-го и 2-го порядков. Линии (поверхности) 1-го порядка — прямые (плоскости); среди линий (поверхностей) 2-го порядка — эллипсы, гиперболы, параболы (эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды). Аналитическую геометрию впервые изложил в 1-й пол. 17 в. Р. Декарт.

раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрич. образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2-го порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики н техники в 17 в. Отчетливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ А. г. было сделано Р. Декартом (R. Dercartes) в его "Геометрии" (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма (P. Fermat). Дальнейшая разработка А. г. связана с трудами Г. Лейбница (G. Leibniz), И. Ньютона (I. Newton) и особенно Л. Эйлера (L. Euler). Средствами А. г. пользовался Ж. Лагранж (J. Lagran-ge) при построении аналитич. механики, Г. Монж (G. Monge) в дифференциальной геометрии. Ныне А. г. не имеет самостоятельного значения как наука, однако ее методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и др. наук.

Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, напр., на плоскости л две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу. Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат Ои выбранной масштабной единицей еобразуют так наз. декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ох и Оу наз. соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки Мна плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть М _х и My - проекции Мна Ох и Оу, а числа хи у- величины отрезков ОМ _х и ОМ _у (величина хотрезка ОМ _x , напр., равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к М _х совпадает с направлением на прямой Ох, и со знаком минус - в противоположном случае). Числа z (абсцисса) и у(ордината) наз. декартовыми прямоугольными координатами точки Мв системе Оху. Для обозначения точки М с абсциссой хи ординатой упользуются символом М( х, у). Ясно, что координаты точки Мопределяют ее положение относительно системы Оху.

Пусть на плоскости я с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана нек-рая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии Lотносительно системы Оху как соотношения вида F(x, у) = 0, к-рому удовлетворяют координаты хи улюбой точки М, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L.

Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрич. свойства линии Lвыясняются путем изучения аналитич. и алгебраич. средствами свойств уравнения F(x, y)=0 этой линии. Напр., геометрич. вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится аналитич. вопросу о числе решений алгебраич. системы уравнений прямой и окружности.

В А. г. на плоскости подробно изучаются геометрич. свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Конические сечения).

В А. г. на плоскости систематически исследуются так наз. алгебраические линии 1-го и 2-го порядков; эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраич. уравнениями 1-й и 2-й степеней. Линии 1-го порядка суть прямые и обратно, каждая прямая определяется алгебраич. уравнением 1-й степени Ах+Ву+С=0. Линии 2-го порядка определяются уравнениями вида Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в к-рой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. См. Линии второго порядка.

В А. г. в пространстве декартовы прямоугольные координаты х, у и z (абсцисса, ордината и аппликата) точки Мвводятся в полной аналогии с плоским случаем. Каждой поверхности Sв пространстве можно сопоставить ее уравнение F(x, у,z)=0 относительно системы координат Oxyz. При этом геометрич. свойства поверхности S выясняются путем изучения аналитич. и алгебраич. средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию Lв пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S₁ и S₂. Если F₁(x, у,z) = 0 и Р ₂ (х, у, z) = 0 - уравнения S₁ и S₂, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Напр., прямую Lв пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. В А. г. в пространстве систематически исследуются так наз. алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков. Выясняется, что алгебраич. поверхностями 1-го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2-го порядка определяются уравнениями вида: