«АНАЛИЗ ДИСКРИМИНАНТНЫЙ»

— аппарат для решения задач классификации. В общем виде задача классификации ставится следующим образом. Имеется k совокупностей π₁ π₂,..., π_k с функциями распределения F₁(x), F₂(x),..., F_k(x), которые определены полностью или с точностью до значений параметров. Наблюдение х, о котором заранее известно, что оно принадлежит к одной из этих совокупностей, должно быть отнесено к одной из совокупностей π₁ π₂,..., π_k с минимальной ошибкой. Обычно классификация происходит по нескольким признакам, т. е. рассматривается векторная случайная величина . Функция наблюдений, которая применяется для классификации наблюдений, называется дискриминантной функцией. Дискриминантную функцию естественно выбирать так, чтобы ошибка классификации была минимальной. Если заданы две нормальные совокупности N(А_i, Λ), N (A₂, Λ), γде A_i — вектор математических ожиданий (i=l,2), Λ — матрица ковариационная, то дискриминантная функция Z имеет вид

Z = Х^τΛ^-1(A_i-A₂).

Здесь Х^τ— матрица транспонированная, Λ^-1 — обратная матрица. В случае различных ковариационных матриц Λ_i ≠ Λ₂ у распределений дискриминантная функция имеет вид

Если параметры распределений неизвестны, вместо них обычно подставляют соответствующие оценки по выборке. При классификации важно указать границу между совокупностями, называемую порогом. На практике ее часто устанавливают визуально. При реальных вычислениях А. д. применим во всех задачах, когда необходимо разделить наблюдения на два или несколько классов. Особенно широко распространен А. д. в петрологии, литологии и геохимии.

- ветвь статистич. анализа многомерного. Методы и рез-ты А.д. направлены на решение следующей задачи. Известно о существовании определенного числа к (k больше или равно 2) генеральных совокупностей, и у исследователя имеется по одной выборке из каждой совокупности ("обучающие выборки"). Требуется построить основанное на имеющихся выборках наилучшее (в определенном смысле) классифицирующее правило, позволяющее приписать нек-рый новый элемент (многомерное наблюдение X) к своей генеральной совокупности в ситуации, когда исследователю заранее неизвестно, какой из совокупностей этот элемент принадлежит. Обычно под классифицирующим правилом понимается последовательность действий: по вычислению нек-рой функции от исследуемых показателей, по значениям к-рой принимается решение об отнесении элемента к одному из классов (построение дискриминантной функции); по упорядоченности самих показателей по степени их информативности с т.зр. правильного отнесения элементов к классам; по вычислению соответствующих вероятностей ошибочной классификации. Лит.: Малиновский Л.Г. Классификация объектов средствами дискриминантного анализа. М., 1979. С. А. Айвазян

- группа методов многомерной статистики, предназначенных для 1) описания различий между классами и 2) классификации объектов, не входивших в первоначальную выборку обучающую. Переменные, используемые в А.Д., называются дискриминантными.

Для решения первой задачи строится пространство канонических дискриминантных функций, которые позволяют с максимальной эффективностью "разделить" классы. Для того чтобы разделить k классов, требуется не более (k - 1) канонических дискриминантных функций (например, для разделения двух классов достаточно одной функции, для разделения трех классов - двух функций и т.д.). Канонические дискриминантные функции можно рассматривать как аналог регрессии, построенной для целей классификации; дискриминантные (исходные) переменные являются в них переменными независимыми. Для измерения абсолютного и относительного вклада дискриминантных переменных в разделение классов используются нестандартизированные и стандартизированные коэффициенты канонических функций.

В пространстве канонических дискриминантных функций можно также решать задачу классификации объектов, не принадлежавших к первоначальной выборке. Для этого вычисляются расстояния от каждого "нового" объекта до геометрического "центра" каждого класса. Могут учитываться априорные вероятности принадлежности к классам, а также цена ошибок классификации.

Альтернативным подходом к классификации объектов является вычисление классифицирующих функций Фишера - по одной для каждого класса. Эти функции также можно рассматривать как аналог регрессионных уравнений с "независимыми" дискриминантными переменными. Объект относится к тому классу, для которого вычисленное значение классифицирующей функции является максимальным.

Первоначальная выборка, для каждого объекта из которой априорно известна классовая принадлежность и на основе которой строятся как классифицирующие, так и канонические дискриминантные функции, называется обучающей. По ней же оценивается эффективность решающих процедур. Для этого строится специальная классификационная матрица, которая показывает, к какому классу объект принадлежал априорно и в какой класс был классифицирован с помощью канонических дискриминантных или классифицирующих функций.

Метод А.Д. предъявляет к данным довольно строгие требования. В модели должно быть не менее двух классов, в каждом классе - не менее двух объектов из обучающей выборки, число дискриминантных переменных не должно превосходить объем обучающей выборки за вычетом двух объектов. Дискриминантные переменные должны быть количественными и линейно независимыми (не должны коррелировать друг с другом). Выполнение этих требований проконтролировать достаточно легко. Для каждого класса требуется также приблизительное равенство матриц ковариации и многомерная нормальность распределения. Нарушение последнего требования может привести к ошибкам классификации в "пограничных" зонах, где вероятности принадлежности объекта к двум или нескольким классам приблизительно равны.

О.В. Терещенко