Словарь Брокгауза и Ефрона
Пусть будет ряд:
(A)……u0, u1, u2, u3,……
Если из этого ряда через вычитание каждого члена из последующего выведем другой ряд
(B)……u1— u0, u2— u1, u3— u2……
равным образом, через вычитание каждого члена ряда (В) из следующего составим ряд
(C)……u2— 2u1+u0, u3— 2u2+u1, u4— 2u3+u2,……
и другие подобные ряды (D), (E)… (N), то (В), (С)… по отношению к (А) будут первым, вторым и т. д. разностным рядом. Если n-ый разностный ряд будет состоять из равных членов, отличных от нуля, то такой ряд называется арифметическим рядом n-го порядка. Очевидно, что члены (n + 1)-го, (n + 2)-го и т. д. разностных рядов будут равны нулю. Отсюда легко заключить, что арифметическая прогрессия a, a+b, a+2b, a+3b,… есть арифметический ряд 1-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.b.
Ряд a2, (a + b)2, (a + 2b)2, (a + 3b)3… есть арифметический ряд 2-го порядка, где постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.b2, и т. д.
Ряд an, (a + b)n, (a + 2b)n, (a + 3b)n… есть арифметический ряд n-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.3….nbn. Очевидно, что исследование свойств их приводится к исчислению разностей.