Философская энциклопедия
- ДЕДУКЦИИ ТЕОРЕМА
-
ДЕДУКЦИИ ТЕОРЕМА — метатеоретическое утверждение о формальной логической теории (исчислении) Т, в соответствии с которым существование в исчислении Т вывода логического формулы В из называемых гипотезами формул Ai, Ai,..., А„ (символически: Αι. Αι,., АП^-В) означает, что в Т существует также вывод из посылок Αι, ΑΪ,..., An-f импликации Аа-*В (символически: Ai, Ai,.... y4„-i ь-Лп—5). Далее дедукции теорема может быть применена снова вплоть до получения утверждения ^-Ai-'-.Ai-*...->.Ап.-*.А^В. Теорема дедукции доказуема для исчислений классической логики, в языке которых используется материальная импликация. В общем случае она имеет силу для любых исчислений A—.B-^A и самодистрибутивности импликации (^-”.^-”O-^.A-^B-^.A-'C. Для исчислений, в которых закон утверждения консеквента, нередко объявляемый парадоксальным, не принимается (см. Релевантная логика), нахождение подходящей формулировки теоремы дедукции является проблемой (Сидоренко Е. А. Нормализованные выводы и обобщение теоремы дедукции.—В кн.; Логические исследования, вып. 5. M, 1998).
В естественных рассуждениях теореме дедукции соответствует способ обоснования истинности условных высказываний вида “Если А, то В”, при котором такое высказывание считается истинным, когда удается установить выводимость В из А и некоторой совокупности предложений Г, истинность которых считается установленной.
Е. А. Сидоренко
Математическая энциклопедия
- общее название ряда теорем, позволяющих устанавливать доказуемость импликации 
в случае, когда дан логический вывод формулы Виз формулы А. В простейшем случае классического, интуиционистского и т. п. исчислений высказываний Д. т. утверждает: если Г,
(из допущений Г, Авыводимо В), то
(*)
(Г может быть пусто). При наличии кванторов аналогичное утверждение неверно:
но не
Одна из формулировок Д. т. для традиционных исчислений предикатов (классического, интуиционистского и т. п.): если Г, А|-В, то
где 
означает результат приписывания V -кванторов (см. Квантор )по всем свободным переменным формулы А. В частности, если А- замкнутая формула, Д. т. принимает форму (*). Эта формулировка Д. т. дает возможность сводить поиск вывода в аксиоматич. теориях к поиску вывода в исчислении предикатов: формула В выводима из аксиом A1,...,An тогда и
только тогда, когда в исчислении предикатов выводима формула 
Похожим образом формулируется Д. т. для логик, где имеются связки, "похожие" на кванторы. Так, для модальных логик S4 и S5 Д. т. имеет вид: если Г,
то 
Более тонкие формулы Д. т. получаются, если вводить V-кванторы не по всем свободным переменным, а лишь по тем, к-рые связываются кванторами в процессе вывода. Говорят, что переменная y варьируется для формулы А в данном выводе, если увходит свободно в Аи в рассматриваемом выводе имеется применение правила введения V в заключение импликации (или введения Э в посылку), при к-ром вводится квантор по y, причем посылка этого применения зависит в данном выводе от А. Теперь Д. т. для традиционных исчислений предикатов уточняется так: если Г, 
то
где y1,..., у п- полный список переменных, к-рые варьируются для Ав данном выводе. В частности, если никакая свободная переменная из Ане варьируется, то Д. т. принимает форму (*). При формулировке соответствующего уточнения Д. т. для модальных логик следует считать, что варьирование происходит в правилах введения 
в заключение импликации и 
- в посылку.
При установлении Д. т. для исчислений релевантной импликации (т. <е. для систем, согласованных с истолкованием 
как Ввыводимо с существенным использованием допущения А)приходится либо модифицировать само понятие вывода, либо считать, что варьирование происходит при всяком использовании "постороннего" допущения; напр., при переходе от пары А,
к А,
варьируется формула А, т. к. она не входит во второй член. пары.
Если Ане варьируется в данном выводе, то Д. т. принимает форму (*), а если Аварьируется, то Д. т. принимает вид: если А, Г|- В , то
где t- константа "истина" (или конъюнкция формул (
) для всех пропозициональных переменных р, выходящих в Л, Г, В).
Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [2] Карри X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969.
Г. Е. Минц.