«КЭЛИ - КЛЕЙНА ПАРАМЕТРЫ»

КЭЛИ - КЛЕЙНА ПАРАМЕТРЫ в энциклопедиях

Источники

Физическая энциклопедия Математическая энциклопедия

Физическая энциклопедия

КЭЛИ - КЛЕЙНА ПАРАМЕТРЫ: -комплексные величины, с помощью к-рых можно определить положение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. К.- К. п. а, Ь связаны с углами Эйлера , , зависимостями

(* означает комплексное сопряжение), при этом +=1. В свою очередь, зная а и Ь, можно определить углы , , из равенства

где Re - действит. часть комплексной величины.

К.- К. п. задают координаты в группе вращений трёхмерного пространства SO(3). Их введение основано на связи между группой SO(3) и группой SU (2 )унитарных матриц 2-го порядка с единичным определителем. Всякий действит. вектор х (х ₁, х ₂, х ₃ )можно представить эрмитовой матрицей

где - Паули матрицы. Для каждого вращения = Ах, описываемого углами Эйлера j,y, q, вектор представляется матрицей

где

значок "+" означает эрмитово сопряжение. При этом, в отличие от описания с помощью углов Эйлера, преобразования с использованием К.- К. п. можно перемножать, т. е.

К. - К. п. a, Ь однозначно определяют вращение А, но а, Ь и - а, - Ь описывают одно и то же вращение, что соответствует двухзначным (спинорным) представлениям группы вращений (см. Вращений группа, Спинор). Определение К.- К. п. в форме (1). (2) есть по существу представление элементов труп, вращения R³ через кватернионы с единичной нормой. Неявно такая связь прослеживается в работах А. Кэли (A. Cayley) в 1847, а точные соотношения появились в работах Ф. Клейна (F. Klein) в 1897.

К. - К. п. применяют при решении ряда кинематич. задач о движении тела с неподвижной точкой, в частности задачи о сложении последовательных конечных поворотов, для записи ур-ний, определяющих закон движения тела вокруг неподвижной точки, в более компактном виде и др.

Лит.: Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; Лурье А. И., Аналитическая механика, М., 1961; Синг Дж. Л., Классическая динамика, пер. с англ., М., 1963. М. И. Монастырский.

Математическая энциклопедия

некоторые специальные координаты в группе вращений трехмерного пространства SO(3), построение к-рых в конечном счете основано на связи между SO(3) и группой SU(2) унитарных матриц 2-го порядка с единичным определителем. Существует отображение являющееся эпиморфизмом по своим алгебраич. свойствам и двулистным накрытием - по топологическим. (Рассматриваемое в нек-рой окрестности единичной матрицы, это отображение обладает свойствами изоморфизма, поэтому говорят, что SO(3) и SU(2)локально изоморфны.) Каждая матрица имеет вид

где - комплексные числа, связанные соотношением Их и принимают за К.- К. п. для (Иногда под К.- К. п. понимают все четыре коэффициента матрицы F.) Построение конкретного отображения с указанными свойствами можно осуществить по-разному, поэтому у различных авторов имеются нек-рые различия в определении К.- К. п. (см. [2], [3]).

Поскольку ф является не настоящим изоморфизмом, а только двулистным накрытием, то невозможно определить К.- К. п. как (непрерывные) координаты на всей группе SO(3); это можно сделать лишь локально. Однако К.- К. п. можно использовать для изучения процесса вращения, при к-ром Анепрерывно зависит от действительного параметра t(причем здесь нет необходимости как-либо ограничивать область возможных значений А). Действительно, если для нек-рого t=t₀ выбрано какое-то фиксированное значение прообраза то по непрерывности для всех tоднозначно определяются соответствующие V(t). (Двузначность полного прообраза проявляется лишь в том, что равенство A(t) = A(s).имеет место не только при V(t)=V(s), но и при V(t)=-V(s).).Поэтому К.- К. п. можно применять при исследовании движений твердого тела с неподвижной точкой (его конфигурационное пространство совпадает с SO(3)). Такой подход принят в [1], однако он не получил широкого распространения.

Группа SU(2).изоморфна группе кватернионов с единичной нормой, поэтому, переходя от Vк соответствующему кватерниону можно вместо К.- К. п. пользоваться параметрами Эйлера - Родрига - четырьмя действительными числами удовлетворяющими соотношению Они связаны простыми формулами с К.- К. п. (см. [1], [3]) и обладают тем же свойством "двузначности" (историю вопроса см. в [1]). По существу, в относящихся сюда исследованиях впервые рассматривались двузначные представления группы вращений (см. Спинор).

Лит.:[l] К l е i n F., S о m m е r f е l d A., Uber die Theorie des Kreisels, Ht. 1-2, Lpz., 1897-98 (перепечатка N. Y.- Stuttg., 1965); [2] Г о л д с т е й н Г., Классическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3] С и н г Д ж.-Л., Классическая динамика, пер. с англ., М., 1963. Д. В. Аносов.