«КОНСТРУКТИВНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ»

- раздел математической физики, изучающий свойства моделей квантовой теории поля (к. т. п.). Одна из задач К. к. т. п. состоит в исследовании квантовых полей в реальном 4-мерном пространстве-времени. Однако само существование этих полей остается (1978) математически недоказанным. Основные усилия были направлены на изучение менее сингулярных моделей к. т. п. в 2- и 3-мерном пространстве-времени. К. к. т. п. представляет собой синтез идей и методов аксиоматич. теории поля и теории перенормировок с современными математич. методами. Само понятие релятивистского квантового поля допускает различные эквивалентные математич. интерпретации, что позволяет использовать в к. т. п. методы различных областей математики.

Квантовое поле можно трактовать либо в терминах теории нелинейных гиперболич. уравнений для операторных обобщенных функций, либо в терминах теории обобщенных случайных полей (устанавливая тесный контакт со статистич. механикой), либо как систему аналитич. функций многих комплексных переменных (при изучении аналитич. свойств S-матрицы), либо же рассматривать его с точки зрения С*-алгебр и теории представлений.

В первых работах по К. к. т. п. использовались в основном средства функционального анализа. Релятивистское квантовое поле в 2-мерном пространстве-времени, удовлетворяющее аксиомам Уайтмана, впервые удалось построить [8], только используя евклидову формулировку [9] к. т. п., позволившую привлечь методы теории вероятностей и статистич. механики.

Релятивистское квантовое поле полностью характеризуется последовательностью своих функций Уайтмана W_n(x₁,..., х _п). Эквивалентная евклидова формулировка к. т. п. дается последовательностью функций Швингера S_n(x₁,..., х _п )(они получаются из W_n аналитич. продолжением в евклидовы точки x₂,...)), удовлетворяющих аксиомам Остервальдера - Шрадера (ОШ). При некоторых дополнительных предположениях можно доказать, что S_n являются моментами вероятностной меры, обладающей специальными свойствами. Способ построения моделей к. т. п., при к-ром сначала строится вероятностная мера, а затем проверяются аксиомы ОШ для ее моментов, оказался наиболее удобным и является общепринятым.

В простейшем случае одного скалярного поля рассматривается измеримое пространствогде - пространство обобщенных функций умеренного роста, есть s-алгебра, генерируемая цилиндрическими множествами, и класс вероятностных мер mна обладающих следующими специальными свойствами.

1) На задано естественное представление связной компоненты единицы Gевклидовой группы движений R^d автоморфизмами s-алгебры Требуется, чтобы мера и была G-инвариантна. Это условие есть евклидово выражение релятивистской инвариантности.

2) Пусть Ф(f) - непосредственно заданное обобщенное случайное поле на т. е. Ф (f)(w)=w(f), Для любой функции F(w). на определяется F_q(w)=F(w_q), где w_q(f)=w(f_q), f_q(x₁,..., x_d)=f(x₁,..., -x_d). Пусть - а-алгебра, генерируемая функциями Ф(f) с supp fМ {x О R^d, x_d>0). Требуется выполнение условия положительности ОШ:

для любой -измеримой функции Fна Это условие выражает положительную определенность скалярного произведения в релятивистском гильбертовом пространстве. Для двумерных моделей широко используется несколько более сильное условие марковости поля Ф(f).

3) Требуется существование нормы на такой, что равномерно ограничена и непрерывна по норме на

4) Подгруппа трансляций группы Gдолжна действовать эргодически. Это есть выражение единственности вакуума в релятивистской теории.

Если мера m удовлетворяет условиям 1-4, то она называется квантовой мерой, а соответствующее обобщенное случайное поле Ф (f) наз. евклидовым полем. Моменты квантовой меры

- функции Швингера, удовлетворяют аксиомам ОШ. Существует единственное релятивистское квантовое поле, удовлетворяющее всем аксиомам Уайтмана, такое, что аналитич. родолжение его функций Уайтмана в евклидовы точки совпадает с функциями Швингера данной квантовой Mepы m. Если некоторая мера m удовлетворяет лишь условиям 1-3, то для всех ее эргодич. компонент выполняются условия 1-4.

Один класс квантовых мер строится легко - это гауссовы меры (зависящие от параметра m>0) с характеристич. функционалом

здесь D - оператор Лапласа (при допускается m=0). Соответствующее евклидово поле называют свободным (скалярным) евклидовым полем массы т.

Построение негауссовых мер представляет большие трудности, и результаты существенно зависят от размерности d. Обычная процедура следующая. Строится нек-рая функция на (потенциал взаимодействия), зависящая от параметров L, наз. объемным обрезанием, и x, наз. ультрафиолетовым обрезанием. Эвристически (см. Квантовая теория поля). Желательно, чтобы обладала свойствами аддитивного функционала. Затем строится мера

(определение см. ниже) и изучаются пределы последовательности мер при Для некоторых потенциалов V(каких именно - определяется из физнч. соображений; вид Vи задает модель) предельная мера m будет удовлетворять условиям 1-4. Сходимость мер обычно понимается в смысле сходимости всех моментов и характеристич. функционалов.

Напр., для модели со взаимодействием lФ ⁴ при d=2 эта процедура конкретизируется следующим образом. Пусть - гауссова мера на с характеристич. функционалом

где - самосопряженное расширение оператора Лапласа с нек-рыми краевыми условиями на границе области Л на плоскости (обычно - прямоугольник); ядром (-D_L+m²)^-1(x, у)может быть, например, функция Грина для задачи Дирихле. Пусть, далее, и" при Случайная величина Ф _x (х)=Ф (h_x(x-. ))при является гладкой функцией параметра а

при Положим

где: Ф ⁴_x (х):виковская степень случайной величины Ф _x(x) (см. Фока пространство). Тогда

Пусть, наконец,

При все моменты и характеристич. функционалы мер сходятся к моментам и характеристич. функционалу нек-рой квантовой меры m. Оказывается, что при достаточно больших l. меры с разными краевыми условиями на имеют, вообще говоря, разные пределы при В этом случав говорят, что имеет место фазовый переход.

Задача К. к. т. п. состоит в том, чтобы описать все квантовые меры (фазы), отвечающие данному потенциалу взаимодействия, и исследовать свойства соответствующих релятивистских квантовых полей. В первую очередь интересуются спектральными свойствами оператора массы группы Пуанкаре (его изучение сводится к рассмотрению поведения функций Швингера на больших расстояниях) и свойствами S-матрнцы - аналитичность, унитарность и другие (S-матрица изучается при помощи аналитического продолжения функций Швингера).

Существование квантовых мер при d=2 доказано (1978) для потенциалов взаимодействия V=P (Ф), P- любой полуограниченный снизу полином, V=lcos gФ (уравнение синус-Гордона) и нек-рых других неполиномиальных взаимодействий, а также для нек-рых многокомпонентных полей Для полиномиального достаточно слабого взаимодействия начато изучение спектра массового оператора в зависимости от вида полинома и установлено существование S-матрнцы. Исследуется также взаимодействие Юкавы фермионных и скалярных полей. Евклидово фермионное поле не является обобщенным случайным полем, оно принимает значения в алгебре Грассмана. Однако по фермионным переменным можно "проинтегрировать", и задача сводится к оценкам нек-рых континуальных интегралов по обычным гауссовым мерам. Все эти модели при нек-рых значениях параметров имеют фазовые переходы.

Описанная выше конструкция релятивистских квантовых полей приводит только к так называемым вакуумным секторам, т. е. к квантовым полям, удовлетворяющим аксиомам Уайтмана, включая существование вакуума. Эти поля являются решением нелинейных уравнений с простейшими начальными условиями. Для ряда 2-мерных моделей (синус-Гордона и др.) построены солитонные сектора, у которых вакуум отсутствует, но которые имеют весьма интересный с физич. точки зрения спектр оператора массы. Эти новые сектора строятся при помощи специальных автоморфизмов С*-алгебры, наблюдаемых в вакуумном секторе.

При d=3 доказано существование квантовых мер для модели с взаимодействием, где

Потенциал взаимодействия здесь имеет вид

где d т _x и С _{x, L} - некоторые определенные функции от х и Л, т. е. добавлены контрчлены. В этой модели также происходит фазовый переход при достаточно больших l, причем он сопровождается нарушением O(N)-симметрии.

Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; [2] Конструктивная теория поля, пер. с англ., М., 1977; [3] Рид М., Саймон Б.. Методы современной математической физики, пер. с англ., М., т. 1, 1977, т. 2, 1978; [4] Саймон Б., Модель ,Р(j). эвклидовой квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [5] Xепп К., Теория перенормировок, пер. с франц., М., 1974; [б] Эвклидова квантовая теория поля. Марковский подход, пер. с англ., М., 1978; [7] Добрушин Р. Л., Минлос Р. А., "Успехи матем. наук", 1977, т. 32, в. 2, с. 67 - 122; [8] Glimm J., JaHe A., Spencer Т., "Ann. Math.", 1974, v. 100. №3, p. 585-632; [9] Nelson E., "J. Funct. Anal.", 1973, v. 12, № 1, p. 97-112; [10] Frohlich J., "Adv. Math.", 1977, v. 23, № 2, p. 119-81.

И. В. Волович, М. К. Поливанов.