Физическая энциклопедия
- ЭЙЛЕРА -ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ
- необходимое условие экстремума в задачах вариационного исчисления, полученное Л. Эйлером в 1744. Впоследствии, используя другой метод, это ур-ние вывел Ж. Лагранж (J. Lagrange) в 1759.
Пусть поставлена задача вариац. исчисления, состоящая в определении экстремума функционала
при известных условиях на концах
И пусть непрерывно дифференцируемая ф-ция x(t),
есть решение задачи (1), (2). Тогда x(t )удовлетворяет Э.- Л. у.:
Ур-ние (3) можно записать в развёрнутом виде:
Гладкое решение ур-ния (3) [или (4)] наз. экстремалью. Если Fxx=0 в точке (t, х), лежащей на экстремали, то в этой точке экстремаль имеет непрерывную 2-ю производную х. Экстремаль, во всех точках к-рой
наз. неособенной. Для неособенной экстремали Э.- Л. у. можно записать в виде, разрешённом относительно 2-й производной х.Решение вариац. задачи (1), (2) необязательно должно быть непрерывно дифференцируемым. В общем случае оптимальное решение x(t) может быть кусочно дифференцируемой ф-цией. Тогда в угл. точках х(t) должны выполняться необходимые условия Вейерштрасса - Эрдмана, обеспечивающие непрерывность при переходе через угл. точку выражений
а на отрезках между соседними угл. точками ф-ция 
должна удовлетворять Э.-Л. у. Кусочно гладкие линии, составленные из кусков экстремалей и удовлетворяющие в угл. точках условиям Вейерштрасса-Эрдмана, наз. ломаными экстремалями.
В общем случае дифференциальное Э.- Л. у. является ур-нием 2-го порядка и, следовательно, его общее решение зависит от двух произвольных постоянных
Эти произвольные постоянные можно определить из граничных условий (2):
Если рассматривается функционал, зависящий от неск. ф-ций,
то вместо одного Э.- Л. у. приходят к системе n Э.-Л. у.:
Общее решение системы (7) зависит от 2n произвольных постоянных, к-рые определяются из заданных 2n граничных условий (для задачи с закреплёнными концами).
В случае вариац. задач с подвижными концами, в к-рых левый и правый концы экстремали могут смещаться по нек-рым заданным гиперповерхностям, недостающие граничные условия, позволяющие получить замкнутую систему соотношений типа (5), определяются с помощью необходимого условия трансверсальности. Для простейшей задачи типа (1), в к-рой точка
не фиксируется, а может принадлежать нек-рому множеству, условие трансверсальности записывается в виде 
оно должно выполняться при любых значениях дифференциалов dt1 , dx1 , dt2 , dx2 , удовлетворяющих проварьиро-ванным граничным условиям. Если левый и правый концы экстремали могут смещаться вдоль заданных линий 
то в силу условий
и независимости вариаций dt1 и dt2 из (8) получают
Если уравнения линий, вдоль к-рых смещаются левый и правый концы экстремали, заданы в неявном виде
то условие трансверсальности записывается так:
Если на один из концов экстремали не наложено никаких ограничений, то на этом конце в силу независимости соответствующих концевых вариаций dt и dx условие трансверсальности принимает вид
Для функционалов, содержащих производные высших порядков [а не только 1-го, как (1), (6)], необходимое условие, аналогичное Э.-Л. у., записывается в виде диф-ференц. ур-ния Эйлера-Пуассона (см. [1 ]).
Для вариац. задач, в к-рых разыскивается экстремум функционалов, зависящих от ф-ций неск. переменных, аналогичное необходимое условие записывается в виде ур-ния Эйлера - Остроградского, представляющего собой дифференц. ур-ние с частными производными (см. [2]).
В случае вариац. задач на условный экстремум получение системы Э.- Л. у. связано с использованием множителей Лагранжа. Напр., для т. н. задачи Больца, в к-рой требуется найти экстремум функционала, зависящего от n ф-ций
при наличии дифференц. ограничений типа равенств 
и граничных условий 
с помощью множителей Лагранжа 
из 
составляется ф-ция 
и Э.-Л. у. записываются в виде 
Т. <о., оптимальное решение вариац. задачи (9) - (11) должно удовлетворять системе (12), причём первые т из этих ур-ний совпадают с заданными условиями связи (10). Используя дополнительно необходимое условие трансверсальности, получают замкнутую краевую задачу для определения решения вариац. задачи (9) - (II).
Помимо Э.- Л. у. и условий трансверсальности оптимальное решение вариац. задачи должно удовлетворять и др. необходимым условиям [условию Клебша (Лежанд-ра), условию Вейерштрасса и условию Якоби].
Лит.:1)Ахиезер H. И., Лекции по вариационному исчислению, M., 1955; 2) Лаврентьев M. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., M.-Л., 1950.
И. Б. Вапн. <чрский.