Физическая энциклопедия
- ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ
- ур-ние для ф-ции распределения плотности вероятности частиц в фазовом пространстве - основное ур-ние статистич. физики. Ур-ние для статистич. оператора ( матрицы плотности )в квантовой статистич. механике также наз. Л. у., но иногда уравнением фон Неймана.
Инвариантность фазового объёма при движении фазовых точек, изображающих системы в фазовом пространстве ( Лиувилля теорема), позволяет ввести ф-цию их распределения f(p, q), так что
=f( р, q)dpdq- вероятность найти фазовые точки р,q = (p1,..., pN, q1,..., qN )в элементе фазового объёма dpdq. При движении системы фазовых точек их число сохраняется, поэтому при переходе из элемента фазового объёма dpdq в 
выполняется равенство f(p,q)dpdq=
откуда следует, что f (р,q) = т. е. ф-ция распределения постоянна вдоль 
фазовых траекторий системы. В результате полная производная ф-ции распределения по времени равна нулю:
>ткуда с учётом ур-ний Гамильтона
следует Л. у.:
где (H, f) - Пуассона скобка, Н - ф-ция Гамильтона.
Из постоянства ф-ции распределения f вдоль фазовых траекторий можно сделать важный для статистич. физики вывод, что f в случае статистич. равновесия зависит лишь от интегралов движения системы.
В квантовой статистич. механике система описывается статистич. оператором (матрицей плотности) р, к-рый удовлетворяет квантовому Л. у.:
где квадратная скобка обозначает коммутатор операторов H и о. т. е.
=
H - оператор Гамильтона, 
- квантовая скобка Пуассона,
- постоянная планка. Ур-ние (2) является квантовым аналогом классич. Л. у. (1). Стационарным равновесным решением Л. у. является произвольная ф-ция от H, вид к-рой определяется типом статистического ансамбля Гиббса. Неравновесные ф-ции распределения статистич. систем находятся как решения Л. у., зависящие от параметров, к-рые описывают неравновесное состояние.Лит. см. при ст. Статистическая физика. Д. Н. Зубарев.
Математическая энциклопедия
- уравнение движения для функции распределения wN(p, q; t).по импульсам 
и координатам 
N- частичной классич. системы
где H - гамильтониан системы, а фигурными скобками обозначены классич. скобки Пуассона.
Если в фазовом пространстве ( р, q).распределению wN(p, q; t).сопоставить плотность фазовых точек (каждая из к-рых соответствует определенному механич. состоянию данной системы Nматериальных точек), то в силу того, что траектории движения этих точек не пересекаются вследствие единственности решений уравнений движения механики, и того, что фазовый объем согласно Лиувилля теореме сохраняется, ансамбль этих точек образует в фазовом пространстве своеобразную несжимаемую жидкость, полная производная плотности к-рой wN по времени равна нулю:
Это приводит к Л. у., если только выразить согласно Гамильтона уравнениям производные от координат и импульсов через соответствующие частные производные от гамильтониана.
Л. у. используется не только при рассмотрении общих вопросов статистич. механики, связанных с выяснением микроскопической и макроскопической структур состояния системы многих тел, процессов стремления к равновесию, проблем "перемешивания" в фазовом пространстве, эргодичности и т. д., но и в конкретных исследованиях, т. к. Л. у. является исходным уравнением при построении Боголюбова цепочки уравнений, а следовательно, и для различного типа кинетич. уравнений, с помощью к-рых решаются уже прикладные физич. задачи.
В случае квантовых систем роль Л. у. играет уравнение движения для статистич. оператора 
(плотности матрица), к-рое в шрёдингеровском временном представлении имеет вид
где Н - оператор Гамильтона, а фигурными скобками обозначены квантовые скобки Пуассона. Это квантовое Л. у. является следствием структуры смешанного состояния (описываемой данным статистич. оператором), в к-ром каждое из составляющих его чистых квантово-механич. состояний эволюционирует согласно Шрёдингера уравнению.
Лит.:[1] Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., М., 1957; [2] У л е н б е к Д., Форд Д ж., Лекции по статистической механике, пер. с англ., М., 1965; [3] Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 2, К., 1970.
И. А. Квасников.