«СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ»

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ

- случайный процесс у к-poro распределение вероятностей приращений на промежутке времени , t < t' не зависит от выбора начала отсчёта времени t. Более точно это означает, что для любого набора моментов времени

, i= 1,..., n; n = 1,2,... совместное распределение вероятностейприращений процесса на промежутках между этими моментами не меняется при одновременном «сдвиге» всех моментов:

Иногда рассматривают С. п. со с. п. 2-го, 3-го,..., k-гo порядка. <Так, в случае k= 2 это означает, что для любой последовательностимоментов времени (*) стационарны вторые разности процесса :

В случае, когда С. п. со с. п. k-ro порядка пмеет k -юпроизводную по времени (чтоозначает соответствующую гладкость его реализаций), эта производная образует стационарный случайный процесс.

Лит.: Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В., Введение в теориюслучайных процессов, 2 изд., М., 1977. Р. А. Минлос.

- случайный процесс X(t)с дискретным или непрерывным временем tтакой, что статистич. характеристики его приращений нек-рого фиксированного порядка не меняются во времени (т. е. инвариантны относительно временных сдвигов ). Как и в случае стационарных случайных процессов, различают два типа С. п. со с. п., а именно - С. п. со с. п. в узком смысле, для к-рого все конечномерные распределения вероятностей приращений X(t) заданного порядка в точках t₁, ...,t_n и точках t₁+a,..., t_n+a при любом асовпадают друг с другом, и С. п. со с. п. в широком смысле, для к-рых средние значения приращения в момент t и вторые моменты приращений в моменты t и t+s не зависят от t.

В случае процессов X(t)с дискретным временем t=0, всегда можно перейти от рассмотрения случайного процесса X(t)к рассмотрению нового случайного процесса

где - биномиальные коэффициенты. Если X(t)- С. п. со с. п. п-го порядка, то процесс будет уже стационарным в обычном смысле; поэтому в случае дискретного времени теории С. п. со с. п. сводится к теории более частных стационарных случайных процессов. Однако с точки зрении приложений использование понятия С. п. со с. п. и дискретным временем tчасто оказывается весьма удобным, т. к. для многих встречающихся на практике явно нестационарных временных рядов x(t), t= l, 2,.... ряды их приращений нек-рого порядка пуже можно считать реализациями стационарного случайного процесса В частности, Дж. Бокс (G. Box) и Г. Дженкинс (G. Jenkins) (см. [1]) указали, что при решении многих практич. задач реальные временные ряды часто можно считать реализациями т. н. процесса авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего, представляющего собой специальный С. п. со с. и. и дискретным временем (см. также [2] - [4]).

Примерами С. п. со с. п. 1-го порядка (в узком смысле) с непрерывным временем tявляются, в частности, винеровский процесс и пуассоновский процесс;оба эти процесса принадлежат также и к более узкому классу процессов с независимыми стационарными приращениями 1-го порядка. В случае непрерывного tтеория С. п. со с. п. уже не сводится непосредственно к теории более простых стационарных процессов. Корреляционная теория (т. е. теория соответствующих процессов в широком смысле) С. п. со с. п. 1-го порядка была развита А. Н. Колмогоровым [5] (см. также [6]); подобная же теория С. п. со с. п. n-го порядка, где п - произвольное целое положительное число, рассматривалась в работах [7] - [9]. Центральное место в корреляционной теории С. п. со с. п. занимает вывод спектрального разложения таких процессов и их моментов 2-го порядка. Использование понятия обобщенного случайного процесса позволяет заметно упростить теорию С. п. со с. п.; так как в рамках теории обобщенных случайных процессов любой случайный процесс X(t)имеет производные всех порядков (являющиеся, вообще говоря, обобщенными случайными процессами), то С. п. со с. п. n-ro порядка можно также определить как случайный процесс X(t), п- я производная которого Х ^(п) является (вообще говоря, обобщенным) стационарным случайным процессом (см. [9]).

Лит.:[1] Бокс Д ж., Дженкинс Г., Анализ временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в .1-2, М., 1974; [2] Nе1sоn С .R., Applied time scries analysis for managerial foreca ting, S. F., 1973; [3] Andersоn O. D., Time series analysis and forecasting. The Box-Jerikins approach, L.- Boston, 1976; [4] Rоbinsоn E. A., Si1va M. Т., Digital foundations of time eries analysis: the Box - Jenkins approach, S. F., 1979; [5] Колмогоров А. Н., лДокл. АН СССР