«ВИНЕРА - ХОПФА МЕТОД»

ВИНЕРА - ХОПФА МЕТОД

- метод решения интегр. ур-ний спец. <вида

наз. ур-ниями типа Винера-Хопфа. Разработан H. Винером и Э, Хопфом (E. Hopf) в 1931 Введение ф-ций , где при x>0, при x<0, позволяет свести интеграл в этом ур-нии к интегралу типа свёртки. Применяя преобразование Фурье, получаем линейное ур-ние с двумя неизвестными ф-ция-ми. Используя их свойства аналитичности, можно найти общее решение исходного ур-ния с точностью до произвольных постоянных, к-рые определяются из дополнит. условий.

В.-X. м. был разработан для задачи о дифракции волн на полуплоскости, нашёл применение в теории волноводов, в задачах о дифракции волн и переносе излучения.

Лит.: Фок В. А., О некоторых интегральных уравнениях математической физики, Матем. сб., 1944, т. 14, № 1-2, с. 3-50: Морс Ф. M., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, M., 1958; Hобл Б., Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, пер. с англ., M., 1962; Mэтьюз Дж., Уокер Р., Математические методы физики, пер. с англ., M., 1972.

- метод решения функционального уравнения вида:

где - заданные функции комплексного переменного , аналитические в полосе причем отличны от нуля в этой полосе; функции ' - неизвестные функции комплексного переменного , стремящиеся к нулю при и подлежащие определению, причем аналнтична при аналитична при Уравнение (1) выполняется в общей полосе аналитичности

Основой В.-X. м. являются следующие две теоремы. 1) Функция , аналитическая в полосе и равномерно стремящаяся к нулю при , представима в этой полосе в виде суммы:

где аналитична в полуплоскости аналитична в полуплоскости .

2) Функция , аналитическая и отличная от нуля в полосе и равномерно стремящаяся в этой полосе к единице при , представима в данной полосе в виде произведения:

где и аналитичны и отличны от нуля, соответственно, в полуплоскостях

Представление (2) часто наз. факторизацией функции

Основная идея В.-X. м. заключается в возможности факторизации функции т. е. в возможности представления

Используя (3), уравнение (1) можно переписать в виде:

Поскольку аналитична в полосе, то

Используя (4), получают окончательно уравнение (1) в виде:

Левая часть выражения (5) представляет собой функцию, аналитическую в , а правая - функцию, аналитическую в . Так как они имеют общую полосу аналитичности, где выполняется условие (5), то существует единственная целая функция , совпадающая, соответственно, с левой и правой частями (5) в областях их аналитичности. Отсюда

т. е. решение уравнения (1) определено с точностью до целой функции. Если степень роста функций и ограничена на бесконечности, то будет многочленом. Тогда искомые функции определяются с точностью до постоянных, к-рые вычисляются из дополнительных условий.

В.-X. м. был разработан в [1] для решения интегральных уравнений специального вида (см. Винера - Хопфа уравнение). В дальнейшем он нашел широкое применение в различных задачах математич. физики (см. также [2]).

Лит.:[1] Wiener N., Hopf Е., Uber cine Klasse singularer Integralgleichungen, "Sitz. Akad. Wiss.", В., 1931; [2] Нобл Б., Применение метода Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, пер. с англ., М., 1962. В. И. Дмитриев.