Физическая энциклопедия
- ЭРМИТА ФУНКЦИИ
- специальные функции, удовлетворяющие ур-нию Эрмита (С. Hermit)
Частные решения (1) имеют вид
При целом v>0 Э. ф. совпадают с полиномами Эрмита (см. Ортогональные полиномы). Интегральное представление, ф-лу дифференцирования и рекуррентное соотношение для Э. <ф. Hv(z )см. в ст. Параболического цилиндра функции. Э. ф. можно выразить через вырожденные гипергеометрические функции:
Используя свойства гипергеометрических ф-ций, получим разложение в ряд
Асимптотич. представление при
Для ф-ций Hv(z )имеют место функциональные соотношения
Лит. см. при статьях Специальные функции, Параболического цилиндра функции. А. Ф. Никифоров.
Математическая энциклопедия
- решения Эрмита уравнения
Э. ф. имеют вид
где C1 - контур в комплексной плоскости t, состоящий из лучей 
и полуокружности|t|=а>0, 
С 2=-С1. Полусумма этих решений
при целом 
равна Эрмита многочлену Hn(z). Уравнением Эрмита наз. также уравнение 
При v целом это уравнение имеет фундаментальную систему решений Не (х), hev(x), где Hev(x) - многочлены Эрмита, hev (х)суть Э. ф. 2-го рода, к-рые выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию:
Справедливы тождества:
Лит.:[1] Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.- Л., 1951; [2] Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции, пeр. с нем., М., 1963.
М. В. Федорюк.