Физическая энциклопедия
- КРИВИЗНЫ ТЕНЗОР
(Римана тензор) - локальная характеристика кривизны в римановой геометрии. К. т. определяют с помощью процедуры параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой в римановом пространстве. Параллельным (ковариантно постоянным) вдоль кривой
наз. векторное поле Fi (х), для к-рого обращается в нуль ковариантная производная 
по направлению скорости кривой 
: 
. В евклидовой геометрии существуют координаты, в к-рых ковариантная производная 
сводится к обычной (а Кристоффеля символы
равны нулю), поэтому результат переноса не меняет вектора и не зависит от кривой. В римановой геометрии таких координат не существует, полученный в результате переноса вектор отличен от первоначального, причём отличие 
в пределе малой кривой пропорц. площади 
ограниченной ею поверхности: 
, где К. т. 
равен 
Равенство нулю всех компонент К. т. в каждой точке пространства необходимо и достаточно для того, чтобы это пространство было евклидовым. С К. т. связана некоммутативность ковариантных производных; для общих связностей
где 
-тензор кручения. Если перейти от смешанных компонент К. т. 
к его ковариантным компонентам 
по правилу 
= =
, где gin - метрический тензор, то для 
имеет место равенство 
Отсюда вытекают след. свойства К. т.:
(тождество Риччи),
(тождество Бьянки).
Полное число N разных, не равных нулю, компонент К. т. в n -мерном римановом пространстве равно N=
. Из К. т. путём свёртывания Rk = =
получается Риччи тензор Rik. Наконец, свёртывание Rik даёт инвариант.
, наз. скалярной кривизной пространства.Лит.: Фок В. А., Теория пространства, времени и тя-. готения, 2 изд., М., 1961; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд.. М. 1986. В. И. Алхимов.
Математическая энциклопедия
- тензор типа (1,3), получающийся в разложении кривизны формы в локальном ко-базисе на многообразии М п. В частности, в голономном кобазисе 
компоненты К, т. 
аффинной связности выражаются через объекты связности 
и их производные
Аналогично определяется К. т. для произвольной связности на главном расслоенном пространстве со структурной группой Ли Gчерез разложение соответствующей формы кривизны, в частности для конформной связности и проективной связности. Он принимает значения в алгебре Ли группы Gи представляет собой пример так наз. тензоров с нескалярными компонентами. М. И. Войцеховский.
Лит. см. при ст. Кривизна.