«ФОКА ПРОСТРАНСТВО»

- в простейшем и чаще всего употребляемом случае - гильбертово пространство, состоящее из бесконечных последовательностей вида

где

или причём

означает гильбертово пространство симметрических (соответственно антисимметрических) ф-ций от п переменных . Скалярное произведение двух последовательностей F и G вида (1) равно

В случае, когда последовательности F состоят из симметрических ф-ций, говорят о симметрическом (или бозонном) Ф. <п., а в случае последовательностей антисимметрических ф-ций Ф. <п. наз. антисимметрическим (или фермионным). В таком простейшем случае Ф. <п. были впервые введены В. А. Фоком в 1932.

В общем случае произвольного гильбертова пространства H Ф. п. (или ), построенным над H, наз. симметризованную (или антисимметризованную) тензорную экспоненту пространства H, т. е. пространства

где знак означает прямую ортогональную сумму гильбертовых пространств, , ,а , п>1-симметризованную при или антисимметризованную й-ую тензорную степень пространства H. В случае определение (2) эквивалентно определению Ф. <п., приведённому в начале статьи, если отождествить пространства и

так, что тензорному произведению

последовательности ф-ции

соответствует ф-ция

где суммирование происходит по всем перестановкам индексов - чётность перестановки CT, а знак +1 или - 1 в выражении (3) соответствует симметрическому или антисимметрическому случаям.

В квантовой механике Ф. <п. или служат пространствами состояний квантовомеханич. системы, состоящей из произвольного (но конечного) числа одинаковых частиц, таких, что пространством состояний каждой отд. частицы является пространство Я. При этом в зависимости от того, каким из Ф. <п.- симметрическим или антисимметрическим - описывается эта система, сами частицы наз. бозонами или фермионами. Для любого n = 1, 2,..., подпространство наз. и-частичным подпространством: его векторы описывают те состояния, в к-рых имеется ровно п частиц; единичный вектор (в записи (1): , называемый вакуумным вектором, описывает состояние системы, в к-ром нет ни одной частицы.

При изучении линейных операторов, действующих в Ф. п. , часто применяется спец. формализм, называемый методом вторичного квантования. Он основан на введении в каждом из пространств , , а, двух семейств линейных операторов: т. <н. операторов уничтожения и семейства сопряжённых им операторов , называемых операторами рождения. Операторы уничтожения задаются как замыкания операторов, действующих на векторы

где -симметризованные (при ) или антисимметризованные () тензорные произведения последовательностей векторов по ф-лам

n

где g_s(i) = 0 и g _а(i)=i-1. Операторы же рождения действуют на векторы (3) по ф-лам

При этом для любого ,

т. е.

состояние физ. системы с п частицами операторами уничтожения переводится в состояние с (и -1)-ой частицей, а операторами рождения -в состояние с ( п+1)-ой частицей.

Операторы рождения и уничтожения оказываются во MH. случаях удобной системой «образующих» в совокупности всех операторов (ограниченных и неограниченных), действующих в Ф. <п. Представление таких операторов в виде суммы (конечной или бесконечной) операторов вида

т. н. нормальная форма оператора, и основанные на таком представлении способы действия с операторами (вычисление ф-ций от них, приведение операторов к к.-н. «простейшему» виду, разл. приёмы аппроксимации и т. д.)

и составляют содержание упомянутого выше формализма вторичного квантования (2).

Лит.:Foсk V., Configuration space and Dirac's method of quantisation, «Z. Phys.», 1932, Bd 75, H. 9-10, S. 622; Березин Ф. A., Метод вторичного квантования, 2 изд., M., 1986; Малышев В. А., Мин л ос P. А., Линейные операторы в бесконечночастичных системах, M., 1994. P. А. Минлос.