«ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД»

ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД в энциклопедиях

Источники

Физическая энциклопедия Энциклопедический словарь Математическая энциклопедия

Поделиться

Физическая энциклопедия

ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД

- один из методов решения краевых задач матем. физики (для Гелъмголъца уравнения, Пуассона уравнения, волнового уравнения и др.), заключающийся в сведении исходной задачи отыскания поля заданных (сторонних) источников в присутствии граничных поверхностей к расчёту поля тех же и нек-рых добавочных (фиктивных) источников в безграничной среде. Последние помещаются вне области отыскания поля исходной задачи и наз. источниками-изображениями. Их величина и положение определяются формой граничных поверхностей и видом граничных условий. <К классу задач, разрешимых с помощью И. м., относят обычно те, в к-рых каждому заданному точечному источнику удаётся сопоставить конечную систему (иногда бесконечный дискретный ряд) однотипных точечных источников-изображений. Существует достаточно простой способ "конструирования" задач этого класса с заранее известным ответом. Он состоит в решении обратной задачи отыскания поверхности, на к-рой выполняется требуемое граничное условие для поля нек-рой произвольно заданной системы точечных источников (разграничиваемых искомой поверхностью на сторонние и фиктивные). Однако ценность большинства построенных таким способом решений оказывается весьма ограниченной из-за осуществляемой в них жёсткой фиксации положения сторонних источников по отношению к граничной поверхности. Лишь в немногих случаях, отвечающих нек-рым простейшим формам границы и типам граничных условий, решение может быть построено при произвольном расположении сторонних источников, а следовательно, на основании принципа суперпозиции, и для любого вида их пространственного распределения. Наиб. известные из такпх случаев описаны ниже применительно к полям и источникам разл. типов. <В электростатике, где И. м. получил наиб. развитие, простейшим примером его использования является определение поля точечного заряда q, расположенного над бесконечной плоской границей проводника с потенциалом j=0. Искомое поле (в том полупространстве, где расположен заряд) тождественно полю, создаваемому в безграничной среде двумя точечными зарядами: данным зарядом q и его (взятым с обратным знаком) зеркальным (относительно границы) изображением q'=-q. Если поверхность проводника представляет собой сферу S радиуса а, а заряд q лежит в точке Р н а расстоянии ОР от её центра О, то как внутр. задача ( ОР<a), так и внеш. задача для заземлённого шара [ОР>а, j(S)-0]решаются с помощью единственного заряда-изображения q', помещаемого в точку Р', лежащую на одной радиальной прямой с Р по др. сторону от границы S. Величина заряда q' и его расстояние до центра ОР' даются соотношениями: q'=-qa/OP, OP'=a2/OP, т. е. Р и Р' связаны преобразованием инверсии относительно сферы S. Система изображений для незаряж. изолированного тара состоит из заряда q' в инверсной точке Р' и заряда q "=-q' в центре О. Подобный вид имеет решение аналогичной двумерной задачи (заряж. нить, параллельная оси проводящего цилиндра). Отличие от сферы состоит в том, что абс. величины заданного и фиктивного линейных зарядов одинаковы. В ряде случаев оказывается возможным построить систему изображений для проводящих поверхностей, представляющих собой комбинацию рассмотренных простейших форм. Сюда относятся, в частности, двугранный угол величины p/m (где т- целое число), две параллельные плоскости (порождающие бесконечный ряд зарядов-изображений), плоскость с полусферич. выступом и т. д. <Известны две задачи, в к-рых И. м. позволяет найти поле зарядов, расположенных около границы диэлектрика. Первая задача - в поле точечного заряда q, лежащего в точке Р над плоскостью S, разделяющей две среды (1 и 2) с разл. диэлектрич. проницаемостями e1 и e2. Поле в той среде, где находится заряд (пусть для определённости это будет среда 1), ищется как суперпозиция полей двух зарядов q и q' в однородном диэлектрике с e=e1; заряд q' лежит в точке Р', представляющей собой зеркальное изображение точки Р относительно границы S. Поле в среде 2 ищется как поле заряда q " в однородном диэлектрике с e1=e2; заряд q " лежит в той же точке Р, чтои заданный заряд q. Граничные условия на S для потенциала j и его нормальной производной Рj/Рn

j1 = j2, e1 (Рj1/Рn)= e2 (Рj2/Рn) (1)

будут выполнены, если

q'=q([ e1- e2]/[e1+ e2]) q "=q(2e2/[e1+ e2]) (2)

Аналогичным образом строится решение второй задачи, заключающейся в расчёте поля двумерной системы, образованной заряж. нитью и диэлектрич. цилиндром. <На основании известных аналогий получаемые с помощью И. м. решения при сопоставимых граничных условиях могут быть перенесены из электростатики в др. области: токовую статику, магнитостатику, гидродинамику. В частности, заменяя в (2) диэлектрич. проницаемости на магнитные, получаем закон изображения магн. полюсов в плоской границе магнетика, легко обобщаемый затем на "магн. листки" и эквивалентные им токи. При е 2=0 (Рj1/Рn=0)ф-лы (2) дают решение родственной группы разл. физ. задач о потенц. обтекании границы (в данном случае плоской) непроницаемого препятствия, роль к-рого в магнитостатике играет сверхпроводник, в токовой статике - изолятор, в гидродинамике - твёрдое тело. С помощью конечной системы изображений могут быть построены также решения аналогичных задач обтекания для тел более сложной формы (сфера, нек-рые овалоиды), внесённых в однородный на бесконечности поток. <Для перем. полей, описываемых волновым ур-нием (в электродинамике, акустике и т. д.), И. м. позволяет получить точное решение задачи лишь в случае плоской границы, на к-рой проекция поля или потенциалы удовлетворяют граничным условиям простейшего вида (j=0 или Рj/Рn=0). В частности, легко решается задача о поле перем. электрич. диполя над идеально проводящей плоскостью. Искомое поле создаётся данным диполем [с моментом p(t)] иего зеркальным изображением [смоментом p'(t)] в плоскости. Касательная (t) и нормальная (n) к плоскости компоненты векторов р и р' связаны соотношениями: р't=- р t, р'n=p п. При достаточно малой длине волны в рамках геометрической оптики метода и нек-рых уточняющих его коротковолновых приближений И. м. применим для широкого класса границ и граничных условий и сводится к построению картины лучей и геометро-оптич. изображении. Лит.: К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е П. В., Теоретическая гидромеханика, ч. 1, 6 изд., М., 1963; Гринберг Г. А., Избранные вопросы математической теории электрических п магнитных явлений, М.-Л., 1948; Смайт В., Электростатика и электродинамика, [пер. с англ.], М., 1954; Б р е х о в с к и х Л. М., Волны в слоистых средах, 2 изд., М., 1973; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982; Пановский В., Филипс М., Классическая электродинамика, пер. с англ., М., 1963. В. Б. Гильденбург.

Энциклопедический словарь

ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД

ИЗОБРАЖЕ́НИЙ МЕ́ТОД, метод решения краевых задач математической физики для уравнений Пуассона, Гельмгольца и др. с помощью сведения исходной задачи отыскания поля, создаваемого заданными источниками в присутствии граничных поверхностей, к расчету поля тех же и некоторых дополнительных источников. Фиктивные источники помещаются вне области определения поля исходной задачи и называются источниками-изображениями. Их величина и расположение определяется граничными условиями исходной задачи.

Математическая энциклопедия

, отображений метод,- метод теории потенциала для решения некоторых краевых (граничных) задач для дифференциальных уравнений с частными производными в области D, при к-ром выполнение краевых (граничных) условий на границе дD=T достигается путем соответствующего подбора нек-рых дополнительных источников поля, расположенных вне Dи называемых источниками-изображениями.

Наибольшее развитие И. м. получил в электростатике. Пусть, напр., требуется решить Дирихле задачу для Пуассона уравнения Du=-2pr( х, у )в полуплоскости D={(x, у): y>0, } с заданной на границе Г= {( х, у): y=0, } функцией y(x), т. е. требуется найти потенциал электрич. зарядов плотности r( х, у), расположенных в D, при условии, что на Г поддерживается потенциал y(x). Известно, что для решения этой задачи достаточно знать Грина функцию G(x, у; х 0, y0), представляющую собой потенциал единичного точечного заряда в точке когда граница Г заземлена, т. е. G(x,0; х 0, у 0)=0- При этом решение и( х, у )исходной задачи выражается через G(x, у; х 0, у 0). следующим образом:

Потенциал точечного заряда при отсутствии границ записывается в виде фундаментального решения Лапласа уравнения Добавляя отрицательный единичный заряд-изображение в точке ( х 0,- у 0 )и составляя сумму потенциалов этих двух зарядов, получают искомую функцию Грина:

В случае полосы D= {(x, у):0<у<b,}, отражая единичный заряд ( х 0, y0 )О D от прямых у=0 и у=b, получают бесконечную последовательность зарядов-изображений -1, -1, +1, +1,..., расположенных, соответственно, в точках ( х 0,- у 0),( х 0,2b- у 0), ( х 0, -2b+у 0),( х 0, 2b+у 0),.... Функция Грина в этом случае будет выражаться в виде бесконечного ряда потенциалов точечных зарядов. Для области Dв виде круга D={(r, j):

} изображением единичного заряда в точке (r0> j0) будет отрицательный единичный заряд, расположенный в точке (а 2/r0, j0), являющейся отображением точки (r0, j0) при помощи инверсии относительно окружности р=а.

Возможны и другие конфигурации границ, составленных из прямых и окружностей, когда решение достигается построением соответствующей последовательности зарядов-изображений.

При решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона Du=-4pr(x, у, z )в полупространстве

отражая единичный заряд от плоскости z=0, вместо (2) получают формулу

В случае шара D={(r,q, j):

} следует применить Кельвина преобразование, и изображением единичного заряда в точке (r0,q0, j0) Dбудет заряд величины - а/r0, расположенный в точке (a2/r0,q0, j0), являющейся отображением точки (r0,q0, j0) при помощи инверсии относительно сферы т=а. Отсюда получается, что если известно решение уравнения Пуассона Du=-4pr(r, q, j) в нек-рой области D, то функция v(r,q, j)=(а/r)u(а 2/r, q, j) дает решение уравнения Пуассона Dv=-4pr'(r, q, j) с плотностью r' (r, q, j)=(а/r)5r(а 2/r, q, j) в области D', являющейся отображением Dпри инверсии относительно сферы r=а. В такой форме И. м. иногда наз. методом инверсии. При применении метода инверсии необходимо обращать внимание на то, что краевые (граничные) условия, вообще говоря, также преобразуются.

Для более сложных пространственных областей, граница к-рых состоит из нескольких плоскостей или сфер, возможно также применение бесконечных последовательностей зарядов-изображений. В комбинации с предельными переходами, когда один или несколько источников удаляются в бесконечность, И. м. допускает решение и более сложных задач таких, напр., как отыскание потенциала электростатич. поля в случае проводящего шара, помещенного в однородном на бесконечности поле.

В случае уравнения Гельмгольца Du+k2u=0 И. м. применим только для областей, ограниченных прямыми, или для пространственных областей, ограниченных плоскостями, с использованием соответствующих фундаментальных решений H(1)0(kr), H(2)0(kr) или eikr/r,e-ikr/r.

Лит.:[1] Гринберг Г. А., Избр. вопросы математической теории электрических и магнитных явлений, М.- Л., 1948; [2] Смайт В., Электростатика и электродинамика, пер. с англ., М., 1954; [3] Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, т. 1, М.- Л., 1963.

Е. Д. Соломенцев.