«КОРТЕВЕГА - ДЕ ФРИСА УРАВНЕНИЕ»

КОРТЕВЕГА - ДЕ ФРИСА УРАВНЕНИЕ в энциклопедиях

Источники

Физическая энциклопедия Математическая энциклопедия

Физическая энциклопедия

КОРТЕВЕГА - ДЕ ФРИСА УРАВНЕНИЕ: - нелинейное дифференц. ур-ние

представляющее собой универсальную модель для описания одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией без диссипации, в к-рых закон дисперсии для линейных волн описывается двумя членами разложения по степеням волнового числа k: Предложено Д. Кортевегом (D. Korteweg) и Г. де Фри-сом (G. de Vries) в 1895 в связи с задачей о волнах на поверхности жидкости. К.- де Ф. у. описывает маг-нитозвуковые и ионно-звуковые волны в плазме, акустич. волны в кристаллах, поверхностные и внутр. волны в океане.

Для К. - де Ф. у. найдены точные решения разл. вида, одно из осн.- солитон, или уединённая волна,

амплитуда солитона и положение его центра х₀ - произвольные постоянные. Убывающее при нач. возмущение, эволюционируя согласно К.- де Ф. у., распадается на-ряд невзаимодействующих солитонов, распространяющихся влево, и на осциллирующий и затухающий фон, распространяющийся вправо. Поведение решения при вычисляется по нач. данным. При помощи обратной задачи рассеяния метода можно найти для К.- де Ф. у. бесконечные наборы точных решений, простейшим является N -солитонное: , где - определитель матрицы

, M_i(i=l, 2,..., N) - произвольные пост., - единичная матрица. При N -солитонное решение распадается на N свободных солитонов с параметрами . В процессе взаимодействия солитоны испытывают упругие столкновения, приводящие к сдвигу их центров. Полный сдвиг каждого солитона равен сумме сдвигов при парных столкновениях.

Простейшим периодич. решением является бегущая кноидальная волна, описываемая эллиптич. косинусом cn (x-ct), с чем и связано её название:

здесь с, Е- параметры волны. При E-0 кноидальная волна переходит в набор периодически расположенных солитонов.

К.- де Ф. у. допускает также автомодельные решения (см. Автомоделъностъ), к-рые выражаются через решения Пенлеве уравнений. Для построения и преобразования решений К.- де Ф. у. можно использовать Беклунда преобразования.

К.- де Ф. у. имеет бесконечный набор интегралов движения .n = 0, 1, 2,..., где Р _п - полином от ф-ции u и её производных, в частности Р₀=и; Р₁=и²; P₂=u³-u²_x/2; Р₃=(и²_xx+5uu_x+5u²)/2. При помощи функциональной производной К.- де Ф. у. можно записать в виде

откуда следует, что оно является гамилътоновой системой с ф-цией Гамильтона I₂ и скобкой Пуассона

Поскольку =0, можно показать, что К.- де Ф. у.- интегрируемая гамильтонова система, и явно ввести переменные: действие - угол. Гамильтонова структура (1) не является единственной, выбором скобок Пуассона можно сделать ф-цией Гамильтона любой из интегралов I_n.

Рассматривают также "высшие К.- де Ф. у. ":

их свойства аналогичны свойствам обычного К.- де Ф. у. В диссипативных средах К.- де Ф. у. переходит в Бюргерса - Кортевега - де Фриса уравнение

к к-рому (в отличие от К.- де Ф. у. и Бюргерса уравнения )точные методы не применимы. Стационарные решения ур-ния (2) описывают структуру ударных волн в средах с дисперсией, в частности бесстолкновителъных ударных волн в плазме. В двумерном случае К.- де Ф. у. переходит в Кадомцева - Петвиашвили уравнение.

Лит.: Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., М., 1977; Теория солитонов. Метод обратной задачи, М., 1980. В. Е. Захаров.

Математическая энциклопедия

КдФ-уравнение,- уравнение вида

предложено Д. Кортевегом и Г. де Фрисом [1] для описания распространения волн на мелкой воде. Оно может быть проинтегрировано с помощью метода обратной задачи теории рассеяния, к-рый основан на представлении К.- де Ф. у. в виде

где - одномерный оператор Шрёдингера, а

Для К.- де Ф. у. однозначно разрешима задача Коши в классе быстроубывающих функций с начальным условием: (здесь - пространство Шварца). Пусть

- данные рассеяния для оператора Шрёдингера с потенциалом и(х). Тогда

и решение и( х, t).определяется по данным рассеяния s(t).с помощью нек-рого интегрального уравнения. В случае последнее уравнение явно решается; возникающие таким образом потенциалы наз. безотражательными, а соответствующие решения К.- де Ф. у.- n-солитонными (см. Солитон). К.- де Ф. у. записывается в гамильтоновом виде

здесь фазовым пространством является пространство а скобки Пуассона задаются билинейной формой оператора Отображение представляет собой каноническое преобразование к переменным типа действие - угол. В новых переменных гамильтоновы уравнения явно интегрируются, и их решение дается указанными выше формулами. К,- де Ф. у. обладает бесконечным набором интегралов движения:

Все эти интегралы движения находятся в инволюции, и порождаемые ими гамильтоновы системы (так наз. высшие уравнения Кортевега - де Ф р и с а) вполне интегрируемы.

С помощью интегральных уравнений обратной задачи также находится решение задачи Коши для начального данного типа ступеньки:

При в окрестности фронта решение и( х, t).распадается на невзаимодействующие солитоны - происходит распад ступеньки.

В случае задачи Коши с периодическим начальным условием аналогом безотражательных потенциалов являются потенциалы, для к-рых оператор Шрёдингера имеет конечное число запрещенных зон,- конечнозонные потенциалы. Периодические и почти периодические конечнозонные потенциалы являются стационарными решениями высших К.- де Ф. у.; последние представляют собой вполне интегрируемые конечномерные гамильтоновы системы. Произвольный периодич. потенциал аппроксимируется конечнозонными. Пусть при - края зон; а Г - гиперэллиптнческая кривая

над полем С. Тогда действительнозначные почти периодические потенциалы с указанными краями зон, а также решения задачи Коши выражаются через q-функции на многообразии Якоби J(Г).кривой Г. При определенных соотношениях на края зон полученные решения будут периодическими. Если отказаться от условий то получатся комплекснозначные (возможно с полюсами) решения К.- де Ф. у., к-рые также наз. конечнозонными.

Лит.:[l] Korteweg D., d е V r i e s G., "Phil. Mag.", 1895, v. 39, p. 422-43; [2] "Phys. Rev. Lett.", 1967, v. 19, p. 1095-97; [3] 3 a x a p о в В. Е., Ф а д д е е в Л. Д., "Функциональный анализ и его приложения", 1971, т. 5, в. 4, е. 18-27; [4] М а р ч е н к о В. А., Спектральная теория операторов Штурма - Лиувилля, К., 1972; [5] Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П., "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 1, с. 55-136; [6] Кунин И. А., Теория упругих сред с микроструктурой, М., 1975. Л. А. Тахтаджян.