Физическая энциклопедия
- ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ФУНКЦИИ
-ф-ции, удовлетворяющие ур-нию
к-рое после замены
переходит в уравнение Эрмита
где v - комплексный параметр.
Пусть
- решение ур-ния (2), к-рое при v = п совпадает с полиномомЭрмита 
п=0, 1,... (см. Ортогональные полиномы). П. ц. ф. Dv(z )равна 
Т. к. ур-ние (2) после замены
переходит в ур-ние 
решения к-рого можно выразить через вырожденныегипергеометрические функции F(a,c,x), то получаем
где Г(t) - гамма-функция Эйлера. <Отсюда легко получить разложения в степенные ряды и асимптотич. представлениядля ф-ций Dv(z). Наряду с ф-цией Dv(z )ур-нию(1) удовлетворяют также ф-ции Dv( -z),
Ф-ции Dv(z )вещественны при вещественных v, z. П. <ц. ф. иногда наз. функциями Вебера. Для функции Эрмита 
имеются интегральное представление 
ф-ла дифференцирования
и рекуррентное соотношение
Можно получить аналитич. продолжение ф-ции
определяемой ф-лой (3), на область Re v
0. Ур-ние (1) возникает, напр., при разделении переменных в волновом ур-нии, <записанном в цилиндрич. координатах, при рассмотрении гармонич. осцилляторав квантовой механике и в др. задачах.Лит.: Бейтмен Г., Эрдейн А., Высшиетрансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974; НикифоровА. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд.,М., 1984; Справочник по специальным функциям, пер. с англ., М., 1979.
А. Ф. Никифоров.
Математическая энциклопедия
Вебера функции, Вебера - Эрмита функции,- решения дифференциального уравнения
к-рое получается в результате разделения переменных в волновом уравнении 
в параболических ци-линдрич. координатах. Наиболее часто используется решение
где 
- вырожденная гипергеометрич. функция. Уравнению 
удовлетворяют также 
, 
. Функции 
и 
линейно независимы при любых 
и 
при 
, 
П. ц. ф.- целые функции от z. Функция 
действительна при действительных v и z. Формулы дифференцирования (n=1, 2,...):
Рекуррентные формулы:
Асимптотика: при фиксированном 
и 
при ограниченном
П. ц. ф. связана с др. функциями следующими соотношениями. С многочленами Эрмита:
с интегралом вероятности:
с функциями Бесселя:
Лит.:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [2] Миллер Д ж.-Ч.-П., Таблицы функций Вебера (функций параболического цилиндра), пер. с англ., М., 1968. Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.