«ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ»

ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ

(по имени ирл. математика У. Р. Гамильтона (W. R. Hamilton)), характеристич. функция механической системы, выраженная через канонические переменные: обобщённые координаты qi и обобщённые импульсы рi. Для системы со связями, явно не зависящими от времени t, движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, Г. ф. H(qi, рi)=T+П, где П — потенц. энергия, а Т — кинетич. энергия системы, в выражении к-рой все обобщённые скорости qi заменены на Pi с помощью равенства рi=дТ/дqi. Т. о., в этом случае Г. ф. равна полной механич. энергии системы, выраженной через qi и pi. В общем случае Г. ф. H(pi, qi, t) может быть определена через др. характеристич. ф-цию — Лагранжа функцию L (qi, pi, t) равенством:

.

в к-ром все qi должны быть также выражены через pi.

Г. ф., как и ф-ция Лагранжа, полностью характеризует ту систему, для к-рой она определена, т. к., зная H(pi, qi, t), можно составить дифф. ур-ния движения системы (см. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ).

Г. ф. обобщается и на системы с бесконечным числом степеней свободы — классические физические поля. В этом случае роль обобщённых координат и импульсов играют значения ф-ции поля в каждой точке пр-ва и их производные по времени. Г. ф. системы взаимодействующих полей равна сумме Г. ф. свободных полей и энергии их вз-ствия. (Иногда в теории классич. полей Г. ф. наз. гамильтонианом, как и в теории квант. полей.)

гамильтониан,- функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834) для описания движений механических систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), используется в классическом вариационном исчислении для представления Эйлера уравнений в канонической

форме. Пусть - Лагранжа функция механич. системы или подннтегральная функция в задаче минимизации функционала

.

классического вариационного исчисления, где . Г. ф. представляет собой Лежандра преобразование функции Lпо переменным иначе говоря, где выражено через рсоотношением скалярное произведение векторов и х. С помощью Г. ф. уравнения Эйлера

(в задачах классич. механики называемые Лагранжа уравнениями).записываются в виде системы уравнений 1-го порядка:

Эти уравнения наз. Гамильтона уравнениями, гамиль-тоновой системой, а также канонической системой. Через Г. ф. пишутся уравнения Гамильтона-Якоби для функции действия (см. Гамильтона - Якоби теория).

Т. ф. в задаче оптимального управления определяется следующим образом. Пусть требуется найти минимум функционала

при дифференциальных связях

при заданных граничных условиях и ограничении на управление . Здесь есть n-мерный вектор фазовых координат, - m-мерный вектор управления, U - замкнутое множество допустимых значений управления и. Г. <ф. в этой задаче имеет вид

где - сопряженные переменные (множители Лагранжа, импульсы), аналогичные введенным выше канонич. переменным . Если есть минимум в поставленной задаче и (тогда можно считать равным -1), то

где

Полученное для Г. ф. выражение имеет ту же структуру, что и в классическом вариационном исчислении. Согласно Понтрягина принципу максимума уравнения Эйлера для задачи оптимального управления с помощью Г. ф. можно записать в виде

Оптимальное управление ипри каждом tдолжно доставлять максимум Г. ф.:

Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950: [2] Понтрягин Л. С. [и др.]. Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.

И. Б. Вапнярский.