«ДИНАМИКА РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ»

Характерные особенности обтекания тел в свободномолекулярном режиме особенно наглядны при гипертермич. скоростях набегающего потока, т. е. когда скорость потока v много больше ср. скоростей теплового движения молекул, так что, пренебрегая последними, можно считать, что все молекулы набегающего потока движутся с одной скоростью v. Если п - число молекул в единице объёма набегающего потока и S - площадь миделевого сечения обтекаемого тела, то число молекул, падающих на тело, равно , а приносимый ими импульс , где - плотность, т - масса молекулы. Полная сила сопротивления тела X=Х _i+ Х _r, где X_r - реактивный импульс отражённых от тела молекул. В аэродинамике силы, действующие на тело, принято характеризовать безразмерными аэродинамическими коэффициентами. Если пренебречь импульсом отражённых молекул, то коэф. сопротивления , т. о., коэф. сопротивления независимо от формы тела. В континуальном же режиме для хорошо обтекаемых тел C_x порядка сотых или десятых единицы, а для плохо обтекаемых близок к 1. В свободномолекулярном гипертермич. режиме подъёмная сила обусловлена лишь реактивным импульсом отражённых молекул. В условиях космич. полёта, напр., скорость отражённых молекул и мал, а следовательно, и аэродинамиче ское качествонезависимо от формы обтекаемого тела, в то время как в условиях континуума аэродинамич. качество тел типа крыла может достигать единиц или даже десятков. В условиях континуума наивысшая темп-pa в потоке, а следовательно, и тел, помещённых в поток, равна темп-ре торможения. А в гипертермич. свободномолекулярном потоке темп-ра теплоизолированного тела (термометра) больше темп-ры торможения. Если в условиях континуума в потоке поместить вращающийся цилиндр (рис. 1), то на него действует подъёмная сила, направленная вверх,- Магнуса эффект. В свободномолекулярном потоке отражённые молекулы приобретают составляющую скорости, параллельную поверхности, так что реактивная сила, действующая на тело, направлена вниз. T. о., характер явлений в предельных ситуациях и существенно различен. Промежуточная область. Между предельными режимами - континуальным и свободномолекулярным - лежит переходная область, в к-рой непригодны как континуальное описание, так и упрощения свободномолекулярного случая. Здесь приходится иметь дело с решением полного кинетич. ур-ния Больцмана, к-рое много сложнее ур-ний газовой динамики. Имеется лишь небольшое число точных и аналитич. решений этого ур-ния для весьма вырожденных ситуаций. Для практически интересных течений решения получают численными методами. Большое распространение для решения сложных задач получил метод статистич. моделирования ( Монте-Карло метод), в к-ром моделируются перелёты и столкновения молекул. Часто для получения приближённых решений применяют модельные ур-ния с упрощённым интегралом столкновений.

Рис. 1. Схема взаимодействия вращающего цилиндра с потоком: а - континуальным Кn"1 (эффект Магнуса), б - свободномолекулярным Кn"1.

Рис. 3. Распределение скоростей в течении Kyэтта при различных числах Кнудсена.

Рис. 4. Напряжение трения между пластинами в течении Куэтта.

Характерные особенности течений в промежуточной области можно видеть на примере течения Kyэтта: две бесконечные пластины с равными темп-ра-ми движутся в противоположные стороны со скоростями (рис. 2). Если скорость их относит. движения v мала, то на основе приближённого решения ур-ния Больцмана можно получить выражения для скорости газа u_z(x )и постоянного поперёк течения напряжения трения Р _хz, к-рые имеют вид:

где А - константа, а - коэф. вязкости (рис. 3 и 4). При свободномолекулярном режиме газ между пластинами покоится, несмотря на их движение. На стенках газ "проскальзывает" на величину . По мере уменьшения числа Kn проскальзывание уменьшается, и при , напр. на ниж. поверхности, скорость скольжения , т. е. и в континуальном режиме имеет место проскальзывание, пропорциональное длине пробега и градиенту скорости у стенки. T. к. число Kn обратно пропорционально давлению р, то напряжение трения пропорционально давлению при малых значениях давления и не зависит от давления в континуальной области, где оно пропорционально коэф. вязкости ц и градиенту скорости. Если пластины имеют разную темп-ру, то аналогичная картина получается для потока тепла, а на стенках имеет место скачок темп-ры , т. е. разрыв между темп-рой газа у стенки T и темп-рой стенки . Как и для скорости, скачок темп-ры имеет место и в континуальной области, где он пропорционален длине пробега и нормальному к стенке градиенту темп-ры. Принятые в классич. газодинамике условия прилипания , являются приближёнными. В течении Куэтта напряжение трения или тепловой поток монотонно изменяются с изменением давления (или Kn )между пластинами. Однако часто в промежуточной области характеристики меняются немонотонно. Так, в практически важном течении по плоскому каналу или трубе под действием градиента давления безразмерный объёмный расход Q_p минимален при нек-ром числе Kn (парадокс Кнудсена; кривая 1 на рис. 5). В континуальной газодинамике с условиями прилипания на стенке течение в трубе может быть вызвано лишь градиентом давления. В промежуточной области течение может быть обусловлено также градиентом темп-ры вдоль трубы. Если канал или труба соединяет два сосуда с разными темп-рами, то из-за наличия градиента темп-ры вдоль трубы начнётся перетекание из холодного сосуда в горячий. Для того чтобы ликвидировать перетекание, обусловленное перепадом темп-ры , необходимо создать нек-рый перепад давления между горячим и холодным сосудами. Величина этого перепада зависит от Kn (рис. 5); его необходимо учитывать, напр., при измерении темп-ры "горячего" газа "холодным" манометром. При нулевом расходе газ у стенки течёт в одну сторону, а в середине канала в другую. Тепловое скольжение, или т. н. крип, сохраняется и в континуальной области, где оно пропорционально длине пробега и градиенту темп-ры вдоль стенки, ( а - скорость звука). В отличие от скоростного скольжения u_S и температурного скачка , к-рые приводят лишь к нек-рому отклонению от явлений, имеющих место при условии прилипания , крипом обусловлен целый ряд явлений, напр. упомянутое выше движение газа в трубе (термомеханич. эффект), термофорез и др. Если тело с коэф. теплопроводности поместить в газ с теплопроводностью , в к-ром имеется градиент темп-ры, то появится и градиент темп-ры вдоль поверхности тела, а следовательно, и скольжение газа от холодной части к горячей. Явления, вызванные этим движением газа, наз. термофоретическими. T. к. это течение газа обусловлено телом, то на тело будет действовать реактивная термофоретич. сила F впротивоположную сторону. Термофорез имеет место и в промежуточной области (рис. 6). При увеличении теплопроводности тела его темп-pa выравнивается и термофоретич. сила уменьшается. Если частица не закреплена, то она будет двигаться со скоростью термофореза, при к-рой её сопротивление равно термофоретич. силе. В результате термофореза происходит, напр., осаждение частиц в топках.

Рис. 5. Парадокс Кнудсена (1); зависимость перепада давления от числа Kn(2).

Рис. 6. Изменение термофоретической силы F в зависимости от числа : 1 - для =0,2 и 2 - для =0,002, где - длина пробега в окружающем частицу тазе, d - диаметр частицы, F₁ - термофоретическая сила в свободномолекулярном пределе, - коэффициенты теплопроводности газа и тела.

Выше предполагалось, что в течении имеется лишь одно характерное число Кнудсена, определяющее режим течения. Однако это не всегда так. При обтекании тел можно выделить несколько характерных длин пробега (напр., длину пробега набегающих молекул в поле молекул, отражённых от тела, длину пробега отражённых молекул на набегающих, длину пробега отражённых молекул на отражённых). При гиперзвуковых скоростях в режиме, близком к свободномолекулярному, эти длины пробега могут существенно отличаться как друг от друга, так и от длины пробега в набегающем потоке . Величина этих длин пробега зависит от законов взаимодействия молекул между собой и с телом, от темп-ры и формы тела. Вместо числа , где L - характерный размер тела, определяющим режим течения может оказаться число Kn, построенное по одной из указанных характерных длин. Так, напр., в условиях натурного космич. полёта характерное число Kn оказывается в M раз меньше , а в условиях аэродинамич. трубы - в M раз больше, т. е . в натурных условиях при увеличении числа Маха течение удаляется от свободномолекулярного, а в условиях аэродинамич. трубы стремится к нему. Поэтому при в условиях эксперимента в аэродинамич. трубе свободномолекулярные характеристики могут достигаться при . Это связано с тем, что законы взаимодействия молекул между собой и с телом существенно зависят от темп-ры газа и стенки, так что для полного моделирования недостаточно выдержать натурные значения M и Re, но необходимо выдержать и натурные значения темп-ры набегающего потока и тела. В условиях гиперзвуковой аэродинамич. трубы, как правило, темп-ра набегающего потока ниже, чем в натурном полёте, а темп-pa тела близка темп-ре торможения T₀, в то время как в полёте большая часть тепла излучается и темп-pa тела оказывается много меньше T₀.

Разл. характер изменения аэродинамич. характеристик тел разной формы при в промежуточной области объясняется также характером столкновения разных групп молекул. При обтекании тупых тел молекулы набегающего потока рассеиваются на отражённых молекулах и сопротивление падает по сравнению со свободномолекулярным течением. При обтекании же тонких тел (пластина, параллельная потоку, тонкий конус и т. п.) в результате столкновений на тело попадают молекулы, к-рые без столкновений пролетели бы мимо тела, и это приводит к возрастанию сопротивления по сравнению со свободномолекулярныи пределом.

Как уже отмечалось, при справедливы представления сплошной среды, т. е. классич. газовой динамики, и применимы Навье - Стокса уравнения. Однако наряду с основным, "внешним", характерным размером течения L (напр., размером обтекаемого тела) в течении могут иметь место "внутренние", или "собственные", характерные размеры L_i, напр. толщина пограничного слоя Прандтля или толщина ударной волны h~. Если характерный размер области больше длины пробега молекул, то течение в ней может быть описано в рамках классич. газодинамики (напр., слой Прандтля). Однако чем ближе L_i к , тем менее точным становится такое описание.

Рис. 7. Течение в слое Кнудсена, х - расстояние по нормали к стенке, и - тангенциальная скорость, u_S - скорость скольжения, u _ист- истинная скорость газа у стенки, 1 - истинный профиль скоростей, 2 - профиль скоростей в решении уравнений Навье - Стокса с условием скольжения на стенке.

Слой Кнудсена. Если стенка не находится в равновесии с газом, то в общем случае ф-ция распределения континуального приближения не удовлетворяет микроскопич. граничному условию на стенке. Поэтому между стенкой и континуальной областью должна существовать переходная область толщиной порядка длины пробега - слой Кнудсена, в к-рой континуальное описание неправомерно. Слой Кнудсена, как и ударная волна, должен рассматриваться в рамках кинетич. теории с помощью ур-ния Больцмана. В этом слое распределение газодинамич. параметров, напр. скоростей, имеет вид, показанный на рис. 7. Скорость скольжения u_S не равна истинной скорости газа у стенки. Решение ур-ния Больцмана в слое Кнудсена связывает справедливое вне слоя Кнудсена континуальное решение с физ. условиями взаимодействия молекул с поверхностью тела. При рассмотрении течений во внешней по отношению к кнудсеновскому слою газодинамич. области истинный ход изменения скоростей или темп-р внутри слоя Кнудсена несуществен. Важны лишь скорости скольжения u_S, и _Т и скачок темп-р , дающие макроскопич. граничное условие для газодинамич. области на стенке