«РИЧЧИ ТЕНЗОР»

РИЧЧИ ТЕНЗОР

- дважды ковариантный симметрический тензор , служащий одной из характеристик кривизны риманова пространства (илипсевдориманова пространства). Введён Г. Риччи (G. Ricci) в 1903- 1904.Если - метрическийтензор этого пространства,- соответствующий кривизны тензор, то компоненты Р. т. определяютсясвёрткой:

где - контравариантные компоненты метрич. тензора. Свёртка является скаляром (не зависит от выбора координат) и наз. скалярной кривизной. <Для двумерных пространств справедливо соотношение ;скалярная кривизна R связана с гауссовой кривизной соотношением R= 2К. Для трёхмерного пространства тензор кривизны выражается алгебраическичерез Р. т. и метрику:

В общей относительности теории через Р. т. записываются ур-ниягравитац. поля. В пустом пространстве эти ур-ния принимают вид:или ;четырёхмерные римановы пространства, удовлетворяющие этому соотношению, <наз. пространствами Эйнштейна. Скалярная кривизна R является плотностью лагранжиана Гильберта- Эйнштейна ур-ний общей теории относительности.

Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 7 изд., М.,1988; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия,2 изд., М., 1986. Б. А. Дубровин.

- дважды ковариантный тензор, получаемый из Римана тензора. путем свертывания верхнего индекса с нижним:

В римановом пространстве V_nP. т. является симметрическим: . В результате свертывания Р. т. с контравариантным метрич. тензором g^ij пространства V_n получается скалярная величина R = g^ijR_ij, называемая и н в а р и а н т о м к р и в и з н ы, или скалярной кривизной V_n. Компоненты Р. т. выражаются через основной метрич. тензор g_ij пространства V_n:

где - символы Кристоффеля 2-го рода, вычисленные относительно тензора g_ij.

Тензор введен Г. Риччи [1].

Лит.: [1] R i с с i G., "Atti Reale Inst. Veneto", 1903-04, t. 53, № 2, p. 1233-39; [2] Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948. Л. А. Сидоров.