Физическая энциклопедия
- КИРХГОФА МЕТОД
- приближённый метод решения задач теории дифракции волн, пригодный для отыскания дифрагированного поля при прохождении волн через большие (в масштабах длины волны
) отверстия в экранах. Скалярное волновое поле 
(r - радиус-вектор, t - время), удовлетворяющее линейному волновому уравнению, можно выразить через значения 
и её первой производной на произвольной замкнутой поверхности 
, окружающей точку наблюдения (точку поля rf ). Это одна из разновидностей Гюйгенса - Френеля принципа, согласно к-рому поле в точке rf можно интерпретировать как результат суперпозиции вторичных волн, испускаемых условными источниками на 
.Строгое матем. выражение для поля было первоначально получено Г. Гельмгольцем (Н. Helm-holtz) и обобщено Г. Р. Кирхгофом в 1883.В случае
- угл. частота) соответствующее интегральное представление имеет вид 
где
- поле в точке rs - на поверхности 
, охватывающей точку rf ; n - нормаль к 
, направленная в сторону точки наблюдения rf;
. Т. о., роль вспомогат. источников на 
играют величины 
и 
. Для эл.-магн. волн им можно придать смысл электрич. или магн. зарядов и токов, распределённых по 
. Строго говоря, для однозначного определения поля 
достаточно задания на 
либо 
, либо 
, " так что их одноврем. задание должно быть согласованным с полным полем - падающим (внеш.) и дифрагированным. Иногда допустимо задание 
и 
на 
, согласованное только с внеш. полем. В этом суть приближения в К. м. В частности, для задачи о падении волны на бесконечный идеально отражающий плоский экран с отверстием, размеры к-рого 
, поверхность 
составляется из трёх частей:
. На участке 
. совмещённом с идеальным экраном, полагают 
, на участке 
, натянутом на раскрыв отверстия, 
соответствуют падающей невозмущённой волне, и, наконец, на участке 
, замыкающем поверхность по бесконечно удалённой полусфере, задают Зоммерфельда условия излучения. Это приближение исходит из картины искажения экраном падающего поля, соотв. геом. оптике, и потому оно тем точнее, чем больше размеры отверстия. Такой рецепт задания поля наз. граничными условиями Кирхгофа и составляет основу К. м. в теории дифракции. При этом ф-ция 
, определяемая интегральным представлением, хорошо соответствует точному решению вблизи освещённой области, но может давать заметные отклонения вдали от неё. К. м. приводит к строгому решению задачи для источников, заданных по падающему полю на 
и дополненных эквивалентными линейными зарядами и токами для компенсации разрывов в распределении 
и 
К. м. применяется для приближённого отыскания скалярных полей разл. природы; существуют обобщения на случай векторных и тензорных волновых полей.
Лит.: Хенл X., Mayа А., Вестпфаль К., Теория дифракции, пер. с нем., М., 1964; Борн М., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П., Теория волн, М., 1979; Ваганов Р. Б., Каценеленбаум Б. 3., Основы теории дифракции, М., 1982. Ю. <А. <Данилов.
Математическая энциклопедия
- метод приближенного решения задач теории дифракции коротких волн; предложен Г. Кирхгофом (G. Kirchhoff). В своем простейшем варианте К. м. сводится к следующему: пусть волновой процесс описывается уравнением Гельмгольца и рассматривается задача рассеяния плоской волны ограниченным выпуклым препятствием е, на к-ром выполняется классическое краевое условие u| е =0. Решение сводится к нахождению функции, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца (D+k2)u=0, для указанного краевого условия и представляющейся в виде суммы u=eikx+U, где Uотвечает излучения условиям Зоммерфельда. Решение задачи существует и для него имеет место интегральное представление
где д/дп х' -дифференцирование по нормали к е. Нормаль берется внешней по отношению к бесконечной области, ограниченной 2. Предполагается, что на части 2, освещенной плоской волной е ikx, ди/дп х' приближенно равна тому выражению, к-рое получается по лучевому методу. На теневой части полагают ди( х')/дп x'=0. Полученное таким путем выражение и K наз. приближением по Кирхгофу для и.
В освещенной области и K и геометрич. приближении для ив главных членах совпадают. В окрестности границы, отделяющей освещенную область от зоны тени, главный член асимптотич. разложения и K выражается через интеграл Френеля 
в зоне тени uK=O(1/k )(на самом деле ив зоне тени убывает гораздо быстрее, чем 1/k).
К. м. дает асимптотически правильную в главных членах формулу для и, сохраняющую свою справедливость и при 
В следующих порядках по кприближение по Кирхгофу уже неприменимо.
Лит.:[1] Xёнл X., Мауэ А., Вестпфаль К., Теория дифракции, пер. с нем., М., 1964.
В. М. Бабич.