Физическая энциклопедия
- РИМАНА ВОЛНЫ
- нелинейные волны в гиперболич. системахвида
где vi - набор п вещественных переменных; коэффициенты
и bi могут не только зависеть от переменных vk, но также явно зависеть от х и t. Система (1) являетсягиперболической, если ур-ние для характеристич. скоростей,
, имеет и веществ. корней 
,
,..., п. Каждой характеристич. скорости соответствует характеристикана плоскости (x,t), ур-ние к-рой 
.Вдоль каждой характеристики волновые поля эволюционируют согласно ур-ниям 
где
- собств. векторы матрицы 
,соответствующие её собств. значениям 
В том случае, когда для каждого значения 
можно найти ф-цию 
такую, что 
, ур-ния (2) упрощаются:
В частности, если bi = 0, каждая величина
сохраняется вдоль соответствующей характеристики; в этом случае величины 
наз. инвариантами Рима н а. Инварианты Римана всегда можно ввести, если п= 2, а также для линейных систем (1). В случае п 
3 инварианты Римана существуют только при выполнении специальных ограниченийна производные матрицы 
. Инварианты впервые были введены Б. Риманом (В. Riemann) в 19 в. при рассмотрении ур-ний газовой динамики. <В общем случае, когда
, величины 
наз. переменными Римана.Следует отметить, что Р. в. существуют, вообще говоря, в течение ограниченноговремени из-за пересечения характеристик, определяемых начальными условиями(см. Самовоздействие волн).
Лит.: У и з е м Д ж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ.,М., 1977. Б. А. Маломед.