Физическая энциклопедия
- СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
вквантовой теории поля - релятивистски-инвариантныеф-ции, тесно связанные с квантованием волновых полей, имеющие сингулярноеповедение в окрестности светового конуса и начала координат. В первуюочередь к С. ф. относятся перестановочные функции, стоящие в правыхчастях коммутац. соотношений в x-представлении. Простейшей из них являетсяперестановочная ф-ция скалярного поля
т. н. ф-ция Паули - Иордана, к-рая явно выражается через ф-цию Бесселя J1 (см. Цилиндрические функции), дельта-функцию Дирака 
и известные разрывные ф-ции 
следующим образом:
Здесь
- квадрат четырёхмерного интервала, х= (х 0, x), у= ( у 0, у) - точки пространства-времени, т - масса кванта поля (используется система единиц, в к-рой 
).Как видно, в окрестности светового конуса D(x )имеет особенности 
ц 
Перестановочные ф-ции полей с ненулевым спином выражаются через линейныекомбинации D(x )и её производных. Напр., перестановочная ф-ция Диракаполя S(x )связана с D соотношением
где
и 
- Дирака матрицы. Перестановочные ф-ции являются решениями соответствующихполевых ур-ний. Ф-ция Паули - Иордана удовлетворяет Клейна- Гордонауравнению (а также вытекающему из коммутац. соотношения условию антисимметрии),а ф-ция S(x)- Дирака уравнению.Помимо перестановочных С. ф. важную роль играют Грина функции, т. <е. решения соответствующих неоднородных ур-ний, в правой части к-рых стоит4-мерная
-функция. <К ним принадлежат запаздывающие, опережающие, а также занимающие центр. <место в квантовополевых расчётах причинные ф-ции Грина ( пропагаторы). Напр., причинная С. ф. скалярного поля Dc, определённаячерез вакуумное среднее от хронологического произведения операторов 
удовлетворяет неоднородному ур-нию
может быть представлена в виде 4-мерного интеграла Фурье
и в явном виде высажена через ф-ции Бесселя J1, N1,K1, a также
. В окрестности светового конуса она имеет следующее поведение:
Причинные ф-ции полей со спином выражаются через Dc иеё производные линейными соотношениями, подобными (2).
В квантовополевых расчётах приходится иметь дело с произведениями истепенями пропагаторов разл. полей. Напр., однопетлевой диаграмме поляризациивакуума в х-представлении соответствует произведение двух причинныхф-ций поля Дирака:
а в окрестности светового конуса при
- произведение выражений (3) и их первых производных. С матем. точки зрениявходящие в (3) сингулярные объекты представляют собой обобщённые функции.Теория С. ф. квантовой теории поля была разработана Н. Н. Боголюбовымв нач. 1950-х гг. Она явилась основой оригинальной схемы устранения УФ-расходимостей, <не использующей контрчленов и перенормировок.
Лит.: Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Введение в теорию квантованныхполей, 4 изд., М., 1984, гл. 3; и х же, Квантовые поля, М., 1980. _ Д. В. Ширков.