«ЛИ АЛГЕБРА»

ЛИ АЛГЕБРА в энциклопедиях

Источники

Физическая энциклопедия Математическая энциклопедия

Физическая энциклопедия

ЛИ АЛГЕБРА

- векторное пространство, на к-ром определена операция, называемая коммутированием. Для элементов алгебры определены линейные операции - сложение и умножение на число. Если допускается умножение на вещественные числа, то Л. а. наз. вещественной; если допускается умножение на комплексные числа, то Л. а. наз. комплексной. Операция коммутирования сопоставляет любым двум элементам алгебры X,третий элемент Эта операция билинейна (т. е. линейна по каждому аргументу), антисимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби

Понятие "Л. а." возникло в связи с изучением групп Ли, т. к. элементы группы Ли можно представлять в виде экспонент от элементов Л. а. (см. Группа). Если группа Ли реализована как группа матриц, то соответствующая ей Л. а. также является матричной. Это значит, что каждый элемент алгебры является матрицей, а операция коммутирования определяется как обычный коммутатор:

Основные понятия. Если в векторном пространстве А выбран базис Х ₁..., X_n. (т. е. полный набор линейно независимых элементов), то для определения на А структуры Л. а. достаточно задать попарные коммутаторы базисных элементов, т. е. коэф. в ф-ле Тогда коммутаторы произвольных элементов пространства А однозначно определяются тем, что каждый такой элемент можно представить в виде линейной комбинации базисных элементов и что операция коммутирования является билинейной. Коэф. наз. структурными константами данной Л. а. Они зависят от выбора базиса, но при любом выборе являются антисимметричными по нижним индексам и удовлетворяют условию

Гомоморфизмом или представлен и-е м алгебры Ли А₁ в алгебру Ли А₂. наз. такое линейное отображение (т. е. отображение, сохраняющее линейные операции), к-рое согласовано с операциями коммутирования в обеих алгебрах: Ядром гомоморфизма наз. подмножество в алгебре A₁, к-рое под действием j переходит в нулевой элемент алгебры А₂. Если отображение взаимно однозначно, то оно наз. изоморфизмом или точным представлением. В этом случае ядро отображения равно нулю. Всякая конечномерная Л. а. допускает точное представление в алгебру матриц (теорема А д о). Ввиду тесной связи, существующей между Л. а. и группами Ли, задача изучения представлений групп Ли в большой мере сводится к изучению представлений Л. а. Именно этим объясняется прикладное значение теории Л. а. и их представлений (см. Представление группы).

Если ввести в рассмотрение матрицы С _i с матричными элементами, равными структурным константам, то условие на структурные константы, приведённое выше, можно переписать в виде где скобки обозначают обычный коммутатор двух матриц. Т. о., матрицы С _i осуществляют n -мерное представление базисных элементов X_i, а их линейные комбинации - представление всей Л. а. Это т. н. присоединённое представление adX. Совокупность элементов, коммутирующих со всеми элементами алгебры, наз. центром Л. <а.

Подмножество в Л. а. наз. подалгеброй Ли, если оно само является Л. а. относительно тех же операций. Это значит, что В- линейное подпространство, и операция коммутирования не выводит из В. Последнее можно записать символически: Если для подпространства выполняется более сильное условие то В наз. идеалом в А. Если В - идеал, то фактор-пространство А/В, элементами к-рого являются классы Х+В (т. е. множества элементов вида X+Y, где У пробегает всё В), само является Л. а. Операции в этой фактор-алгебре определяются естеств. образом, т. е. с помощью операций, совершённых над любыми представителями классов, напр.

Любая Л. а. содержит тривиальные (несобственные) идеалы. Один из них совпадает со всей Л. а., второй состоит лишь из нулевого элемента. Если Л. а. не содержит идеалов, отличных от этих (т. е. не содержит собств. идеалов), то она иаз. простой. Алгебра наз. полупростой, если она не имеет нетривиальных коммутативных идеалов (т. е. таких, в к-рых все коммутаторы обращаются в нуль). Всякая полупростая Л. а. представляется в виде прямой суммы простых Л. а.

Л. а. А наз. разрешимой, если в ней существует такая цепочка подалгебр что А _i_{+ 1} -идеал в А; и фактор-алгебра A_i/A_i+1 коммутативна. Если, кроме того, все A_i - идеалы в А и фактор-алгебра A_i/A_i+1 принадлежит центру фактор-алгебры A/A_i+1, то алгебра А наз. нильпотентной.

На Л. а. можно ввести внутр. произведение, определив его равенством (X, У)=Тr(аd Х*adY), где Тr означает след оператора (матрицы). Эта симметричная (относительно перестановки аргументов) билинейная форма наз. формой Киллинга. Если воспользоваться матричной реализацией присоединённого представления, можно выразить форму Киллинга через коэф. х ⁱ, у ⁱ разложения элементов X, Y по базису. Получим где симметричный тензор наз. метрическим тензором Картана алгебры А. Для нек-рых Л. а. метрич. тензор и форма Киллинга могут быть вырождены, т. е. det = 0 (это имеет место, напр., для коммутативных л. а.). Форма Киллинга невырождена только для полупростой Л. а. (критерий Картана).

Для комплексных простых Л. а. всегда можно выбрать базисные элементы X_i- таким образом, чтобы структурные константы были чисто мнимыми и антисимметричными по всем парам индексов. Такой набор наз. базисом Картана. При этом ранг алгебры Л и l определяется как макс. число коммутирующих элементов в базисе Картана, l -мерная коммутативная подалгебра, натянутая на это множество элементов, наз. подалгеброй Картана,

Классификация алгебр Ли. Имеется четыре серии простых комплексных Л. а. конечной размерности: A_l, B_l, С _l, D_l и кроме этого пять исключительных алгебр G₂, F₄, Е ₆, E₇, E₈ (индексы везде обозначают ранг алгебры). Каждая комплексная Л. а. имеет единственную вещественную подалгебру, являющуюся Л. а. компактной группы Ли. Перечислим компактные группы, соответствующие сериям. Алгебра А _l, l=1, 2,..., имеет размерность n=(l+l)²-1 и связана с группой SU(l+1 )унитарных унимодулярных (т. е. имеющих единичный детерминант) (l+1)-рядных матриц. Алгебра B_l, l=2,3,..., имеет размерность n= =l(2l+1) и связана с группой SO(2l+1) ортогональных унимодулярных матриц порядка 2l+1. Случай l=l исключается, т. к. В ₁=А ₁. Алгебра С _г, 1=3,4,..., имеет размерность п=l(2l+1) а связана с симплектической группой Sp (21 )(т. е. группой преобразований, сохраняющих невырожденную антисимметричную билинейную форму в пространстве размерности 21). При l=1 и 2 имеет место совпадение C_l=B_l. Алгебра D_l, l=4, 5,..., имеет размерность n=2l²-l и связана с группой SO (2l). Низшие размерности исключаются, т. к. D₃=A₃,a D₁ и D₂. не являются простыми. Группы SU(n), SO(n), Sp(n), порождаемые бесконечными сериями Л. а., наз. классическими группами.

Каждая комплексная простая Л. а. имеет неск: вещественных форм (т. е. таких вещественных Л. а., из к-рых данная Л. а. получается комплексификацией). Лишь одна из них соответствует компактной группе Ли. Остальные приводят к некомпактным группам. Напр., среди вещественных форм комплексной алгебры A_l есть такие, к-рые соответствуют группам SU(p, q), p+q=l+1, псевдоунитарных матриц, т. е. преобразований в. комплексном (l+1 )-мерном пространстве. сохраняющих форму Вещественные формы алгебры B_l порождают группы псевдовращений или псевдоортогональных преобразований SO(p, q),p+g=2l+l. Это преобразования обобщённого пространства Минковского с р пространственными и q временными измерениями. Вещественные формы в C_l порождают группы Sp(2p, 2q), p+q=l. Такую группу можно определить как подгруппу в группе SU(2p, 2q), оставляющую инвариантной антисимметричную билинейную форму. Ещё одна вещественная форма в С _l состоит из антиэрмитовых матриц и порождает группу (2l). Вещественные формы в D_l порождают группы псевдовращений SO (p, q), p+q=2l.

Кроме перечисленных, имеются нек-рые специальные вещественные формы комплексных алгебр А _l и D_l. Приведённый список не полон с точки зрения классификации простых групп. Не каждая простая вещественная группа Ли является вещественной формой простой комплексной группы. Так, алгебра D_l не проста, и не проста соответствующая ей компактная подгруппа SO(4). Однако некомпактная группа SO(1, 3) (Лоренца группа )является простой. Её Л. а. изоморфна sl (2, С). Обобщением этого примера является целый класс простых вещественных Л. а.- это комплексные Л. а., рассматриваемые как вещественные.

Лит.: Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986.

А. А. Кириллов, М. Б. Менский.

Математическая энциклопедия

лиева алгебра,- унитарный k-модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к-рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами:

1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность

2) ( х,[ у, z]]+[ у,[z, х}] +[z,[ х, у]] = 0 (тождество Якоби).

Таким образом, Ли а. является алгеброй над k(не обязательно ассоциативной); обычным образом определяются понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма алгебр Ли. Ли a. Lназ. коммутативной, если [ х, у] = 0 для всех х,

Наиболее важным является случай, когда k - поле (в особенности .. или ), a L - векторное пространство (вообще говоря, бесконечномерное) над k.

Ли а. появились в математике в кон. 19 в. в связи с изучением Ли групп (см. также Ли локальная группа, Ли группа преобразований, Ли теорема), а в неявной форме несколько раньше в механике. Общей предпосылкой возникновения этого понятия было понятие "инфинитезимального преобразования", восходящее по меньшей мере ко времени возникновения исчисления бесконечно малых. Замкнутость интегралов класса С ₂ уравнения Гамильтона относительно скобок Пуассона, удовлетворяющих тождеству Якоби, - одно из самых ранних замечаний, выраженное, собственно, на языке Ли а. (см. [8], [10]). Сам термин "Ли а." был введен Г. Вейлем (Н. Weyl) в 1934 (до этого времени использовались термины "инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы", или "инфинитезимальная группа"). С течением времени роль Ли а. возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. Этим в первую очередь объясняется особое место Ли а. среди многих других многообразий универсальных алгебр. В наше время аппарат Ли а. воспринимается уже не только как полезное и мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач (будь то в теории групп Ли или в значительной мере поглотившей ее и чрезвычайно разросшейся теории алгебраических групп, или же в стоящей несколько особняком теории конечных групп);это также источник красивых и трудных задач линейной алгебры.

Имеется несколько естественных источников, доставляющих важнейшие примеры Ли а.

1) В рамках общей алгебры значение Ли а. определяется прежде всего тем, что множество Dеr(A) всех дифференцирований любой k-алгебры является Ли а. с операцией

Дифференцирования Ли a. Lвида

наз. внутренними дифференцирования м и, или присоединенными эндоморфизмам и. Они образуют в Der(L) подалгебру ad L, а отображение является гомоморфизмом Ли а. (присоединенное представление Ли a. L);его образ ad Lизоморфен фактор-алгебре алгебры Lпо ее центру

2) Еще один существенный источник Ли а. связан со следующим простым наблюдением. Если L - ассоциативная алгебра над kс умножением то умножение в k-модуле L, задаваемое правилом

наделяет Lструктурой Ли а. над k. Говорят, что (L,[,]) - Ли а., ассоциированная с ассоциативной алгеброй (L, Х). Так, классич. пример Ли a. (L,[,]) получится, если в качестве (L, Х).взять (ассоциативную) алгебру M_n(k).всех квадратных матриц порядка га над k.

Следующие четыре бесконечные серии подалгебр в Ли а. указанного типа наз. классическими (k- поле нулевой характеристики):

При этом

Если, кроме того, поле kалгебраически замкнуто, то эти Ли а. замечательны тем, что ими и еще пятью Ли особыми алгебрами G₂, F₄, E₆, Е ₇, E₈ размерностей 14, 52, 78, 133 и 248 соответственно исчерпываются, с точностью до изоморфизма, все простые (т. е. некоммутативные и не содержащие идеалов, отличных от 0 и самой алгебры) конечномерные Ли а. над k.

3) Еще один источник Ли а.- векторные поля на многообразии (см. [13], [14]). Пусть F - кольцо гладких функций на -гладком многообразии М. Векторное пространство Vect(M) всех -гладких векторных полей на Мобразует Ли а. относительно операции коммутирования (см. Ли скобка), играющую важную роль в теории многообразий; Ли a. Vect(M) совпадает с Ли a. Der(F). Эта алгебра, вообще говоря, бесконечномерна. Если М - группа Ли, то подпространство в Vect (М), состоящее из всех левоинвариантных векторных полей, является конечномерной подалгеброй и наз. алгеброй Ли группы Ли М;она играет важную роль в теории групп Ли, позволяя переформулировать многие свойства групп Ли в терминах Ли а. См. также Ли алгебра алгебраической группы, Ли алгебра аналитической группы.

Если в приведенном выше примере заменить кольцо Fна коммутативную алгебру формальных степенных рядов над полем k, то вместо Vect(M) получается Ли a. W_n формальных векторных полей, состоящая из дифференциальных операторов

Подалгебры состоящие из дифференцирований, аннулирующих соответственно внешние дифференциальные формы

а также подалгебра дифференцирований, умножающих форму

на элементы из вместе с алгеброй составляют важный класс простых бесконечномерных Ли а. (алгебры Ли к а р т а н о в с к о г о типа). Алгебра W_n наз. общей, S_n - специальной, Н _п - г а м и л ь т о н о в о й, K_n -контактной. Эти алгебры встречались еще у С. Ли (S. Lie) при изучении псевдогрупп преобразований ( или ), а затем исследовались по разным поводам Э. Картаном (Е. Cartan) и др. (см. [15], [17], [18], [19]).

4) Следующая общая конструкция позволяет строить -алгебру Ли Lпо любой группе G;она находит применение в теории групп (см. Бёрнсайда проблема,[16]). Пусть

- нижний центральный ряд группы G. Тогда L - это прямая сумма аддитивно записанных факторгрупп причем, по определению, произведение элементов есть элемент из G_i+j/G_i+j-1, являющийся классом коммутатора элементов представляющих соответственно хи у. На произвольные элементы из Lэта операция распространяется по дистрибутивности. Имеются (см. [16]) нек-рые обобщения этой конструкции.

Строение алгебр Ли. Одним из общих результатов, показывающих, в частности, что конструкция 2) имеет в известном смысле универсальный характер, является Биркгофа - Витта теорема, согласно к-рой для любой Ли a. Lнад полем kсуществует такая ассоциативная k-алгебра U, что Lизоморфно вкладывается в Ли a. (U,[,]), ассоциированную с U. Если при этом Lконечномерна, то можно считать, что и Uконечномерна (см. Универсальная обертывающая алгебра).

Пусть L - конечномерная Ли а. над полем kнулевой характеристики. Тогда Lлинейна, т. е. изоморфна подалгебре нек-рой Ли a. M_n(k).(теорема А д о). В Lимеется наибольший разрешимый идеал R, называемый радикалом (см. Ли разрешимая алгебра). Кроме того, в Lсуществует подалгебра S(называемая подалгеброй Лев и) такая, что L - прямая сумма векторных пространств Sи R, причем любая другая подалгебра с таким свойством переводится в Sавтоморфизмом алгебры L(теорема Леви - Мальцева). Подалгебра Sявляется полупростой (т. е. ее радикал равен нулю), и она может быть охарактеризована как максимальная полупростая подалгебра в L. Таким образом, Lявляется полупрямой суммой полупростой и разрешимой Ли а., что сводит задачу классификации конечномерных Ли а. над полем нулевой характеристики к описанию Ли а. этих двух типов. Хотя разрешимые Ли а. в нек-ром смысле "получаются" из тривиально устроенных одномерных (а именно, обладают цепочкой подалгебр таких, что L_i - идеал в L_i-1 и L_i-1/L_i одномерна); строение их настолько сложно, что к настоящему времени (1982) фактически отсутствует даже корректная постановка задачи о классификации разрешимых Ли а. Напротив, конечномерные полупростые Ли а. над полем нулевой характеристики допускают полное описание (см. Ли полупростая алгебра):всякая такая алгебра разлагается в прямую сумму простых идеалов (и обратно, прямая сумма простых Ли а.- полупроста). В случае алгебраически замкнутого поля все простые Ли а. явно перечислены (см. п. 2); в случае произвольного поля kимеется процедура их нахождения, с помощью к-рой в ряде случаев (напр., при ) также найдена явная классификация.

Конечномерные Ли а. над полем характеристики p>0 исследованы значительно менее полно (даже для алгебраически замкнутых полей). Эти Ли а. обладают многими специфич. свойствами. Напр., весьма нетривиальным оказался даже вопрос описания полупростых Ли а. в терминах простых алгебр (см. [23]). При любом рсуществуют параметрич. семейства простых Ли а., попарно неизоморфных друг другу. Теория Ли а. для этого случая находится в процессе становления, причудливым образом отражая в себе черты двух разных классов комплексных Ли а.- конечномерных простых и бесконечномерных транзитивных простых, соответствующих примитивным псевдогруппам Ли (см. [17], [18], [19]).

Изучение бесконечномерных Ли а. началось еще в 19 в. одновременно с изучением конечномерных. Такие Ли а. естественно появляются при классификации примитивных псевдогрупп преобразований, предпринятой в 1909 Э. Картаном [20]. Эти алгебры обладают фильтрацией, для к-рой ассоциированная градуированная Ли а. имеет вид и транзитивна. Бесконечномерные градуированные Ли а. являются предметом интенсивных исследований, в к-рых обнаруживаются связи этих Ли а. не только с классическими геометрич. вопросами, но и со многими другими областями математики (см. Ли градуированная алгебра, а также [17], [22]). Важные примеры бесконечномерных Ли а. появлялись в последнее время в теории уравнений математич. физики (напр., для уравнения Кортевега - де Фриса) и в формальном вариационном исчислении (см. [14]).

Абстрактная теория бесконечномерных Ли а. (см., напр., [9]) находится пока в начальной фазе своего развития. Для построения структурной теории Ли а. и для большинства приложений в физике важную роль играет теория представлений Ли а.

См. также Супералгебра, Ли алгебр многообразие.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., [гл. 1-8], М., 1972-78; [2] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [3] Капланекий И., Алгебры Ли и локально компактные группы, пер. с англ., М., 1974; [4] Магнус В., Кар рас А., Солитэр Д., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974; [5] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [б] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1962; [7] С е р р Ж. П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [8] Ш е в а л л с К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М.,1958:[9] Amayo R. К., Stewart Ian, Infinite-dimensional Lie algebras, Leyden, 1974; [10] Humphreys J. E., Introduction to Lie algebras and representation theory, N. Y.- Hdlb.- В., 1972; [11] Se1igman G. В., Modular Lie algebras, В.- Hdlb.- N. Y., 1967; [12] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [13] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [14] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, М., 1979; [15] Международный конгресс математиков. Ницца. 1970. Доклады советских математиков, М., 1972, с. 111-17; [16] Кострики н А. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1957, т. 21, с. 289-310; 1959, т. 23, с. 3-34; 1970, т. 34, с. 744-56; [17] Гийемин В., "Математика", 1966, т. 10, № 4, с. 3-31; [18] К а ц В. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, с. 1323-67; 1974, т. 38, с. 800-34; [19] Кострикин А. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1969, т. 33, с. 251 - 322; [20] С a r t a n E., "Ann. Scient. Ecole norm. super.", 1909, t. 26, p. 93-161; [21] L a z a r d М., там же, 1954, t. 71, p. 101 - 90; [22] Singer I. M., Sternberg S., "J. Analyse Math.", 1965, v. 15, p. 1 - 114; [23] Block R. E., "Ann. Math.", 1969, v. 90, № 3, 433 - 59. А. И. Кострикин, В. Л. Попов.