Физическая энциклопедия
- КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
- распределение вероятностей состояний статистич. ансамбля систем, к-рые находятся в тепловом равновесии со средой (термостатом) и могут обмениваться с ней энергией при пост. объёме и пост. числе частиц; соответствует канонич. ансамблю Гиббса. К. р. Г. установлено Дж. Гиббсом (J. Gibbs) в 1901. Равновесная ф-ция распределения f(р, q)зависит от координат и импульсов р, q всех частиц лить через Гамильтона ф-цию HN(p, q). системы N частиц:
где Т - абс. темп-pa, Z - статистический интеграл, определяемый из условия нормировки f и равный
где интегрирование ведётся по фазовому пространству всех частиц,
, h - постоянная Планка. Т. о., Z является ф-цией Т, N и объёма V. К. р. Г. можно получить, если рассматривать совокупность данной системы и термостата как одну замкнутую изолиров. систему и применить к ней микроканоническое распределение Гиббса. Тогда малая подсистема, ф-цию распределения к-рой можно найти интегрированием по фазовым переменным термостата, описывается К. р. Г. (теорема Гиббса).В квантовой статистике статистич. ансамбль характеризуется распределенпем вероятностей wi квантовых состояний системы с энергией Ei-. К. р. Г. для квантовых систем имеет след. вид:
где Z - статистич. сумма, определяемая из условия нормировки (
) и равная 
, суммирование ведётся по всем квантовым состояниям допустимой симметрии. <К. р. Г. в квантовом случае можно представить с помощью статистического оператора ( матрицы плотности) 
, где H - гамильтониан системы. Такая форма К. р. Г. удобна для приложений, особенно с использованием представления вторичного квантования для гамильтониана. <К. р. Г. как в классич., так и в квантовом случае позволяет вычислить свободную энергию ( Гельмгольца энергию )в переменных Т, V, N, равную F=-kTlnZ, где Z - статистич. интеграл или статистич. сумма. К. р. Г. соответствует максимуму информац. энтропии при заданной средней энергии и при сохранении нормировки. Лит. см. при ст. Гиббса распределения. Д. Н. Зубарев.
Физическая энциклопедия
- КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
-
распределение вероятностей состояний статистического ансамбля систем, к-рые находятся в тепловом равновесии со средой (термостатом) и могут обмениваться с ней энергией при пост. объёме и пост. числе ч-ц (т. е. статистич. распределение для канонического ансамбля Гиббса). Установлено Дж. У. Гиббсом (1901) как фундам. закон статистической физики и обобщён в 1927 Дж. фон Нейманом (Германия) для квант. статистики.
Согласно К. р. Г., ф-ция распределения, определяющая вероятность микроскопич. системы, равна:
f(p, q)=Z-1e-H(p, q)/kT,
где Т — абс. темп-pa, Н(p, q) — Гамильтона функция системы, (p, q) — обобщённые координаты (q) и импульсы (р) всех ч-ц системы, Z — статистический интеграл, определяемый из условия нормировки функции f и равный:
К. р. Г. можно вывести из микроканонического распределения Гиббса, если рассматривать совокупность данной системы и термостата как одну большую замкнутую изолированную систему и применить к ней микроканонич. распределение. Оказывается, что её малая подсистема обладает К. р. Г., к-рое можно найти интегрированием по всем фазовым переменным термостата (теорема Гиббса).
В квантовой статистике статнстич. ансамбль характеризуется распределением вероятностей wi квант, состояний системы с энергией?i. Условие нормировки вероятности в квант. случае имеет вид Siwi=1. Для всех Гиббса распределений в квант. случае wi зависит лишь от уровней энергии?i всей системы:
wi=Z-1e-?i/kT,
где Z — статистическая сумма, определяемая из условия нормировки и равная:
К. р. Г. в квант. случае можно также представить с помощью матрицы плотности r=Z-1e-H/kT, где H — оператор Гамильтона системы. К. р. Г. для квант. систем, как и для классических, можно вывести из микроканонич. распределения на основе теоремы Гиббса.
К. р. Г. как для классич., так и для квант. систем позволяет вычислить свободную энергию (Гельмгольца энергию) F=-kTlnZ, где Z — статистич. сумма или интеграл. По найденной свободной энергии можно определить все др. потенциалы термодинамические.