Физическая энциклопедия
- РАДОНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- интегральное преобразование ф-ции f(x )от n вещественных переменных, x= ( х1,..., х п), ставящее в соответствие ф-ции f(x )её интеграл по ( п- 1)-мерной плоскости (гиперплоскости) П = {x х = С}(хотя бы один из вещественных параметров x i, задающих положение П в Rn, не равен 0):
где dV п- евклидов элемент объёма на П.
Р. п. F(x, С )ф-ции f(x)- однородная ф-ция своих переменных степени -1, связанная с Фурье преобразованием
ф-ции f(x )ф-лой 
Ф-лы обращения Р. п. различны для чётных и нечётных п: для чётных n
для нечётных n
Здесь Г - произвольная поверхность в пространстве параметров x, окружающая начало координат, а
Символом
обозначена (n-1)-я производная Р. п. по последнему аргументу.Ф-лы обращения решают задачу восстановления ф-ции по значениям её интегралов, взятых по всем гиперплоскостям пространства
Эта задача возникает, напр., в томографии, где f(x) характеризует поглощение звука в данной точке c исследуемого объёма, а непосредственно измеряется её Р. п.- интегральные характеристики поглощения в последовательных плоских сечениях.Лит.: Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я., Интегральная геометрия..., М., 1962; Функциональный анализ, под ред. С. Г. Крейна, М., 1964.
В. П. Павлов.
Математическая энциклопедия
интегральное преобразование функций от нескольких переменных, родственное Фурье преобразованию. Введено И. Радоном (см. [1]). Пусть f(x1,..., х п) - непрерывная и достаточно быстро убывающая на бесконечности функция от действительных переменных 
, i=l, 2,..., n, n=1, 2,...
Для любой гиперплоскости в 
И
определяется интеграл
где Vг - евклидовым (n-1)-мерный объем на гиперплоскости Г. Функция
наз. преобразованием Радона функции f. Она является однородной функцией своих переменных степени -1:
и связана с преобразованием Фурье 
, 
, функции f формулой
С Р. п. непосредственным образом связана задача, восходящая к И. Радону, о восстановлении функции f по значениям ее интегралов, вычисленных по всем гиперплоскостям пространства 
(т. <е. задача об обращении Р. п.).
Лит.:[1] Radon J., "Вег. Verh. Sachs. Acad.", 1917, Bd 69, S. 262-77; [2] Гельфанд И. М., Граев М. И., В и л е н к и н Н. Я., Интегральная геометрия..., М., 1962.
Р. А. Минлос.