Математика в словарях и энциклопедиях
Слово "математика" происходит от греческого μάθημα (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом μάθησις, от глагола μανθάνω, первоначальное значение которого, "учусь через размышление", устанавливало строгое разграничение между выражаемым им понятием и понятием учения путем опыта. М., по обычным, установившимся с давнего времени, взглядам, есть наука о величинах, предмет которой состоит в измерении величин, или, согласно с поправкой, внесенной Огюстом Контом, в непрямом измерении величин. Такое определение если и может считаться удовлетворительным, то только для отдаленного прошлого, когда задачи М. не шли далее практических искусств счета и измерения протяжений. Но уже с IV в. до Р. Хр. практическая арифметика, под именем "логистики", и практическая геометрия, в форме землемерия, потеряли почти всякий интерес в глазах математиков древней Греции, и на первый план выдвинулись для них изучение свойств протяжений, или теоретическая геометрия, и в меньшей степени изучение свойств чисел, или, по терминологии нашего времени, теория чисел. По определению Вильгельма Вундта, вполне выражающему современное состояние М., ее предмет состоит в задаче "подвергнуть исчерпывающему свой предмет исследованию мыслимые формы чистого усматривания, так же как и выполнимые, на основании чистого усматривания, формальные построения понятий, в отношении всех их свойств и взаимных отношений". Это определение отвлечено автором от содержания создавшегося в последнее время, под именем учения о многообразиях, или учения о формах (Mannigfaltigkeitslehre Римана, или Formenlehre Германа Грассмана), самого общего математического учения, в отношении которого все отдельные математические науки являются не более как его специальными ветвями. Содержание названного сейчас общего математического учения с полною ясностью раскрывает также и связь, существующую между М. и другими науками. Выражения "многообразие" и "форма" характеризуют это содержание с двух разных сторон, так как указывают на два необходимых условия, которые должны быть выполнены при всяком математическом исследовании, какой бы предмет оно не имело. Первое из этих условий состоит в наличности многообразия объектов мышления, составляющих известную совокупность; второе — в чисто формальном способе обработки, т. е. в таком, который привлекает к рассмотрению не собственные конкретные свойства объектов мышления, а только одни взаимные отношения последних. Область математического исследования становится таким образом чрезвычайно обширной, способной к распространению даже на формальную часть логики, как на удовлетворяющую указанным условиям и потому вполне готовую к принятию форм математического алгоритма. В настоящее время это принятие есть уже совершившийся факт, представляемый недавно созданными трудами Буля, Роберта Грассмана, Шредера и др. логическим исчислением, или алгеброй логики. Если затем принять во внимание, что все доставляемое опытом может быть сведено на отношения многообразных объектов мышления, то становится необходимым заключить, что всякая опытная наука, по самой своей природе, должна быть доступна формальному, или математическому, способу обработки. Степень же приложимости математической обработки предмета зависит исключительно от чисто внешних условий исследования. "Рациональная, или теоретическая, механика", "небесная механика", "математическая физика", попытки создания "математической химии", "теория вероятностей" и "математическая статистика" дают изложенным сейчас абстрактным заключениям фактическое реальное подтверждение. Развитие математики началось с создания практических искусств счета и измерения линий, поверхностей и объемов. Началом этого развития можно считать появление у первобытного человека определенного представления единицы и неопределенного представления множества. Затем все последующее развитие первобытного счисления состояло в последовательном выделении из неопределенного представления множества определенных представлений два, три, четыре и т. д. до пределов, которые определялись у различных народов самыми разнообразными обстоятельствами. Обстоятельством, определившим форму и ход первоначального развития счисления, была коренящаяся в условиях и законах первоначального развития представлений невозможность для первобытного человека в течение значительных промежутков времени отделять числовое представление от конкретного представления содержащей его группы предметов. Счет вначале, вследствие этого обстоятельства, мог быть и был только вещественным. Промежутки времени, необходимые для выделения последовательных числовых представлений, были вообще очень большими, но особенно значительную продолжительность имели они в эпоху развития представлений чисел два, три и четыре. На исключительно большую величину промежутка времени, в продолжение которого выделялось представление числа три, и поэтому вся доступная человечеству область счисления ограничивалась определенными представлениями единицы и два, и неопределенным — множества, указывает факт существования во многих языках двойственного числа. К этому же громадному промежутку времени восходят начало развития счисления дробей и связанное с ним первое образование системы счисления. Первой дробью, с которой познакомилось человечество, была половина. Вслед за ней постепенно выходили на свет сознания и ближайшие к ней другие дроби двоичной системы. Половина какого-нибудь предмета могла быть, в свою очередь, разделена на две полполовины; полполовина — на две полполполовины и т. д. до предела, до которого могли доходить требования практической жизни. Вполне характеристичный пример этого образования дробей двоичной системы представляет древнерусская система земельных мер. Землемерные рукописи и официальные акты по землемерию допетровской эпохи доходили в образовании этих дробей до 8, 9 и даже 10 повторений приставки пол- к слову половина (о дальнейшем развитии счисления дробей см. в статье Дроби). Первоначальное разнообразие групп предметов, заимствуемых человеком из окружающей природы для употребления в качестве орудий и средств счета, сменилось, после выделения представления числа четыре, почти исключительным употреблением группы, представляемой пальцами руки, как ближайшей к человеку и постоянно находящейся в его распоряжении. С этого времени дальнейшее развитие счисления так тесно связалось с развитием уменья пользоваться при счете пальцами, что для словесного выражения вновь выделяемых числовых представлений стали в чрезвычайно широких размерах употребляться названия предметов и действий пальцевого счета. После выделения представления числа 5 дальнейшее развитие счисления встретило важное затруднение, состоявшее в невозможности, при выделении следующего числового представления шесть, пользоваться пальцами одной руки, как уже занятыми выражением числа 5. Наблюдения над пальцевым счетом современных дикарей обнаруживают существование и размеры рассматриваемого затруднения в этом и аналогичных других случаях с полною ясностью. После значительного промежутка времени некоторые племена пришли к мысли освобождать занятые выражением числа 5 пальцы одной руки с помощью употребления особого знака, напоминающего человеку, что число 5 уже получено один раз. Этим знаком бывали: черта, проведенная на песке или красящим веществом на какой-нибудь поверхности, камень, и т. д. Этим приемом была создана пятеричная система счисления в ее примитивном виде счета по пяткам и положено начало развитию письменного счисления. Действительно, употребление для условного обозначения предмета других знаков, чем жесты и звуки, и есть уже письмо в самом обширном значении этого слова (см. Письменное счисление). Последовавшее за введением указанного приема развитие счисления состояло в том, что при выделении, с помощью пальцев одной руки, всех следующих числовых представлений до известного предела, попутно выделялись сперва простые кратные пяти, как основного числа пятеричной системы, а затем и единицы следующих разрядов той же системы вместе с кратными им. Другим средством устранения представившегося затруднения, найденным другими племенами, было употребление при выделении следующих за 5-ю числовых представлений пальцев другой руки. Но когда эти племена, достигнув числа 10, должны были перейти к 11, тогда они опять встретились с затруднением, подобным прежнему и состоявшем в невозможности пользоваться пальцами обеих рук, как уже занятыми выражением числа 10. Те же два средства, как и прежде, послужили и для устранения нового затруднения. Одни из племен, придя к мысли обозначать десяток особым знаком, создали получившую позднее всеобщее распространение десятичную систему счисления; другие, напротив, остановившись на мысли воспользоваться пальцами ног, продолжали развивать счисление в прежнем направлении, пока наконец, достигнув числа 20, не пришли в дальнейшем развитии счисления к созданию двадцатеричной системы, закончившему собой цикл образования пальцевых, или натуральных, систем счисления. Средства, при помощи которых происходило дальнейшее развитие счета, оставались все последующее время в сущности теми же, какими были вначале, изменяясь только более или менее резким образом в своих внешних формах, в зависимости от достигаемых человечеством ступеней развития. Согласно двум главным родам употребляемых средств, счет бывает или вещественным, или мысленным. Первый пользуется или предметами, принадлежащими человеческому телу, главным образом пальцами, или же предметами, посторонними человеку. И в том, и в другом случае счет пользуется употребляемыми им предметами или в их непосредственном виде, или в форме изображений, с течением времени все более и более удаляющихся от оригиналов и кончающих переходом в системы условных знаков, или образованием письменного счета в тесном смысле. Несмотря на свою распространенность в позднейшее время, письменный счет не является единственной формой вещественного счета в его позднейшем состоянии. Другой формой, и притом стоящей гораздо ближе к своему древнему прототипу, является инструментальный счет, пользующийся для своих целей различными более или менее сложными искусственными инструментами или орудиями, начиная с первобытного шнурка с узлами и кончая усовершенствованной счетной машиной последней конструкции. Другой главный вид счета — мысленный — в своей чистой первоначальной форме слагается из операций, совершаемых вне сознания и выводимых перед ним с значительным трудом и в более или менее смутных образах только в позднейшее время, по достижении владеющими им лицами значительно высших ступеней развития. При таких свойствах этого счета об употреблении его в древности мы можем судить только по перешедшим в памятники древней математической литературы результатам его приложения к решению различных задач и вопросов. Недостаток данных истории М. может быть пополнен наблюдениями над феноменальными счетчиками нашего времени. Этим именем обозначаются прежде всего лица, которые, без всякой предварительной подготовки, оказываются в состоянии в поразительно короткие промежутки времени производить очень большие вычисления и решать задачи, которые должны быть признаны совершенно выходящими из круга ведения не только неграмотного человека, но даже и лиц, получивших элементарное школьное образование. Можно указать на обратившего на себя недавно внимание всего образованного мира Жака Иноди и на изученных более или менее обстоятельно Анри Монде во Франции, и Ивана Петрова в России. Наблюдения над этими феноменальными счетчиками дают нам основание думать, что начало употребления мысленного счета восходит к очень отдаленным временам развития счисления. Данных для изучения первоначального развития геометрии наука в настоящее время почти совсем не имеет. Первое ознакомление с основными геометрическими понятиями доставляло человечеству созерцание предметов окружающей природы. Но это ознакомление было бы очень поверхностным, если бы к нему не присоединялось с раннего времени воспроизведение образов, представляющихся человеку в окружающем его мире, вызываемое или стремлением к подражанию, или практическими нуждами. Воспроизведение, явившееся результатом первой из этих двух причин, выразилось в первобытных формах живописи и ваяния, и второй — в различных ремеслах и в первобытной форме архитектуры. Но большая часть доставляемых этими средствами геометрических сведений оставалась вне сознания. Прогрессировать в ясности и определенности эти представления едва ли могли ранее эпохи, когда явилась надобность в измерении расстояний, в определении величины земельных участков, в вычислении содержания жидкостей, зерен, плодов и проч. в сосудах и различных помещениях. Употребляемые вначале приемы этих измерений и определений были исключительно эмпирического и индуктивного происхождения. Умозрение стало приводить к сколько-нибудь заметным результатам только значительно позже, и притом первые результаты умозрения в области геометрии могли быть в большинстве случаев только ошибочными. Вполне характерным примером их является имевшее в свое время всеобщее распространение ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Учение это получило очень обширное и притом вполне умозрительное развитие. Площадь какого-нибудь данного четырехугольника вычислялась, напр., как площадь прямоугольника, имеющего одинаковый с ним периметр, именно такого, неравные стороны которого равнялись полусуммам противоположных сторон рассматриваемого четырехугольника (египетские землемерные надписи храма в Эдфу). Площади многоугольника, круга, всякой криволинейной фигуры вычислялись как площади квадратов, имеющих сторонами1/4периметра рассматриваемой фигуры. Вычитание площадей фигур заменялось вычитанием их периметров и следующим затем определением площади квадрата, периметр которого равнялся полученной разности (русские землемерные рукописи XVII столетия).
Древнейшим из известных современной науке памятников древней математической литературы является составленный за 1700 лет до Р. Хр., по источникам еще более древним, восходящим именно к промежутку 2221-2179 гг. до Р. Хр., египетский папирус Ринда (см. Папирусы математические). В таблицах, составляющих его арифметическую часть, исследователь, кроме действий над целыми и дробными числами, встречает еще случаи возвышения в степени, пропорциональное деление, учение о геометрических отношениях и пропорциях в примитивном виде, определение среднего арифметического, задачи, занимающиеся арифметическими прогрессиями, решение уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Изложение решений вопросов и задач в папирусе Ринда лишено даже намека на что-нибудь подобное объяснению или доказательству. Искомый результат или дается прямо, или вычисляется, как бы по рецепту, в обоих случаях он поверяется, так как уверенность в правильности предписанного решения только при посредстве поверки и может быть достигнута. Такой способ изложения, как свидетельствующий, по меньшей мере, о неясности для сознания найденного решения вопроса, показывает, что вначале исключительно, а позднее во всех более трудных случаях решение задач и вопросов доставлялось феноменальными счетчиками и затем, как умственное наследие, передавалось из поколения в поколение. Методов, которыми бессознательно пользовались феноменальные счетчики при своих решениях вопросов и задач, как показывают наблюдения над людьми этого типа в новейшее время, было два; из них один может быть назван методом попыток. Сущность метода состоит в совершении ряда попыток, имеющих целью достигнуть вполне точного решения вопроса или возможно более к нему приблизиться. Так как для успеха дела число таких попыток должно быть возможно более ограниченным, то прежде чем приступить к ним необходимо определить на основании условий вопроса их низший или высший предел или оба вместе. Затем для первой из попыток, следовательно, в качестве числа, представляющего для всего их ряда точку исхода, или, короче, в качестве исходного числа, берется или один из этих пределов, или число, близкое к нему. Выбор для дальнейших попыток, в случае неудачи первой, чисел в ряду следующих за исходным числом всегда следует принципу удобнейших (главным образом для вычисления) чисел. Оценка делаемых попыток в их отношениях к своей главной цели, т. е. по вопросам о том, доставляется ли ими искомое решение вопроса или, в противном случае, насколько они приближают к этому решению, производится с помощью их поверки условиями задачи; без поверки употребление метода делается совершенно немыслимым. Существенной характеристической чертой метода попыток является его применимость к решению самых разнообразных задач и вопросов как теоретического, так и практического характера. Метод попыток может быть прямым, когда попытки занимаются непосредственным определением искомого числа, и непрямым, когда ими определяется число, находящееся в установленной условиями задачи связи с искомым. Частным случаем метода попыток является метод постепенного образования, или составления искомого числа на основании условий вопроса. В этом методе или все попытки, кроме первой, или некоторая часть их, заменяются рядом изменений, совершаемых или в исходном числе, или в числе, доставленном какой-нибудь из последующих попыток. Изменения эти производятся таким образом, чтобы составляющее их объект число постепенно приближалось к искомому. Приложение этого метода допускается, впрочем, далеко не всеми вопросами, решаемыми методом попыток, а потому он и является не более, как только частным его случаем. Другим, находящимся в распоряжении феноменальных счетчиков, методом был обычно употребляемый в современной науке метод выражения искомого неизвестного в данных задачи. Феноменальные счетчики, а затем обыкновенные, пользовались им для решения вопросов с немногими и простыми условиями, указывающими с полной очевидностью ряд действий, исполнение которых над данными числами приводит к искомому неизвестному. В папирусе Ринда встречается только одно правило, имеющее для области обнимаемых им случаев, хотя и крайне тесной, общее значение. Результат умножения каждой дроби с единицей в числителе на дробь2/3, говорит это правило, всегда состоит из1/2умножаемой дроби и из ее1/6. Так как изложение этого правила следует непосредственно за рядом примеров, его подтверждающих, то исследователь получает право заключить, что оно было найдено помощью индукции через простое перечисление. По всей вероятности, и все другие правила общего характера в рассматриваемую отдаленную эпоху выводились таким же образом. Представляемые папирусом Ринда геометрические сведения древних египтян стоят на гораздо более низкой степени развития, чем их арифметические знания. Для суждения о качественной стороне дела достаточно заметить, что все употребляемые в нем приемы измерения, как величины земельных участков, так и вместимости житниц, неточны. Притом в первом случае они хотя и имеют умозрительный характер, но на степени развития, не стоящей выше учения о равенстве площадей при равенстве периметров; во втором же случае они являются прямо и грубо эмпирическими. Гораздо более высокое положение, приближающееся до некоторой степени к философскому и научному уровню арифметических знаний, занимает в геометрическом отделе папируса Ринда, по точности результатов и по философскому и научному значению основных идей, статья о вычислении пирамид, как заключающая в себе в примитивном виде учение о подобии треугольников и пользующаяся для определения равенства углов в прямоугольных треугольниках приемами, состоящими в смысле науки нашего времени в определении синусов и тангенсов. Высокой для своего времени степенью точности обладает в папирусе Ринда также и прием вычисления площади круга, состоящий в возвышении в квадрат8/9его диаметра (см. Квадратура круга). Определенное по этому приему отношение окружности к диаметру равно 3,16. В то же время как и в Египте, или немного позже, математические знания достигли довольно высокой степени развития у жителей Вавилона и Ассирии, у халдеев. Главным источником сведений о том являются таблицы из Сенкере, занимающиеся возвышением последовательных натуральных чисел от 1 до 60 в квадрат и куб и пользующиеся для изображения чисел 60-ричной системой счисления. Кроме того, из сочинений греческих писателей мы узнаем, что учение о пропорциях было принесено Пифагором в Грецию из Вавилона. Не имея таким образом оснований для суждения об объеме и свойствах математических знаний халдеев, мы можем указать, как на единственную известную нам черту различия между ними и знаниями египтян — на характер приложений тех и других. Египетские математические знания прилагались к решению вопросов, имеющих практическое утилитарное значение, напротив, халдейские — главным образом преследовали мистические цели и служили для предсказаний будущего. Умственное развитие, а вместе с ним и развитие науки никогда не шло во всем человечестве равномерно. В то время как одни народы стояли во главе умственного движения человечества, другие оказывались едва вышедшими из первобытного состояния. Когда у последних вместе с улучшением условий их жизни, появлялись, под действием внутренних или внешних импульсов, стремления к приобретению знаний, тогда они должны были прежде всего догонять передовые племена. Если в то же время передовые племена, достигнув высшей доступной им по их способностям или по созданным для них историей условиям жизни степени развития, вырождались и падали, в умственном развитии всего человечества происходил застой или даже видимый временный упадок: приобретение новых знаний прекращалось и умственная работа человечества сводилась единственно к упомянутому усвоению отставшими племенами знаний, уже приобретенных человечеством. Только по достижении этого усвоения отставшие племена получали возможность вести далее дело приобретения новых знаний и через это, в свою очередь, становиться во главе умственного движения человечества. Таким образом, в истории умственной деятельности каждого народа, когда-нибудь занимавшего место в ряду передовых деятелей человечества и затем свершившего весь свой жизненный цикл, исследователь должен различать три периода: период усвоения знаний, уже приобретенных человечеством; период самостоятельной деятельности в общей всему человечеству области приобретения новых знаний и, наконец, период упадка и умственного вырождения. Обращаясь от этого общего рассмотрения хода умственного развития человечества к той из отдельных его областей, которая представляется развитием М., мы находим, что при современном состоянии историко-математических знаний нам доступно изучение вполне завершенного цикла деятельности отдельного народа в области развития М. только на одной нации, на древних греках. Усвоение приобретенных человечеством знаний греками, как нацией, далеко отставшей от передовых народов, началось с особенно усилившегося, после изгнания гиксов из Египта, перехода егип. знаний к народам Малой Азии и в самую Грецию. В течение очень большого промежутка времени, от 1700 г. и ранее и до 600 г. до Р. Хр., эти знания были исключительно практического характера, относящиеся к потребностям обыденной жизни и к необходимейшим промыслам, ремеслам и искусствам. В области М. переход научных знаний из Египта в Грецию начался с возвращения, около 590 г. до Р. Хр., Фалеса Милетского на родину, в Милет, после долговременного пребывания в Египте. Принесенные им оттуда геометрические и астрономически сведения составляли первое время почти исключительное достояние основанной им ионийской школы. Но это время было очень непродолжительно, так как труд перенесения египетских, а затем и халдейских математических знаний скоро взяли на себя и другие лица: Пифагор, Ойнопид Хиосский и Демокрит из Абдеры. Особенно много сделал в этом направлении Пифагор, что и было главной причиной широкого развития занятий М. в основанной им пифагорейской школе. Так как последовательные стадии развития человечества никогда не сменяют друг друга резко, то в этой школе еще до окончания периода усвоения исследователь встречается уже с проявлениями самостоятельной деятельности греков в области М. Различить однако же в том, что нам известно о математических знаниях пифагорейцев, принадлежащее им самим от заимствованного у египтян и халдеев, в настоящее время нет пока никакой возможности. После разрушения, около 450 г. до Р. Хр., представляемого этою школой религиозного братства, ее математические знания, строго оберегаемые наравне со всеми другими знаниями от распространения между лицами, не принадлежащими к союзу, сделались общим достоянием греческой нации. Особенно широкое распространение получили они на родине пифагорейского союза, в греческих колониях Южной Италии, или в так называемой Великой Греции, и в Афинах. В Италии это распространение создало италийскую математическую школу, крупнейшими представителями которой в последующее время были Архитас Тарентский, Эвдокс Книдский и Архимед. В Афинах распространение пифагорейских математических знаний выразилось в деятельности математиков V стол., крупнейшим представителем которых был пифагореец Гиппократ Хиосский. Деятельность эта была посвящена главным образом попыткам решения трех знаменитых задач: трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба. Этому же столетию принадлежит и первая попытка составления свода геометрических знаний в научной обработке, сделанная Гиппократом Хиосским. С деятельностью математиков V ст., кроме значительного усиления самостоятельности математических работ греческих ученых, связываются в истории М. два важных момента: начало дедуктивного периода развития М., которое в действительности, может быть, относится к еще более раннему времени, напр. к пифагорейской школе или даже к самому Египту, и полное выяснение направления и характера математического гения греческой нации, который с этого времени начал проявлять такую исключительную склонность к геометрическим исследованиям, что на них, можно сказать, сосредоточилась вся деятельность греческой нации в области математики до самого наступления периода упадка. С началом дедуктивного периода закончился в истории развития математики во всем человечестве первоначальный, донаучный период.
Период усвоения греками математических знаний, приобретенных человечеством, можно считать закончившимся ко времени деятельности Платона, который хотя и ездил в Египет с целью непосредственного ознакомления с египетскими науками, но, по высокому сравнительно состоянию математических знаний в пифагорейской школе и у математиков V ст., он едва ли мог найти в египетской М. что-нибудь, оставшееся для греков неизвестным. Итак, период вполне самостоятельной деятельности греков в области М. начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии, или даже еще ранее, с работ математиков V ст. С этого времени последующее развитие, если не всей М. вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации, которая и ведет его, пока находит в своем распоряжении необходимые средства. Главным результатом о математической деятельности самого Платона было создание философии М. и в частности ее методологии. Как известно, его собственные работы очень мало касались увеличения математических знаний в количественном отношении и были направлены главным образом на установление строгих и точных определений основных понятий геометрии, на обнаружение и отведение настоящего места ее основным положениям, на приведение приобретенных ранее математических знаний в строгую логическую связь как между собой, так и с основными понятиями и положениями, и наконец, на приведение в полную ясность и изучение методов открытия и доказательства новых истин, методов, хотя уже давно употребляемых в науке, но еще не выяснившихся в достаточной степени перед сознанием. Методов, разработанных Платоном, по свидетельству Прокла, было три: аналитический, синтетический и апагогический. Особенной новизной для современников Платона отличались, по-видимому, результаты произведенного им изучения аналитического метода, как это можно видеть из того, что Диоген Лаэрций и с меньшей уверенностью Прокл смотрят на этот метод как на нововведение Платона. В дошедших до нас сочинениях Платона не содержится никаких сведений об его исследованиях по рассматриваемому предмету, так что для суждения об их результатах нам не остается ничего другого, как воспользоваться определением этих методов у первого по времени известного нам писателя, который его дает. Таким писателем является Эвклид, по определению которого "анализ есть принятие искомого как бы найденным, чем через следствия достигается то, что найдено истинным, а синтез есть принятие уже найденного, чем через следствия достигается то, что найдено истинным". Изложенные, на основании позднейших исследований предмета, более полным и главное более определенным образом, эти определения представляются в следующем виде. Аналитический метод состоит в образовании цепи предложений, из которых каждое вытекает из следующего за ним, как непосредственное следствие. Первым звеном этой цепи служит доказываемое предложение, последним — предложение уже доказанное. Схема метода такова: требуется доказать существование D. Доказательство: D существует, если С существует; С существует, если В существует; В существует, если А существует, но существование А есть уже доказанная истина, следовательно, и существование D доказано, так как правильно выведенное следствие предложения, представляющего истину, всегда есть истина. Если между двумя следующими одно за другим предложениями цепи существует обратимость, т. е. если при следовании справедливости первого предложения из справедливости второго, также следует обратно и справедливость второго из справедливости первого, то отыскивание этого второго предложения при составлении цепи, как предложения, из которого первое вытекает как следствие, может быть заменено более легким действием вывода второго предложения, как следствия первого. Если обратимость предложений распространяется на всю цепь, то аналитический метод принимает более легкую частную форму, состоящую в образовании цепи предложений, из которых каждое есть непосредственное следствие предыдущего. Эту частную форму обыкновенно и принимают за выраженную определением Эвклида, хотя неопределенность его выражения и не дает для этого достаточного основания. Если же принять во внимание, что, при непонимании значения обратимости предложений, греческие геометры, употребляя эту форму, должны были беспрестанно приходить к ложным выводам, то придется заключить, что путем горького опыта они должны были придти к употреблению общей формы анализа, как никогда не обманывающей возлагаемых на нее надежд. Синтетический метод есть обращение аналитического и поэтому состоит в образовании цепи предложений, из которых первое есть доказанная истина, а каждое из последующих есть следствие ему предшествующего. Об апагогическом методе. или методе приведения к нелепости (reductio ad absurdum), Эвклид не говорит, но довольно ясное его определение наряду с неясными определениями анализа и синтеза дает Прокл, при своем приписывании их Платону; "Третий (апагогический) метод, — говорит он, — есть приведение к невозможному, которое не доказывает прямо того, что ищется, а опровергает то, что ему противоречит, и таким образом через связь того и другого находит истину". В основании этого метода лежит истина, что если из двух предложений одно вполне отрицает другое, или, другими словами, если два предложения противоречащие, то для убеждения в справедливости одного достаточно показать ложность другого. Аналогический метод есть собственно видоизменение аналитического, в котором первым звеном цепи предложений вместо доказываемого предложения является его отрицание, а последним какое-нибудь заведомо ложное или нелепое предложение. Ученые математики, принадлежавшие к Академии во все время ее существования, распадались на две группы: на ученых, получивших свое математическое образование независимо от Академии и находившихся только в более или менее тесных сношениях с ней, и на бывших учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Леодамас Тазосский, Архитас Тарентский и позднее Эвдокс Книдский; к числу вторых — Неоклид, Леон, Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат, и во время старости Платона Теюдий из Магнезии, Кизикен Афинский, Гермотим Колофонский, Филипп из Менде и Филипп из Опуса. В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперед мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал свое развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги "Элементов" геометрии: Леоном, в начале существования Академии, и Теюдием из Магнезии в конце жизни Платона. "Элементы" Леона замечательны по введению в них впервые так назыв. диоризма, то есть исследования задачи, состоящего в рассмотрении условий возможности или невозможности ее решения, а также в первом случае и в определении числа ее различных решений. Из математиков, современных Академии, но не принадлежавших к ней, более известны нам по своей деятельности Автолик из Питаны и Аристей Старший. Создание в школе Платона философии М. должно было повести необходимым образом к разработке существенно необходимой для нее истории М. Дело этой разработки взяла на себя основанная учеником Платона, Аристотелем, школа перипатетиков в лице двух своих представителей, Эвдема Родосского и Теофраста Лесбосского. Нельзя не заметить, что в трудах по истории М. этих ученых заключается все крупное, что было сделано школой перипатетиков для развития наук математических. Покровительство науке, оказываемое династией Птолемеев, царей новой греко-египетской монархии, возникшей после смерти Александра Македонского на почве древнего Египта, сделало, приблизительно с 300 г. до Р. Хр., из столицы этой монархии, Александрии, главный центр умственной и духовной жизни греческого мира. Щедрые денежные пожертвования на дело науки и просвещения со стороны династии Птолемеев, и особенно трех первых из них: Птолемея Сотера, Птолемея Филадельфа и Птолемея Эвергета, привлекли в Александрию выдающихся представителей науки древней Греции и собрали в Александрийской библиотеке все сокровища греческой ученой и изящной литературы. Самыми крупными из представителей М. в Александрии были Эвклид, Эратосфен и Аполлоний Пергейский. Написанные Эвклидом "Элементы" геометрии закончили собой ряд попыток составления сочинений того же рода. До нынешнего времени остаются они произведением, не имеющим в своей области себе равного. Также классическим, хотя и далеко не в такой степени, является завершившее собой развитие учения о конических сечениях в древней Греции сочинение Аполлония Пергейского: "Восемь книг о конических сечениях", заключающее в себе все сделанное в этой области самим автором, его предшественниками и современниками. Старшим современником Эратосфена и Аполлония Пергейского был самый крупный математик своей эпохи, представитель италийской школы, Архимед. Из его работ особенно важное значение должно быть признано за исследованиями, относящимися к коническим сечениям, к происходящим от них телам вращения и к спиралям. Во всех этих исследованиях, так же как и при решении некоторых вопросов планиметрии и стереометрии, он широко пользовался методом исчерпывания, который в его руках достиг наибольшей доступной ему высоты развития. Началом развития метода являются первые попытки раскрытия отношений, существующих между простейшей криволинейной фигурой, кругом, и фигурами прямолинейными. После того как было найдено, что площади правильных одноименных многоугольников относятся как квадраты диаметров описанных округов, сама собой должна была явиться мысль о возможности перехода от этих многоугольников к кругам через посредство удваивания числа сторон многоугольников, делающего периметры последних все более и более близкими к окружностям кругов. Но так как уходящее в бесконечность удваивание числа сторон многоугольника, а вместе с ним и беспредельные приближение периметра того же многоугольника к окружности, не дают места непосредственному усмотрению, то явилась необходимость для удержания за очевидностью ее прав в принятии основанием всех исследований рассматриваемого рода такого вспомогательного предложения, с помощью которого требования очевидности были бы удовлетворены. Таким предложением в "Элементах" Эвклида является следующее: "Если даны две неравные величины и от большей отнимается более половины, от оставшегося также более половины, и так далее, то останется величина, которая будет меньше всякой данной малой величины" (книга X, предл. I). Так как в устанавливаемом этой теоремой процессе всякий остаток сравним со следующим за ним, то строгие требования греческой геометрии являются удовлетворенными. С помощью этой теоремы Эвклид доказывает, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, имеющего одинаковые с ним основание и высоту; из тех же оснований он выводит, что круги относятся как квадраты их диаметров, что треугольные пирамиды, конусы, цилиндры при одной и той же высоте относятся соответственно, как площади их оснований; что отношение шаров равно отношению кубов их диаметров. С гораздо большей строгостью относился к методу исчерпывания Архимед, положивший в его основание теорему: "Если две линии, две поверхности или два объема неравны, то всегда возможно величину, на которую большее превосходит меньшее, прилагать к самой себе столько раз, что получится результат, превосходящий всякую данную конечную величину одного с ним рода". Пользуясь этой теоремой, Архимед дает, например, два способа решения вопроса о квадратуре параболы. Общий прием, заключающийся как в этих двух, по-видимому, очень различных способах, так и в подобных им, относящихся к другим родам протяжений, состоит в том, что определяемая величина рассматривается как предел ряда каких-нибудь величин, находящихся к ней в известном отношении. Но так как для практических приложений этого приема не было выработано никаких общих правил, как относительно закона составления требуемых им рядов и формы их членов, так даже и относительно самого выбора ряда, который бы мог привести к цели, то исследователь получал в этом приеме только одни неопределенные общие указания на находящийся в его распоряжении путь исследования; во всем же остальном он был предоставлен собственной эрудиции и собственному остроумию. Это и было причиной, что только в руках такого гениального геометра, как Архимед, метод исчерпывания мог получить сколько-нибудь значительные приложения. В деятельности Эвклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области М. достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идет уже не о создании новых отраслей науки и решении ее труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, все еще остается верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным. Материалы для этой деятельности черпались действительно из отраслей М., продолжение разработки которых было завещано предыдущей эпохой. Этими отраслями были: во-первых, элементарная геометрия и в ней главным образом стереометрия, где и после работ Эвклида и Архимеда все еще оставались некоторые пробелы; во-вторых, кривые высших порядков, толчок к изучению которых был дан Архимедом через посредство его исследования спиральных линий, и в-третьих, числовая геометрия, также указанная последующим математикам Архимедом в относящейся к ней его работе по предмету вычисления круга. К первой отрасли относились работы Зенодора (изопериметрические фигуры) и Гипсикла Александрийского (правильные многогранники), ко второй — работы Никомеда (конхоида), Диоклеса (циссоида) и Персея (спиры и спирические кривые), и к третьей — работы Гиппарха (создание тригонометрии и вычисление хорд). В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до Р. Хр., прежняя стойкость греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. К тому же и авторами их являются в большинстве случаев лица, чистота греческого происхождения которых в высшей степени сомнительна. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской М., об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее. Первое и едва ли не самое резкое выражение нашло это направление в самом начале своего развития, ок. 100 г. до Р. Хр., в сочинениях Герона Александрийского, посвященных главным образом разработке геодезии и механики и во многом напоминающих приемы, формы, а изредка даже и содержание египетской М. К этому же направлению должна быть отнесена и вызванная потребностями астрономии разработка тригонометрии, начатая в трудах Гиппарха еще в эпоху национального направления и потому являющаяся звеном, связующим последнее с прикладным направлением. Самыми крупными деятелями разработки тригонометрии были Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Связующий национальное и прикладное направления характер этой разработки выражается как в трудах по геометрии самого Птолемея, так и в еще большей степени в геометрических работах второстепенных деятелей эпохи: Геминуса Родосского, Феодосия из Триполи, Дионисодора и Серенуса из Антиссы. Как на известного нам представителя эпохи упадка этого направления можно указать на Секста Юлия Африканского, бывшего, несмотря на свое римское имя, греческим писателем. Еще более чуждым греческому гению было арифметическо-алгебраическое направление, получившее начало в неопифагорейской школе, образовавшейся в I ст. после Р. Хр. Деятелями арифметики в этой школе были: Никомах Геразейский, Теон Смирнский и Тимарид. Продолжение работ неопифагорейцев в области арифметическо-алгебраического направления взяла на себя основанная во II в. после Р. Хр. неоплатоновская школа в лице главным образом двух своих представителей, Порфирия и Ямблиха. Но самым крупным деятелем в области арифметическо-алгебраического направления, закончившим его развитие, был стоявший вне философских школ Диофант Александрийский. На работы этого ученого следует смотреть как на последнюю яркую вспышку угасающей греческой математической науки, напомнившую ее славное прошлое и более уже не повторявшуюся. Третьей фазой упадка греч. М. была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем ее течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своем "Собрании", этом важнейшем из его сочинений, был еще в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдаленной связи. Этой способностью, все еще вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамасций из Дамаска, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали. Четвертой, и последней, фазой упадка греческой математики была эпоха византийских ученых, продолжавшаяся от VII века после Р. Хр. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своем языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок к переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов, представляемой, напр., такими писателями как Шамсальдин Бухарский. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониадеса Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Федора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры. Кроме этих ученых, деятелями рассматриваемой эпохи в области М., оставившими более или менее заметный след в византийской литературе, были Михаил Пселл, Николай Кабазилас, монах Варлаам, Иоанн Педиазимус, или Галенус, Максим Плануд, Николай Рабда из Смирны и Мануил Москопул.
Народом, одновременно с греками, стоявшим во главе умственного развития человечества, были индусы. Это положение было занято им, впрочем, значительно ранее греков, как это можно видеть из того, что в то время, когда греки были еще скромными учениками египтян, слава о мудрости браминов уже гремела на Востоке. До нас дошли даже темные известия, что учиться этой мудрости ездили в Индостан и некоторые из греков, именно Пифагор и Демокрит из Абдеры. Как показывают две великие религиозные системы, созданные индусами, браманизм и буддизм, национальными чертами индусского гения были склонность к философскому созерцанию, к умозрениям, стремящимся проникнуть в самую сокровенную сущность вещей и постичь необъятное и непостижимое, и стремление к построению таких систем философско-религиозного миросозерцания, которые, представляя стройное логическое целое, давали бы ответы на все великие и труднейшие вопросы и загадки, представляемые жизнью макрокосма и микрокосма, вселенной и человека. Направленные исключительно на познание внутренних отношений между вещами, индусские умозрения весьма мало заботились о внешних преходящих формах. В этом отношении индусы резко отличаются от греков, для которых так много значила форма. Занятия геометрией, как наукой, имеющей очень много дела с формами, должны были поэтому представлять для индуса гораздо менее привлекательности, чем для грека. Другое дело — наука чисел. Уже одно созерцание ряда чисел, уходящего всюду в бесконечность как при своем продолжении в обе стороны, так и в промежутках между каждыми двумя его членами, могло, хотя отчасти и кажущимся образом, приближать мысль к постижению идеи бесконечности. С другой стороны, для ума, имеющего исключительное пристрастие к познанию внутренней природы вещей, очень много привлекательного должно было представлять изучение свойств чисел и взаимных отношений между ними, являющихся так часто поразительными и неожиданными. Различия в характере национального гения у индусов и греков сказались и в различиях склада и направления способности мышления у тех и других. Индусы придают гораздо более цены результату, чем обоснованию исследования; гораздо более заботятся об ответе на вопрос как?, чем на вопрос почему? В исследовании они обращают внимание главным образом на идеи и представления и гораздо менее на понятия. Вследствие этого, очень много теряя в определенности и строгости, они выигрывают в глубине и широте. При этом указанные выше склонности ума нередко увлекают их так далеко от действительности, что глубина исследования с помощью фантазии обращается в беспредельность, а его широта — в необъятность. Отсутствие в нашем распоряжении всяких сведений о математической литературе индусов за время, предшествующее V в. после Р. Хр., совершенно лишает нас возможности составить себе хотя общее представление о развитии M. y индусов. Мы имеем за это отдаленное время только одни отрывочные сведения о широком развитии интереса к счислению у индусов, выразившемся в таких фактах, как существование в санскритском языке, в эпоху создания Махабхараты, следовательно, за много лет до Р. Хр., отдельных независимых друг от друга названий для единиц первых 17 разрядов десятичной системы, или, как рассказ имеющего каноническое значение жизнеописания Будды, Lalitavistara, написанного, как полагают, за 246 лет до Р. Хр., об экзамене Будды из арифметики, на котором он назвал имена всех разрядов чисел до 53-го включительно, и на "мольбу" о счете, доходящем до пыли первых атомов, и об определении числа их на протяжении одной мили, он ответил решением, представляемым 15-значным числом. Большая часть наших сведений о результатах, достигнутых развитием М. у индусов, доставлена находящимися в нашем распоряжении сочинениями трех индусских астрономов и математиков: Ариабгатты, Брамагупты и Баскары Axapuu, написанными соответственно в начале VI, в VII и XII вв. после Р. Хр. Сведения эти не могут претендовать на достаточную широту и глубину как по незначительности числа произведений, известных нам в такой обширной литературе, как индусская, так и в особенности потому, что все они, как посвященные астрономии, уделяют для изложения того, что может быть для нее нужно из области М., только одну, две главы. Из изложения этих глав мы узнаем, что арифметика, алгебра и неопределенный анализ достигли у индусов наивысшей для соответствующих эпох степени развития. Если под алгеброй подразумевать приложение арифметических операций к сложным величинам всякого рода, будут ли они рациональными или иррациональными числами, или пространственными величинами, то индусов следует признать истинными изобретателями этой науки, развитие которой они довели, если иметь в виду современные программы ее изложения, до квадратных уравнений включительно. Но особенно высокой степени развития достиг у индусов неопределенный анализ, в области которого они обладали вполне разработанными методами решения в целых числах неопределенных уравнений с двумя неизвестными 1-й и 2-й степеней. Из этих методов тот, который, под именем "циклического" они употребляли для решения неопределенных уравнений 2-й степени, по своему утонченному остроумию превосходит решительно все, что было сделано в области теории чисел до Лагранжа. Да и самый этот метод европейские математики, в лице Лагранжа, вторично нашли независимо от индусов только около 1769 г. (см. мемуар Лагранжа: "Sur la solution des problèmes indéterminés du 2 degré", в "Mémoires de l'Académie de Berlin", т. 23). Если таким образом в области науки чисел индусы в свое время стояли во главе развития М., то ничего подобного нельзя сказать о геометрии, в области которой они далеко отставали от греков. Да и то, что они сделали в ней более замечательного, как найденное помощью приложения алгебраических методов, должно быть отнесено к области приложений алгебры к геометрии. Для чистой геометрии, в том виде, в каком она сформировалась, напр., у греков, индусы сделали сравнительно немного. Главную причину такой отсталости индусской геометрии от греческой едва ли не следует видеть в различии приемов доказательства, употребляемых тем и другим народом в области этой науки. В то время как греки пользовались для этого строго определенными логическими построениями, индусы ограничивались одним непосредственным усматриванием справедливости доказываемого, достигаемым путем продолжительного рассматривания фигуры, снабженной всеми необходимыми вспомогательными линиями. Главнейшими вспомогательными средствами при этом, по-видимому, служили принцип совпадения вместе с вытекающим из него, в качестве особого случая, принципом симметрии и принцип подобия. С помощью этих принципов, при условии их полного и точного определения, могло бы быть развито все содержание геометрии и притом не в форме конгломерата, как в элементах Эвклида, а в строгой систематической форме, в которой прогресс науки был бы руководим идеями не случайного происхождения, а лежащими в существе предмета. С тригонометрией индусов находящиеся в нашем распоряжении сочинения знакомят только по ее приложениям к астрономии. Но и этого достаточно, чтобы видеть, что она настолько же отличается от греческой, насколько все арифметическо-алгебраическое направление математического гения индусской нации отличается от греческого национального направления. Всего яснее это выражается в способах составления тригонометрических таблиц. В то время, как греческие астрономы пользовались для этого целыми хордами, соответствующими двойным центральным углам, индусы составляли свои таблицы с помощью синусов, косинусов и синусов-версусов и существующей между ними зависимости, исходя из определяемых с помощью геометрии величин sin 30° и sin 45°. Это дает нам право заключить, что тригонометрия у индусов разрабатывалась как один из отделов приложений алгебры к геометрии, т. е. в той же форме, какую она имеет и в настоящее время.
Отставшей нацией, которая в деле дальнейшего продолжения умственного развития человечества готовилась выступить на смену его последних по времени передовых представителей, индусов и греков, были арабы. Вполне осуществить принимаемую ими в этом на себя великую задачу им, однако же, не удалось. В области М., пройдя период усвоения знаний, приобретенных человечеством, они, вследствие неблагоприятных политических обстоятельств, должны были остановиться на самом начале следующего периода самостоятельной деятельности. Находясь под одновременным воздействием индусов и греков, арабы в деле заимствования от тех и других сокровищ их науки шли не одним и тем же путем. Знакомство с индусской наукой приобреталось ими, по-видимому, таким же образом, как в древности знакомство греков с египетскими знаниями, т. е. через изучение на месте, производимое главным образом помощью устной передачи. Действительно, переводов индусских математических сочинений на арабский язык у арабов, насколько нам известно, совсем не было, и все, что они приобрели от индусов, было принесено к ним или их собственными путешественниками, отправлявшимися в Индостан, или такими как Альбируни, живавшими там иногда долгое время, или приходившими к ним учеными индусами. Полная доступность греческой науки для всех желающих, составлявшая с самого распадения пифагорейского союза характеристическое ее свойство, дала арабам возможность видеть их всех переведенными на свой язык. Это счастливое для арабов обстоятельство дополнялось еще тем, что в лице освоенных до некоторой степени с греческой образованностью просвещенных людей Малой Азии и Персии, между которыми выдающееся положение занимали сирийские христиане — несториане, арабская литература имела готовый контингент способных и знающих дело переводчиков. Наибольшего развития переводческая деятельность этих последних достигла во второй половине VIII и первой IX ст. Наиболее выдающимися из них в области М. были: Гунаин ибн Исгак, сын его Исгак ибн Гунаин, Табит ибн Курра и Куста ибн Лука. Несмотря на гораздо меньшую доступность арабам индусской М., они вполне усвоили арифметическо-алгебраическое направление индусов и остались почти совершенно чуждыми строго-геометрическому направлению греков. Нам, конечно, при нашем недостаточном знакомстве с индусской математической литературой, трудно отделить в сочинениях арабских математиков то, что принадлежит им самим, от заимствованного у индусов, но несомненно одно, что все известные нам сочинения араб. математиков, которые могут быть признаны самостоятельными, принадлежат арифметическо-алгебраическому направлению, а следовательно, к нему же принадлежат, за немногими исключениями, и все самостоятельные работы арабских математиков. Более выдающимися из известных нам деятелей арабской M. y восточных арабов были в IX в.: Мухаммед ибн Муза Альхваризми, Мухаммед ибн Муза ибн Шакир и его братья, Ахмед и Альгасан (известны своими работами по геометрии), Табит ибн Курра (упомянут выше в числе переводчиков), Альмагани, Абу Джафар Алхазин, астроном Аль-Баттани (известен своими работами по тригонометрии); в Х в. астрономы: Абул Вафа и Алькухи (последний известен своими работами по геометрии), также известные работами по геометрии Аль-Сагани и Альсиджци, или Альсинджари, Абу Мухаммед Альходжанди (работы по теории чисел), Альхузаин (работы по приложениям алгебры к геометрии); в XI веке: Ибн-Сина, или в западно-европейской переделке Авиценна (работы по арифметике), Альбируни (работы по арифметике и геометрии), Абул-Джуд (работы по геометрии и алгебре), известные работами по алгебре и по калькуляторской части М. Альназави и Алькарки, Омар Алькайами. К восточно-арабским математикам следует причислить также и двух, действовавших на почве древнего Египта: жившего в Х веке Ибн-Юнуса из Каира и жившего в XI веке Ибн Альгаитама. Последний не был даже уроженцем Египта и происходил из города аль-Басра. У западных арабов главное внимание было обращено на изучение астрономии. Вследствие этого М. занимала у них второстепенное положение, только как преподавателей мы и знаем первых из известных нам западно-арабских математиков: Х в. Альмадскрити и действовавших главным образом в XI в. его учеников: Алькармани, Ибн ас-Сафари и Альгарнати. Также и жившие в XIII в. Ибн-Альбанна и в XV — Алькальсади известны нам как авторы сочинений, имеющих ясно выраженный учебный характер. Другим характером отличается, разве только, входящая в состав сочинения по астрономии работа по тригонометрии астронома XI века Джабира ибн Афлах. Главную причину такого невысокого состояния западно-арабской М., почти не способного дать место самостоятельным исследованиям, едва ли не следует видеть в постоянных войнах, которые западные арабы вели между собой, и, кроме того, — и с христианами. Преждевременный конец только что начавшемуся периоду самостоятельной деятельности арабов в М. был положен начавшимися ок. 1100 г. крестовыми походами, а также и происходившими одновременно с ними междоусобными войнами, и затем довершен покорением восточно-арабской монархии монголами. Все известные нам в XII в. и в следующих столетиях произведения араб. математической литературы свидетельствуют о ясно выраженном периоде упадка. Известными нам деятелями этой печальной эпохи в области М. были: в XIII в. Абу Джафар Мухаммед ибн Гасан аль Тузи, более известный под прозвищем Насир-Эддина, в XIV веке Кадизадех Ар-Руми, в XV в. сын предыдущего — Мирам Челеби и Джитат эддин аль-Каши, в XVI и в начале XVII в. Бега-Эддин. В заключение нельзя не заметить также, что и период усвоения арабами знаний, приобретенных человечеством в области М., не может считаться законченным. Продолжать развитие М. арабы оказались способными только в духе и направлении индусов. До овладения же направлением и духом греческой геометрии им было еще далеко.
Несколько ранее арабов начала готовиться к продолжению умственного развития человечества Западная Европа. Но природа северных народов не позволила М. двигаться в этом направлении с такой же быстротой, с какой, благодаря живой восприимчивой природе южан, прогрессировали арабы. Начав позже Западной Европы, они сделались, как мы сейчас увидим, ее учителями. Период усвоения Западной Европой знаний, приобретенных человечеством, представляет две ясно различимые фазы. Первой была фаза усвоения римских знаний.
Из народов, бывших учениками греков, римляне, в области М., едва ли не оказались наименее способными. Все, что в течение своих многовековых сношений с греками они могли заимствовать от них по части наук математических, не шло далее или энциклопедических обозрений содержания их элементарной части, представляемых сочинениями Варрона, Марциана Капеллы и Кассиодора, или собраний сведений, необходимых для архитектуры, как в сочинении Витрувия, и особенно для землемерия, как в сочинениях Колумеллы, Фронтинуса и землемеров по профессии — Гигинуса, Вальбуса, Липсуса, Эпафродитуса и Витрувия Руфуса, или, наконец, таких элементарных произведений учебного характера, как принадлежащий Аппулею перевод "Арифметики" Никомаха Геразенского и как другой перевод той же книги, сделанный Боэцием, вместе с сочинением последнего, посвященным геометрии. Ввиду такого низменного состояния римских математических знаний нельзя и надеяться найти в них проблески самостоятельной мысли. Можно сказать вообще, что даже и в периоде усвоения знаний, приобретенных человечеством, римляне ушли вперед очень недалеко. Усвоение же римских математических знаний Западной Европой сосредоточивалось почти исключительно в монастырях, которые со времен Бенедикта Нурсийского и Кассиодора взяли на себя роль охранителей сокровищ древней науки от бесследного уничтожения. Поэтому первыми деятелями западно-европейской математической литературы являются исключительно монахи, из которых более выдающимися для своего времени были: Изидор Испанский в VII в., Беда Досточтимый и Алкуин в VIII в., и Герберт в Х в., бывший под именем Сильвестра II римским папой. Второй фазой усвоения Западной Европой знаний, приобретенных человечеством, было усвоение арабской науки, начавшееся в области М. с деятельности Герберта, затем все усиливавшееся и с эпохи крестовых походов сосредоточившее единственно на себе всю деятельность западно-европейских математиков. Деятельность переводчиков арабских математических соч. на лат. язык началась в оставшейся за христианами части Испании еще до посещения ее Гербертом и едва ли не с трудов Люпитуса Барцелонского. Наибольшее развитие она получила в XII в., к которому принадлежат такие крупные ее представители, как Ателарт Батский, Платон Тибуртинский, Герард Кремонский, Рудольф из Брюгге и Иоаин Севильский, или Испанский. В XIII в. она уже стала падать, несмотря даже на деятельную поддержку, оказываемую ей такими меценатами, как император Фридрих II и король кастильский Альфонс X. Самым выдающимся из переводчиков в этом веке был Джованни Кампано, а более замечательными из второстепенных — Гильельмо де Люнис и астроном Герард из Саббионетты. Работами Кампано деятельность переводчиков с арабского языка на латинский в области М., по-видимому, закончилась, так как современной науке не известно ни одного перевода, сделанного позже 1270 г. Прекращение этой деятельности произошло с такой же быстротой и неожиданностью, как и переход ее с начала XII в. от почти незаметного состояния к размерам, которые для своего времени прямо могут быть названы грандиозными. Усвоения арабских математических знаний Западная Европа достигла, говоря относительно, довольно рано, именно с самого начала XIII столетия, но только в лице одного человека, значительно опередившего современников, именно — Леонардо Пизанского, известного под фамилией Фибоначчи. На усвоение содержания его сочинений, а вместе с тем и всего, что было доставлено Европе деятельностью переводчиков, соотечественниками Леонардо — итальянцами, а за ними, или, точнее, через посредство их университетов, и всей Западной Европой, было потрачено около 8 столетий. Более выдающимися деятелями этой эпохи в области математики были: в XIII в. в Германии: Иордан Неморариус, Виттеллио и Вильгельм Мербеке; в Англии: Иоаин Сакробоско и Рожер Бако; во Франции Винцент де Бове; в XIV в. в Англии: Ричард Валлингфорд, Модиз, Симон Бредон (Бириданус) и Томас Брадвардин; во Франции: Иоанн де Мурис, Иоанн де Линериис, Доминик Парижский и Николай Орезм; в Германии: Альберт Саксонский и Генрих Гессенский;, в Италии: Паоло Дагомари и Биаджио из Пармы; в XV в. в Англии: Иоанн Норфольк; в Германии: Иоанн Гемунден, Георг Пеурбах, Николай Куза, Иоанн Видманн из Егера и Иоанн Мюллер, или Региомонтан; в Италии: Просдочимо де Бельдоманди. Насколько Леонард Пизанский опередил свое время, всего лучше можно видеть из того, что усвоение арабской науки даже в самой Италии двигалось до такой степени медленно, что достижение его средним уровнем итальянских математиков может считаться вполне состоявшимся никак не ранее второй половины XV в. Внешним обнаружением факта этого достижения является составление около 1494 г. таким дюжинным заурядным математиком, как Лука Пачиуоло, свода почти всего, что получила Европа от арабов в области М., — свода, составленного главным образом по сочинениям Леонарда Пизанского. Таким образом в конце XV в. фаза усвоения арабской математической науки Западной Европой может считаться закончившейся. Еще более сильным подтверждением этого заключения является начатое с первых лет XVI в. итальянскими математиками Ферро, Тартальей, Карданом и Феррари вполне самостоятельное продолжение работ араб. математиков в области алгебры. В работах названных четырех математиков ученики арабов не только сравнялись с учителями, но и повели их дело дальше. Однако же, явившись таким образом самостоятельными деятелями на почве усвоенного ими в форме арабской М. арифметическо-алгебраического направления, западно-европейские математики все еще оставались слабыми и робкими учениками в отношении гораздо более зрелой и развитой греческой науки, с которой они теперь впервые стали лицом к лицу, после падения Византии. Ранее, в средние века, знакомство с некоторыми из этих произведений достигалось не непосредственно, а с помощью арабских и сделанных с них более или менее искаженных латинских переводов. Следствием такого изменения отношений Западной Европы к греческой науке было широкое развитие с самого начала XVI в. переводческой деятельности с греческого языка на латинский и даже на некоторые из новых языков. Но, к сожалению, в области М. эта деятельность сосредоточивалась главным образом в руках ученых типографов, не бывших специалистами по М. Из математиков в XVI столетии много занимались переводами Мавролик и Коммандин в Италии; Пельтье, или Пелетариус, во Франции, Вильгельм Гольцманн, или Ксиландер, Конрад Дазиподиус, Кристоф Клавиус в Германии. Сделавшееся путем этих переводов доступным Западной Европе содержание классических произведений греческих геометров усваивалось ее математиками очень медленно; вглубь же методов они совсем не могли проникнуть, так что поневоле должны были ограничиваться только крайне поверхностным знакомством с ними. Некоторые проблески самостоятельной мысли в духе греческой геометрии замечаются, в рассматриваемую эпоху, только у двух знаменитых художников, бывших в то же время и геометрами, у Леонардо да Винчи и у Альбрехта Дюрера. Менее заметными деятелями в той же области в течение XVI в. были в Италии: Георг Валла и Бенедетти; во Франции: Шарль де Бувелль, Жан Бютео и философ Петр Рамус; в Германии: Иоанн Вернер, Иоанн Рихтер, или Преториус, и Яков Кристман; в Голландии Симон Стевин и Адриен фан-Роомен.
Как и следовало ожидать, главная часть сил западно-европейской М. предалась работам в области арифметики и алгебры. За исследованиями, значительно раздвинувшими пределы последней, последовало ее приведение в стройную научную систему, впервые сделанное Рафаэлем Бомбелли и потребовавшее с его стороны некоторых дополнительных изысканий. В том же направлении углубления и разработки уже открытых частей алгебры очень много сделал Франсуа Виета. Особенно важное значение в философском и научном отношении должно быть признано за его трудами по установлению и развитию алгебраического знакоположения, результатом которых был переход последнего из предыдущего хаотического состояния в частную форму идейного письма, хотя еще и до сих пор не достигшую своего идеала, но все-таки постепенно к нему приближающуюся. Более заметными деятелями арифметическо-алгебраической литературы XVI в. были в Италии: Галигай и Габриель де Араторибус; во Франции: Николай Шюке, Этьен де ла Рош, Оронций Финеус, Жан Фернель и Иодокус Клихтовеус; на Пиренейском п-ове: Цируело, Жуан де Ортега и Педро Нунес; в Англии: Тонсталль и Роберт Рекорд; в Германии: Генрих Шрейбер, или Грамматеус, Христофф Рудольфф, Генрих Штромер, Петр Апиан, Филипп Меланхтон, Гемма Фризиус, Грегор Рейш, Хусвирт, Тцвифель, Яков Кобель, Адам Ризе, и самый выдающийся из германских алгебраистов XVI в., Михаил Штифель. Так как самостоятельные геометрические работы в духе и направлении греческих геометров совсем отсутствовали в Западной Европе, то все сколько-нибудь ценные вклады в науку геометрии доставлялись завещанной индусско-арабской наукой областью приложений алгебры к геометрии и такими их отделами, как циклометрия и тригонометрия. В общей области приложений обращают на себя внимание в XVI в. труды Франсуа Виеты, в отделе тригонометрии труды Петра Апиана, Иоанна Вернери, Ретикуса и Бартоломея Питискуса в Германии и Адриена фан Роомена в Голландии; в отделе циклометрии: Жозефа Скалигера во Франции; Людольфа фан Цейлен и Адргиена Меция в Голландии. Прогресс геометрии даже и в духе арифметическо-алгебраического направления совершался с большей медленностью до тех пор, пока философ и математик Рене Декарт не завершил в XVII веке предшествующую ему разработку приложений алгебры к геометрии, окончательным введением геометрии в круг наук, развивающихся с помощью алгебры, или, вообще говоря, анализа. В методах великого творения Декарта — "Аналитической геометрии" — и еще более в открытом вскоре Ньютоном и Лейбницем анализе бесконечно малых геометрия, хотя и на совершенно чуждой ей почве, нашла, наконец, методы, которых недоставало для дальнейшего развития даже в руках таких геометров, как Архимед. С этого времени развитие геометрии пошло быстро вперед, но не самостоятельным путем, при помощи средств, являющихся прямыми результатами ее природы, а путем, всецело принадлежащим чуждой области арифметическо-алгебраического направления, и при помощи средств, имеющих хотя и тесную, но все-таки побочную, непрямую связь с природой геометрии. Таким образом, западно-европейские математики сделались самостоятельными деятелями также и в закрытой для них до сих пор области геометрии, явившись продолжателями дела древних греческих геометров, хотя не по духу и средствам, а только по содержанию предмета. Работы, создавшие высший анализ, начались с допущенных математиками XVI в. отступлений от требований строгой очевидности, которыми Архимед обусловливал употребление метода исчерпывания. Наибольшего развития эти отступления достигли в гениальном сочинении астронома Кеплера: "Nova stereometria doliorum vinanorum etc." (Linc., 1605), во многом предугадавшем и даже предвосхитившем последующий ход развития. Следующими за тем ступенями развития, постепенно приближавшими высший анализ к превращению в анализ бесконечно-малых, представший Ньютону в форме метода флюксий, а Лейбницу в форме дифференциального интегрального исчислений, были: метод неделимых Кавалери, методы квадратур и кубатур Ферма, Роберваля, Паскаля и Валлиса, способы Роберваля и Барроу проведения касательной к кривым и, наконец, метод определения наибольших и наименьших величин Ферма и основанный на этом методе его же способ проведения касательной.
XVII в. ознаменовался также важными успехами практики вычислений, состоявшими во введении во всеобщее употребление Симоном Стевином десятичных дробей и в открытии логарифмов Иобстом Бюрги и Джоном Непером. Тому же веку принадлежит и заслуга создания, трудами Паскаля и Ферма, теории вероятностей, как самостоятельной науки. Этим же двум ученым наука обязана значительными успехами в области неопределенного анализа и теории чисел. Главным предметом деятельности математиков XVIII века было развитие созданного в прошлом столетии анализа бесконечно-малых и его приложений, преимущественно к геометрии и механике. В числе много различных результатов упомянутого развития заслуживают особенного внимания приведшие к созданию таких новых отраслей математического анализа, как вариационное исчисление и исчисление конечных разностей. Все важнейшие труды, как великих математиков эпохи, Эйлера и Лагранжа, так и всех сколько-нибудь выдающихся, были посвящены указанному главному предмету деятельности века. Но при этом они не забывали также и другие математические науки, которые все приобрели в XVIII в. более или менее значительные приращения. С точки зрения истории развития М. в Западной Европе, особенное значение в среде многоразличных успехов XVIII в. имеют сделанные в области разработки геометрии в исходящем из ее природы направлении древних греческих геометров, или, короче, в области синтетической геометрии. Увлеченные легкостью и быстротой открытия новых геометрических истин на почве аналитической геометрии и анализа бесконечно-малых, математики XVII и XVIII вв., за немногими счастливыми исключениями, не придавали должного значения тому, что разрабатывают геометрию на чуждой ей почве индусско-арабского арифметическо-алгебраического направления. Другими словами, они не обращали внимание на то, что все еще не овладели греч. наукой вполне. Только немногие из них, глубже других проникшие в последнюю, как Дезарг, Паскаль, делали несмелые попытки работать в одном с ней направлении. Такое, обусловливаемое ходом умственного развития, невольное игнорирование синтетич. геометрии продолжалось до конца XVIII в., когда наконец трудами Монжа, в созданной им "Начертательной геометрии", и Карно, в его "Геометрии положения", были даны средства ее развития. Последователям этих ученых, действовавшим уже в XIX в., Понселе, Штейнеру, Шалю и др., оставалось только, продолжая их дело далее, быстро повести развитие геометрии по новым для Западной Европы, чисто геометрическим путям. Только с этого времени усвоение западно-европейскими народами греческой геометрии может считаться закончившимся вполне, а сами они могут быть признаны взявшими в свои руки дальнейшее развитие М. во всех известных областях и направлениях. Выразившаяся в этом последнем успехе в деле усвоения знаний, приобретенных человечеством, полная зрелость математического гения народов Западной Европы ознаменовалась в XIX в. такими важными и быстрыми успехами всех отраслей М., которые совершенно затмевают все, сделанное в прошлом XVIII в., и для сколько-нибудь достаточного изображения которых предлагаемый очерк не может дать места.
Для России период самостоятельной деятельности в области М. начался с конца первой четверти XIX в., хотя, как это всегда бывало в соответствующих случаях и прежде, провозвестники его наступления, в виде работ академиков Румовского, Котельникова, Гурьева и Висковатова, появлялись еще в конце XVIII и в начале XIX вв. Само собой разумеется, что в качестве провозвестников, эти работы могли быть и были опытами самостоятельного решения различных частных вопросов, давно уже выдвинутых движением науки. После 1825 г. в геометрических трудах Лобачевского, только недавно оцененных по достоинству Западной Европой, и в работах по чистой и прикладной М. Остроградского и Чебышева, оценка которых, благодаря положению авторов, как членов СПб. акад. наук, и их связям в ученом мире, последовала гораздо скорее и выразилась в их избрании в число немногих иностранных членов Парижской академии наук, русская математическая наука получила общее признание в Западной Европе и заняла довольно видное положение. В последние 30 лет труды русских математиков не только охотно помещались в иностранных периодических изданиях, но нередко обращали на себя внимание Зап. Европы даже и в русском оригинале. Главными двигателями быстрого развития в России самостоятельной деятельности в области М., наряду с Академией наук, явились в последнее время возникшие при университетах математические общества. Первым основанным в России обществом этого рода было возникшее в 1811 г. при Моск. университете Общество математиков. Но, по условиям времени, оно могло преследовать не ученые, а только чисто учебные цели, выразившиеся в составлении и переводе учебников и в организации лекций по математическим наукам для желающих. Существование Общества было непродолжительно и закончилось вызванным тяжелыми обстоятельствами времени неожиданным превращением его в Училище колонновожатых. Появление ученых математических обществ сделалось возможным в России только в 1860-х гг., когда (в 1864 г.) было основано старейшее из них, Московское математическое общество. Затем были основаны: в 1879 г. Харьковское математическое общество, в 1869 г. Киевское физико-математическое общество, в 1890 г. Казанское физико-математическое общество и в 1894 г. СПб. математическое общество. Киевское и Казанское общества существовали, впрочем, и ранее в виде секций физико-математических наук при обществах естествоиспытателей тех же городов. Как на самый крупный из результатов деятельности этих обществ на пользу и преуспеяние русской математической науки, следует указать на издаваемые ими периодические издания и сборники своих протоколов и ученых трудов. В настоящее время органами русской математической литературы, кроме изданий Академии и ученых записок университетов, служат следующие периодич. издания частных лиц и ученых обществ. В Москве: "Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем", издаваемый В. В. Бобыниным и посвященные главным образом истории, философии и библиографии физико-математических наук (выходит XIII том); "Математич. Сборник" (см.), издав. Моск. математическим обществом (выходит XVIII том) и "Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания (выходит VIII том). В Казани: "Известия Физико-математического общества при Имп. Казанском университете" (выходит VI т.). В Харькове: "Сообщения Математического общества при Харьковском университете" (выходит V т. 2-й серии). В Одессе: "Вестник опытной физики и элементарной математики", популярно-научный журнал, издаваемый с 1886 г. (со второй половины) Э. К. Шпачинским. Заключать от этого сравнительного обилия периодических изданий, посвященных М., к существованию интереса к ее развитию в русском образованном обществе, было бы, однако, большой ошибкой. Такого интереса нет даже в меньшинстве, получившем высшее математическое образование, как это можно видеть не только из опыта редакций этих изданий, но и из того общеизвестного факта, что все эти издания, за исключением одного, существуют не на собственные доходы, а на субсидии правительства или на средства, доставляемые издающими их обществами.
В. Бобынин.
I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой.
Математика (греч. mathematike, от máthema — знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Сочинения, 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение М. наполняется всё более богатым содержанием.
Математика и другие науки. Приложения М. весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определённая математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций; с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнён математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математического исследования, в частности создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода.
Типичным примером полного господства математического метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их «материальными точками». Но решение возникающей здесь задачи движения n материальных точек под действием сил тяготения уже в случае n = 3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математического анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются в извлечении математических следствий из принятой схемы.
С переходом от механики к физике ещё не происходит заметного уменьшения роли математического метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математического аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании результатов, полученных математическим путём.
На примере ряда физических теорий можно наблюдать способность математического метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую. Классическим образцом может служить соотношение между макроскопической теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределённым непрерывно, и статистической теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определённому уравнению с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передаёт действительный ход явлений, поскольку дело идёт об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определённый смысл. Статистическая теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопических случайных перемещений диффундирующих частиц под действием молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математическая теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки времени и независимости перемещений частицы за два последовательных промежутка времени) получить определённые количественные следствия: определить (приближённо) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определённым, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на которых построена непрерывная теория. Приведённый пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (в примере — законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.
В биологических науках математический метод играет более подчинённую роль. В ещё большей степени, чем в биологии, математический метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках. Применение математического метода в биологических, социальных и гуманитарных науках осуществляется главным образом через кибернетику (См. Кибернетика) (см. Кибернетика биологическая, Кибернетика медицинская, Кибернетика экономическая). Существенным остаётся значение М. для социальных дисциплин (как и для биологических наук) в форме подсобной науки — математической статистики. В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого исторического этапа приобретают столь доминирующее положение, что математический метод часто отступает на задний план.
Математика и техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из исторического очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математических методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на запросы практики математического естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи М. с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математических теорий к техническим проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математических теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; изучение многих новых типов дифференциальных уравнений с частными производными впервые было начато с решения технических проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой и т. д. Из запросов связи возник новый раздел теории вероятностей — теория информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых разделов математической логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технические задачи. Целиком на технической почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактического получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технических проблем. В связи с возможностями, которые открыли вычислительные машины для решения практических задач, всё большее значение приобретают численные методы. Высокий уровень теоретической М. дал возможность быстро развить методы вычислительной математики (См. Вычислительная математика). Вычислительная М. сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практических проблем, включая проблему использования атомной энергии и космические исследования.
II. История математики до 19 века.
Ясное понимание самостоятельного положения М. как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6—5 веках до н. э. Развитие М. до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6—5 веку до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших ещё на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п. Первые задачи механики и физики [за исключением отдельных исследований греческого учёного Архимеда (3 век до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых] могли ещё удовлетворяться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17—18 веках систематически предъявляла М. свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии.
В 17 веке новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин в аналитической геометрии французского учёного Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.
Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., привело в начале 19 века к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание русским математиком Н. И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение М. столь важные новые черты, что М. в 19 и 20 веках естественно отнести к особому периоду современной математики.
1. Зарождение математики.Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления (См. Счисление)возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику (См. Арифметика). Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии (См. Геометрия). Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры (См. Алгебра), а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии (См. Тригонометрия).
Сохранившиеся математические тексты Древнего Египта (1-я половина 2-го тысячелетия до н. э.) состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, так как математической теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее, самый запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик (см. Папирусы математические).
Математических текстов, позволяющих судить о М. в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские Клинописные математические текстыохватывают период от 2-го тысячелетия до н. э. до возникновения и развития греческой М. Вавилония этого времени получила от более раннего шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятиричную систему счисления, заключавшую в себе уже позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. Кроме таблиц обратных чисел, имелись таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубических корней. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и некоторые начатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.
2. Период элементарной математики.Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов арифметических вычислений, способов определения площадей и объёмов и тому подобного возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематического развития её основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математической науки, в Древней Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Из арифметики постепенно вырастает Чисел теория. Создаётся систематическое учение о Величинах и измерении (См. Измерение). Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число) оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте.
Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у греческого математика Диофанта (вероятно, 3 век) и более систематически — в Индии в 7 веке, но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 веке французским математиком Ф. Виетом.
Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.
Период элементарной М. заканчивается (в Западной Европе в начале 17 века), когда центр тяжести математических интересов переносится в область М. переменных величин.
Древняя Греция. Развитие М. в Древней Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении техники проведения вычислений, искусства решения задач алгебраического характера и разработки математических средств астрономии лишь в эллинистическую эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже гораздо раньше М. в Древней Греции вступила в совершенно новый этап логического развития. Появилась потребность в отчётливых математических доказательствах, были сделаны первые попытки систематического построения математической теории. М., как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математические сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами).
Греки считали себя в области арифметики учениками финикиян, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли; начало же греческой геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет (7—6 век до н. э.) первых греческих геометров и философов Фалеса Милетского и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметические прогрессии [в частности, 1 + 3 + 5+ ... + (2n — 1) = n2], изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое), вопросы теории чисел (например, разыскание так называемых совершенных чисел) связываются в школе Пифагора с мистическим, магическим значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрической теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», то есть троек целых чисел, удовлетворяющих соотношению a2 + b2 = c2. В области геометрии задачи, которыми занимались греческие геометры 6—5 веков до н. э. после усвоения египетского наследства, также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, например, вопросы о соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника (выражаемом теоремой Пифагора), о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга (См. Квадратура круга), трисекции угла (См. Трисекция угла) и удвоении куба (См. Удвоение куба). Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближёнными, эмпирически найденными решениями, греческие геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой новой тенденции может служить доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й половине 5 века до н. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах. Здесь протекает основная деятельность Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского (См. Гиппократ Хиосский). Первый систематический учебник геометрии приписывают Гиппократу Хиосскому. К этому времени, несомненно, уже была создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая такими логическими тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и тому подобное. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое замечательное достижение геометрии 5 века до н. э. — разыскание всех пяти правильных Многогранников—результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания. На границе 5 и 4 веков до н. э. Демокрит, исходя из атомистических представлений, создаёт способ определения объёмов, послуживший позднее для Архимеда исходным пунктом разработки метода бесконечно малых. В 4 веке до н. э. в обстановке политической реакции и упадка могущества Афин наступает эпоха известного подчинения М. ограничениям, выдвинутым идеалистической философией. Наука о числах строго отделяется здесь от «искусства счисления», а геометрия — от «искусства измерения». Опираясь на существование несоизмеримых отрезков, площадей и объёмов, Аристотель налагает общий запрет на применение арифметики к геометрии. В самой геометрии вводится требование об ограничении построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки. Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 века до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логическому анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского (См. Евдокс Книдский).
Эллинистическая и римская эпоха.С 3 века до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математических исследований являлась Александрия. Здесь, в обстановке объединения различных мировых культур, больших государственных и строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке, греческая М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греческой образованности и научных интересов во всём эллинистическом и римском мире, Александрия с её «музеем», являвшимся первым научно-исследовательским институтом в современном смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей напряжённостью математического творчества отличается первый век александрийской эпохи (3 век до н. э.). Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфени Аполлоний Пергский.
В своих «Началах» Евклид собрал и подверг окончательной логической переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. «Начала» Евклида (См. Начала Евклида)). Вместе с тем в «Началах» же Евклид впервые заложил основы систематической теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Из геометрических работ Евклида, не вошедших в «Начала», и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории конических сечений (См. Конические сечения). Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (например, шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 веке до н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины; зачатки анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристических приёмах Архимеда, не получили дальнейшего развития. Следует сказать, что возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 века до н. э. к отказу от математической строгости. Все многочисленные приближённые извлечения корней и даже все астрономические вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств
где р — длина окружности с диаметром d. Это отчётливое понимание того, что приближённая М. не есть «нестрогая» М., было позднее надолго забыто.
Существенным недостатком всей М. древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Как уже было указано, это обстоятельство привело философию 4 века до н. э. к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрических величин. В действительности, в теории пропорций и в Исчерпывания методе математикам 4 и 3 веков до н. э. всё же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путём создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математической строгости. На этом этапе истории М. временный отказ от математической строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность беспрепятственного развития алгебры (допускавшейся в рамках строгих концепций евклидовых «Начал» лишь в чрезвычайно стеснительной форме «геометрической алгебры» отрезков, площадей и объёмов). Значительные успехи в этом направлении можно отметить в «Метрике» Герона. Однако самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраического исчисления встречается лишь в «Арифметике» Диофанта, посвященной в основном решению уравнений. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым возможность геометрических или механических приложений своей алгебры. Тригонометрия воспринимается в древнем мире в большой мере как часть астрономии, а не как часть М. К ней так же, как и к вычислительной геометрии Герона, не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх первый составил таблицы хорд, исполнявшие роль наших таблиц синусов. Начала сферической тригонометрии создаются Менелаем (См. Менелай) и Клавдием Птолемеем (См. Птолемей).
В области чистой М. деятельность учёных последних веков древнего мира (кроме Диофанта) всё более сосредоточивается на комментировании старых авторов. Труды учёных-комментаторов этого времени [Паппа (3 век), Прокла (5 век) и других], при всей их универсальности, не могли уже в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта, включенной в астрономию тригонометрии, и откровенно нестрогой вычислительной геометрии Герона в единую, способную к большому развитию науку.
Китай. Наличие у китайских математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраическим методам обнаруживает уже «Арифметика в девяти главах», составленная по более ранним источникам во 2—1 веках до н. э. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном. В этом сочинении описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач формулируется так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. В связи с календарными расчётами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (между 2 и 6 веками) и более полно Цинь Цзю-шао (13 век) дают изложенное на примерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач. Примером высокого развития вычислительных методов в геометрии может служить результат Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 века), который показал, что отношение длины окружности к диаметру лежит в пределах
3,1415926 <>
Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Геометрические задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я половина 7 века). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней было дано в работах математиков 13—14 веков Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-цзе.
Индия. Расцвет индийской М. относится к 5—12 векам (наиболее известны индийские математики Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара). Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление современной десятичной системы счисления и систематическое употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь «арабскими», не вполне выяснено. Второй, ещё более важной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 веке) получают самостоятельное значение. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.
Средняя Азия и Ближний Восток. Арабские завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому, что в течение 9—15 веков учёные Средней Азии, Ближнего Востока и Пиренейского полуострова пользовались арабским языком. Наука здесь развивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого международного общения и государственной поддержки больших научных начинаний. Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 веке деятельность Улугбека, который при своём дворе и обсерватории в Самарканде собрал более ста учёных и организовал долго остававшиеся непревзойдёнными астрономические наблюдения, вычисление математических таблиц и т. п.
В западноевропейской науке длительное время господствовало мнение, что роль «арабской культуры» в области М. сводится в основном к сохранению и передаче математикам Западной Европы математических открытий древнего мира и Индии. (Так, сочинения греческих математиков впервые стали известны в Западной Европе по арабским переводам.) В действительности вклад математиков, писавших на арабском языке, и в частности математиков, принадлежавших к народам современной советской Средней Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в развитие науки значительно больше.
В 1-й половине 9 века Мухаммед бен Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки. Термин «алгебра» производят от начала названия сочинения Хорезми «Аль-джебр», по которому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Омар Хайям систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как геометрические (при помощи конических сечений), так и приближённые численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Средней Азии и Ближнего Востока применяли в больших научных вычислениях по преимуществу шестидесятиричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии).
В связи с астрономическими и геодезическими работами большое развитие получила тригонометрия. Аль-Баттани ввёл в употребление тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс, Абу-ль-Вефа — все шесть тригонометрических функций, он же выразил словесно алгебраические зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через 10' с точностью до 1/604 и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для сферических треугольников. Насирэддин Туси достиг известного завершения разработки сферической тригонометрии, аль-Каши дал систематическое изложение арифметики десятичных дробей, которые справедливо считал более доступными, чем шестидесятиричные. В связи с вопросами извлечения корней аль-Каши сформулировал словесно формулу бинома Ньютона, указал правило образования коэффициентов 28-угольников, нашёл π с семнадцатью десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов аль-Каши дал весьма совершенный итерационный метод численного решения уравнений.
Западная Европа до 16 века. 12—15 века являются для западноевропейской М. по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот период, не приведший ещё к открытию особенно значительных новых математических фактов, общий характер европейской математической культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремительного развития М. в последующие века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой буржуазии итальянских городов привёл к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 веке первых латинских переводов греческих и арабских математических сочинений Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои «Книгу об абаке» (1202) и «Практику геометрии» (1220), излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. Эти книги имели большой успех. К концу рассматриваемой эпохи (с изобретением книгопечатания) учебники получают ещё более широкое распространение. Основными центрами теоретической научной мысли в это время становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретической дисциплины, а не только собрания практических правил для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин [английский математик Т. Брадвардин (1-я половина 14 века) и Н. Орем (середина 14 века)] и особенно во введении дробных (Н. Орем), отрицательных и нулевых [французский математик Н. Шюке (конец 15 века)] показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших и бесконечно малых величинах. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашёл отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных тригонометрических таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака Региомонтаном (И. Мюллером). Значительно совершенствуется математическая символика (см. Знаки математические). Развиваются научная критика и полемика. Поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в сочинении «Цветок» (около 1225), в котором собраны предложенные ему и блестяще решенные им задачи, доказал неразрешимость уравнения:х3 + 2x2 + 10x = 20 не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных иррациональностей (вида
Западная Европа в 16 веке. Этот век был первым веком превосходства Западной Европы над древним миром и Востоком. Так было в астрономии (открытие Н. Коперника) и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования Г. Галилея), так в целом обстоит дело и в М., несмотря на то, что в некоторых направлениях европейская наука ещё отстаёт от достижений среднеазиатских математиков 15 века и что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европейской М., возникают лишь в следующем, 17 веке. В 16 же веке казалось, что новая эра в М. начинается с открытием алгебраического решения уравнений третьей (С. Ферро, около 1515, и позднее и независимо Н. Тартальей (См. Тарталья), около 1530; об истории этих открытий см. Кардано формула) и четвёртой (Л. Феррари, 1545) степеней, которое считалось в течение столетий неосуществимым. Дж. Кардано исследовал уравнения третьей степени, открыв так называемый неприводимый случай, в котором действительные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу вычислений с комплексными числами. Дальнейшее развитие алгебра получила у Ф. Виета — основателя настоящего алгебраического буквенного исчисления (1591) (до него буквами обозначались лишь неизвестные). Учение о перспективе, развивавшееся в геометрии ещё ранее 16 века, излагается немецким художником А. Дюрером (1525). С. Стевин разработал (1585) правила арифметических действий с десятичными дробями.
Россия до 18 в. Математическое образование в России находилось в 9—13 веках на уровне наиболее культурных стран Восточной и Западной Европы. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. В 15—16 веках в связи с укреплением Русского государства и экономическим ростом страны значительно выросли потребности общества в математических знаниях. В конце 16 века и особенно в 17 веке появились многочисленные рукописные руководства по арифметике, геометрии, в которых излагались довольно обширные сведения, необходимые для практической деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства и пр.).
В Древней Руси получила распространение сходная с греко-византийской система числовых знаков, основанная на славянском алфавите (см. Славянские цифры). Славянская нумерация в русской математической литературе встречается до начала 18 века, но уже с конца 16 века эту нумерацию всё более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система.
Наиболее древнее известное нам математическое произведение относится к 1136 и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологическим расчётам, которые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математической части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени. Арифметические рукописи конца 16—17 веков содержат, помимо описания славянской и арабской нумерации, арифметические операции с целыми положительными числами, а также подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило и решение уравнений первой степени с одним неизвестным посредством правила ложного положения. Для целей практического использования общих правил в рукописях рассматривалось много примеров реального содержания, и излагался так называемый дощаный счет — прототип русских счётов (См. Счёты). Подобным же образом была построена и первая арифметическая часть знаменитой «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (См. Магницкий) (1703). В геометрических рукописях, в большинстве своём преследовавших также практические цели, содержалось изложение правил определения площадей фигур и объёмов тел, часто приближённых, использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.
3. Период создания математики переменных величин.
С 17 века начинается существенно новый период развития математики. «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление...» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Сочинения, 2 изд., т. 20, с. 573). Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения (см. Переменные и постоянные величины). Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие Функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям Предела, производной (См. Производная), Дифференциала и Интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения), и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определённых другого рода условиями, составляет предмет вариационного исчисления (См. Вариационное исчисление). Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.
Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения (См. Движение) и преобразования (См. Преобразование) фигур. Геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Например, в проективной геометрии (См. Проективная геометрия) одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к концу 18 века и началу 19 века. Гораздо раньше, с созданием в 17 веке аналитической геометрии (См. Аналитическая геометрия), принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраическими и аналитическими методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраических и аналитических фактов геометрически, например при графическом изображении функциональных зависимостей (см. Координаты).
Алгебра 17 и 18 веков в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравненияР(х) = 0 как функцию переменного х. Этот подход к делу позволил изучить вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближённого вычисления, в комплексной же области привёл французского математика Ж. Д’Аламбера к не вполне строгому, но для математиков 18 века достаточно убедительному доказательству «основной теоремы алгебры» о существовании у любого алгебраического уравнения хотя бы одного корня. Достижения «чистой» алгебры, не нуждающейся в заимствованных из анализа понятиях о непрерывном изменении величин, в 17—18 веках были тоже значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории делимости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное отделение собственно алгебраических фактов и методов от фактов и методов математического анализа типично лишь для более позднего времени (2-я половина 19 века — 20 век). В 17—18 веках алгебра в значительной мере воспринималась как первая глава анализа, в которой вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими.
Создание новой М. переменных величин в 17 веке было делом учёных передовых стран Западной Европы, в первую очередь И. Ньютона и Г. Лейбница. В 18 веке одним из основных центров научных математических исследований становится также Петербургская академия наук, где работал ряд крупнейших математиков того времени иностранного происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли) и постепенно складывается русская математическая школа, блестяще развернувшая свои исследования с начала 19 века.
17 век. Охарактеризованный выше новый этап развития М. органически связан с созданием в 17 веке математического естествознания, имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. На протяжении 17 века действительно глубокие и обширные математические исследования относятся лишь к двум областям естественных наук — к механике [Г. Галилей открывает законы падения тел (1632, 1638), И. Кеплер — законы движения планет (1609, 1619), И. Ньютон — закон всемирного тяготения (1687)] и к оптике [Г. Галилей (1609) и И. Кеплер (1611) сооружают зрительные трубы, И. Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, Х. Гюйгенс и Р. Гук — на основе волновой теории]. Тем не менее рационалистическая философия 17 века выдвигает идею универсальности математического метода (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц), придающую особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу философской, эпохи в развитии М.
Серьёзные новые математические проблемы выдвигают перед М. в 17 веке навигация (необходимость усовершенствования часового дела и создания точных хронометров), а также картография, баллистика, гидравлика. Авторы 17 века понимают и любят подчёркивать большое практическое значение М. Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, М. 17 века смогла подняться на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логические категории М., получали своё оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, например, реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.
Математические достижения 17 века начинаются открытием Логарифмов (Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614). В 1637 Р. Декарт публикует свою «Геометрию», содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные. В тесной связи с возможностью представить корни уравнения Р(х) = 0 точками пересечения кривой y = Р(х) с осью абсцисс в алгебре исследуются действительные корни уравнения любой степени (Р. Декарт, И. Ньютон, М. Ролль). Исследования П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе по существу приёмы дифференциального исчисления, но самые эти приёмы ещё не выделены и не развиты. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери(1635) «неделимых» метод (См. Неделимых метод), примененный ими к определению объёмов тел вращения и ряду других задач. Так, в геометрической форме были по существу созданы начала дифференциального и интегрального исчисления.
Параллельно развивается учение о бесконечных Рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрической прогрессии, изучил Дж. Валлис (1685). Н. Меркатор(1668) получил разложение In(1 + x) в степенной ряд. И. Ньютон нашёл (1665—69) формулу бинома для любого показателя, степенные ряды функций ex, sinx, arc sinx. В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 века (Дж. Валлис, Х. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и другие).
С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механических величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраического аппарата, продолжали быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров.
К последней трети 17 века относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрнутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682—86. В отношении же времени фактического получения основных результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665—66. «Анализ с помощью уравнений» И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи английским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность среди английских математиков. «Метод флюксий» — сочинение, в котором И. Ньютон дал вполне законченное систематическое изложение своей теории, — был написан в 1670—71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (так называемая формула Ньютона — Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона исходными понятиями являются понятия «флюенты» (переменной величины) и её «флюксий» (скорости её изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) И. Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, то есть сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнений; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференциального уравнения
dy/dx = f(x).
Такая точка зрения была вполне естественна для И. Ньютона как создателя математического естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования (см. Флюксий исчисление). Для Г. Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы — бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие «момента», стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрическими приложениями анализа, в которой принимали участие, кроме самого Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопитальи другие. Здесь создаётся современный стиль математической работы, при котором полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других учёных.
Кроме аналитической геометрии, развивается в тесной связи с алгеброй и анализом Дифференциальная геометрия, в 17 веке закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии главным образом в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Из других открытий 17 века следует отметить исследования по теории чисел (Б. Паскаль, П. Ферма); разработку основных понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения — открытием простейшей формы Больших чисел закона(Я. Бернулли, опубликован в 1713). Необходимо указать ещё на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673—74) первых счётных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практических последствий.
18 век. В начале 18 века общий стиль математических исследований постепенно меняется. Успех 17 века, обусловленный в основном новизной метода, создавался главным образом смелостью и глубиной общих идей, что сближало М. с философией. К началу 18 века развитие новых областей М., созданных в 17 веке, достигло того уровня, при котором дальнейшее продвижение вперёд стало требовать в первую очередь искусства в овладении математическим аппаратом и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений трудных задач. Из двух величайших математиков 18 века Л. Эйлер является наиболее ярким представителем этой виртуозной тенденции, а Ж. Лагранж, быть может, уступая Л. Эйлеру в количестве и разнообразии решенных задач, соединил блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для французской математической школы 2-й половины 18 века, тесно связанной с большим философским движением французских просветителей и материалистов. Увлечение необычайной силой аппарата математического анализа приводит, естественно, к вере в возможность его чисто автоматического развития, в безошибочность математических выкладок даже тогда, когда в них входят символы, лишённые смысла. Если при создании анализа бесконечно малых сказывалось неумение логически справиться с идеями, имевшими полную наглядную убедительность, то теперь открыто проповедуется право вычислять по обычным правилам лишённые непосредственно смысла математические выражения, не опираясь ни на наглядность, ни на какое-либо логическое оправдание законности таких операций. Из старшего поколения в эту сторону всё больше склоняется Г. Лейбниц, который в 1702 по поводу интегрирования рациональных дробей при помощи их разложения на мнимые выражения говорит о «чудесном вмешательстве идеального мира» и т. п. Более реалистически настроенный Л. Эйлер не говорит о чудесах, но воспринимает законность операций с мнимыми числами и с расходящимися рядами как эмпирический факт, подтверждаемый правильностью получаемых при помощи подобных преобразований следствий. Хотя работа по рациональному уяснению основ анализа бесконечно малых была начата, систематическое проведение логического обоснования анализа было осуществлено лишь в 19 веке.
Если виднейшие математики 17 века очень часто были в то же время философами или физиками-экспериментаторами, то в 18 веке научная работа математика становится самостоятельной профессией. Математики 18 века — это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математическими способностями, с быстро развивающейся академической карьерой (Л. Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, в возрасте 20 лет был приглашен адъюнктом в Петербургскую академию наук, 23 лет становится там же профессором, 39 лет — председателем физико-математического класса Берлинской академии наук; Ж. Лагранж — сын французского чиновника, 19 лет — профессор в Турине, 30 лет — председатель физико-математического класса Берлинской академии наук; П. Лаплас — сын французского крестьянина, 22 лет — профессор военной школы в Париже, 36 лет — член Парижской академии наук). При этом, однако, математическое естествознание (механика, математическая физика) и технические применения М. остаются в сфере деятельности математиков. Л. Эйлер занимается вопросами кораблестроения и оптики, Ж. Лагранж создаёт основы аналитической механики, П. Лаплас, считавший себя в основном математиком, также является крупнейшим астрономом и физиком своего времени и так далее.
М. 18 века обогатилась многими выдающимися результатами. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А. Лежандра теория чисел приобретает характер систематической науки. Ж. Лагранж дал (1769, опубликовано в 1771) общее решение неопределённых уравнений второй степени. Л. Эйлер установил (1772, опубликован в 1783) закон взаимности для квадратичных вычетов (См. Квадратичный вычет). Он же привлек (1737, 1748, 1749) для изучения простых чисел дзета-функцию (См. Дзета-функция), чем положил начало аналитической теории чисел.
При помощи разложений в непрерывные дроби Л. Эйлер доказал (1737, опубликовано в 1744) иррациональность е и e2, а И. Ламберт (1766, опубликовано в 1768) — иррациональность π. В алгебре Г. Крамер (1750) ввёл для решения систем линейных уравнений определители. Л. Эйлер рассматривал как эмпирически установленный факт существование у каждого алгебраического уравнения корня вида Муавра и Л. Эйлера, связывающие показательную и тригонометрическую функции комплексных аргументов, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, Дж. Стирлинг, Л. Эйлер и П. Лаплас заложили основы конечных разностей исчисления (См. Конечных разностей исчисление). Б. Тейлор открыл (1715) свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей 18 века, особенно у Л. Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Ж. Д’Аламбера начинается серьёзное изучение условий сходимости рядов. Л. Эйлер, Ж. Лагранж и особенно А. Лежандр заложили основы исследования эллиптических интегралов — первого вида неэлементарных функций, подвергнутого глубокому специальному изучению. Большое внимание уделялось дифференциальным уравнениям, в частности Л. Эйлер дал (1739, опубликован в 1743) первый метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами, Ж. Д’Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений, Ж. Лагранж и П. Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Л. Эйлер, Г. Монж и Ж. Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, а Л. Эйлер, Г. Монж и П. Лаплас — второго порядка. Специальный интерес представляет введение в анализ разложения функций в тригонометрические ряды, так как в связи с этой задачей между Л. Эйлером, Д. Бернулли, Ж. Д’Аламбером, Г. Монжем и Ж. Лагранжем развернулась полемика по вопросу о понятии функции, подготовившая фундаментальные результаты 19 века о соотношении между аналитическим выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в 18 веке, является вариационное исчисление, созданное Л. Эйлером и Ж. Лагранжем. А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас на основе отдельных достижений 17—18 веков заложили начала вероятностей теории (См. Вероятностей теория).
В области геометрии Л. Эйлер привёл к завершению систему элементарной аналитической геометрии. В работах Л. Эйлера, А. Клеро, Г. Монжа и Ж. Менье были заложены основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. И. Ламберт развил теорию перспективы, а Г. Монж придал окончательную форму начертательной геометрии (См. Начертательная геометрия).
Из приведённого обзора видно, что М. 18 века, основываясь на идеях 17 века, по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет М. был связан по преимуществу с деятельностью академий; университеты играли меньшую роль. Отдалённость крупнейших математиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с которой все они, начиная с Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, писали учебники и обширные, включающие отдельные исследования, трактаты.
III. Современная математика
Все созданные в 17 и 18 веках разделы математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 веках. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 века и в начале 19 века в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.
1. Расширение предмета математики
Накопленный в 17 и 18 веках огромный фактический материал привёл к необходимости углублённого логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрической интерпретации комплексных чисел (См. Комплексные числа) [датский землемер К. Вессель, 1799, и французский математик Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени (Н. Абель, 1824), разработка О. Коши основ теории функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание Н. И. Лобачевским (См. Лобачевский) (1826, опубликовано в 1829—30) и Я. Больяй (1832) неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 веков новых тенденций в развитии М.
Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в начале и середине 19 века центральное положение во всём математическом анализе.
Другим замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского (см. Лобачевского геометрия).
Можно привести ещё один пример того, как начавшийся в конце 18 века и 1-й половине 19 века пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее конкретных математических фактов нашёл во 2-й половине 19 века и в 20 веке мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп (См. Группа) ведёт своё начало с рассмотрения Ж. Лагранжем (1771) групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраических уравнений высших степеней. Э. Галуа (1830—32, опубликовано в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраических уравнений любой степени. В середине 19 века А. Кэли дал общее «абстрактное» определение группы. С. Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп (См. Непрерывная группа). И лишь после этого Е. С. Федоров (См. Фёдоров) (1890) и немецкий учёный А. Шёнфлис (1891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов; ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике.
В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного исчисления (См. Векторное исчисление) и тензорного исчисления (См. Тензорное исчисление). Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа (См. Функциональный анализ) и тесно связывается с потребностями современной физики.
Таким образом, в результате как внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» приведённое в начале статьи определение М. применимо и на новом, современном этапе её развития.
Существенная новизна начавшегося в 19 веке этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, например, введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приёмов сознательного и планомерного создания новых геометрических систем, новых «алгебр» с «некоммутативным» или даже «неассоциативным» умножением и так далее по мере возникновения в них потребности. Так, вопрос о том, не следует ли, например, ради анализа и синтеза того или иного типа релейно-контактных схем создать новую «алгебру» с новыми правилами действий, является не вызывающим особого удивления делом повседневной научно-технической практики. Но трудно переоценить важность той перестройки всего склада математического мышления, которая для этого должна была произойти в течение 19 века. С этой, идейной стороны наиболее значительным среди открытий начала 19 века явилось открытие неевклидовой геометрии Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была преодолена вера в незыблемость освященных тысячелетним развитием М. аксиом, была понята возможность создания существенно новых математических теорий путём правильно выполненной абстракции от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней логической необходимости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем всё более широкие, вполне конкретные применения.
Чрезвычайное расширение предмета М. привлекло в 19 веке усиленное внимание к вопросам её «обоснования», то есть критическому пересмотру её исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критическому рассмотрению логических приёмов, употребляемых при этих доказательствах. Работы по строгому обоснованию тех или иных отделов М. справедливо занимают значительное место в М. 19 и 20 веках. В применении к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приёмов дифференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большинстве учебников (даже чисто практического характера). Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практических потребностей математической теории запаздывает. Так в течение долгого времени уже на рубеже 19 и 20 веков было с операционным исчислением (См. Операционное исчисление), получившим весьма широкие применения в механике и электротехнике. Лишь с большим запозданием было построено логически безупречное изложение математической теории вероятностей. И в настоящее время ещё отсутствует строгое обоснование многих математических методов, широко применяемых в современной теоретической физике, где много ценных результатов получается при помощи «незаконных» математических приёмов.
Стандарт требований к логической строгости, остающийся господствующим в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий, сложился только к концу 19 века. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математической теории (см. Множеств теория, Аксиоматический метод). С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой некоторыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в её основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически строго построенной только в том случае, если при её развитии не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах, свойств изучаемых объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через эти последние.
Другую сторону строения любой математической теории освещает математическая Логика. Система аксиом в изложенном выше (теоретико-множественном) понимании лишь ограничивает извне область применений данной математической теории, указывая свойства подлежащей изучению системы объектов с отношениями, но не даёт никаких указаний относительно логических средств, при помощи которых эту математическую теорию придется развивать. Например, свойства системы натуральных чисел с точностью до изоморфизма задаются при помощи очень простой системы аксиом. Тем не менее решение вопросов, ответ на которые в принципе однозначно предопределён принятием этой системы аксиом, оказывается часто очень сложным: именно теория чисел изобилует давно поставленными и очень простыми по формулировке проблемами, не нашедшими и до настоящего времени решения. Возникает, естественно, вопрос о том, происходит ли это только потому, что решение некоторых просто формулируемых проблем теории чисел требует очень длинной цепи рассуждений, составленной из известных и уже вошедших в употребление элементарных звеньев, или же потому, что для решения некоторых проблем теории чисел необходимы существенно новые, не употреблявшиеся ранее приёмы логического вывода.
Современная математическая логика дала на этот вопрос определённый ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем теории чисел. Точнее, уже в пределах теории натуральных чисел можно сформулировать последовательность проблем p1, p2, ..., pn, ... такого рода, что для любой дедуктивной теории среди этих проблем найдётся неразрешимая в пределах данной теории (К. Гёдель). При этом под «дедуктивной теорией» понимается теория, которая развивается из конечного числа аксиом при помощи построения сколь угодно длинных цепей рассуждений, составленных из звеньев, принадлежащих к конечному числу фиксированных для данной теории элементарных способов логического вывода.
Таким образом было обнаружено, что понятие математической теории в смысле теории, охватываемой единой системой аксиом теоретико-множественного типа, существенно шире, чем логическое понятие дедуктивной теории: даже при развитии арифметики натуральных чисел неизбежно неограниченное обращение к существенно новым способам логических рассуждений, выходящим за пределы любого конечного набора стандартизированных приёмов.
Все те результаты, которые могут быть получены в пределах одной дедуктивной теории, могут быть также получены вычислением, производимым по данным раз навсегда правилам. Если для решения некоторого класса проблем даётся строго определённый рецепт их вычислительного решения, то говорят о математическом Алгоритме. С самого создания достаточно разработанной системы математических знаков проблемы построения достаточно общих и в то же время кратких алгоритмов занимали большое место в истории М. Но только в последние десятилетия в результате развития математической логики начала создаваться общая теория алгоритмов и «алгоритмической разрешимости» математических проблем. Практические перспективы этих теорий, по-видимому, весьма велики, особенно в связи с современным развитием вычислительной техники, позволяющей заменить сложные математические алгоритмы работой машин.
2. История математики в 19 веке и начале 20 века.
Начало и середина 19 века. В начале 19 века происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана ещё в 18 веке Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж. Д’Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут и математические запросы техники. В начале 19 века — это вопросы термодинамики паровых машин, технической механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики (См. Математическая физика) усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины века — К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. М. В. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных. В результате исследований по уравнениям математической физики в работах Дж. Стокса и других английских математиков возникает векторный анализ.
Несмотря на господствовавшее в естествознании начала 19 века механистическое убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. П. Лаплас и С. Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитический аппарат. П. Л. Чебышев даёт строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона больших чисел.
Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 века привлекают вопросы строгого обоснования анализа (О. Коши, 1821, 1823). Н. И. Лобачевский (1834) и, позднее, П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции как совершенно произвольного соответствия. В 1799 К. Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел.
На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. К. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы теории были заложены О. Коши, теория эллиптических функций была развита Н. Абелем и К. Якоби. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмического подхода 18 века, сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрических закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой О. Коши). Этот в известном смысле слова «качественный» и геометрический характер теории функций комплексного переменного ещё усиливается в середине 19 века у Б. Римана. Здесь оказывается, что естественным геометрическим носителем аналитической функции в случае её многозначности является не плоскость комплексного переменного, а так называемая риманова поверхность, соответствующая данной функции. К. Вейерштрасс достигает той же общности, что и Б. Риман, оставаясь на почве чистого анализа. Однако геометрические идеи Б. Римана оказываются в дальнейшем всё более определяющими весь стиль мышления в области теории функций комплексного переменного.
В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) П. Л. Чебышевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.
В алгебре после упомянутого доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (П. Руффини, Н. Абель) Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория). Задача общего абстрактного изучения групп ставится А. Кэли. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ К. Жордана в 70-х годах. От работ Э. Галуа и Н. Абеля берёт начало также понятие поля алгебраических чисел, приведшее к созданию новой науки — алгебраической теории чисел. На существенно новую ступень поднимается в 19 веке и разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых чисел. К. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышев получает (1848, 1850) основные результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел. П. Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых чисел в арифметических прогрессиях и т. д.
Дифференциальная геометрия поверхностей создаётся К. Гауссом (1827) и К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано, имело создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Параллельно развивалась, долгое время независимо от неевклидовой геометрии, проективная геометрия (Ж. Понселе, Я. Штейнер, К. Штаудт и другие), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Грасмансоздаёт аффинную и метрическую геометрию n-мерного векторного пространства.
Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия по существу также освобождается от неразрывной связи с геометрией Евклида: то, что поверхность лежит в трёхмерном евклидовом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Б. Риман создаёт (1854, опубликована 1866) концепцию n-мерного многообразия с метрической геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразий (см. Римановы геометрии (См. Риманова геометрия)). Б. Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразий.
Конец 19 века и начало 20 века. Лишь в начале 70-х годов 19 века Ф. Клейн находит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, которая окончательно устраняет сомнения в её непротиворечивости. Ф. Клейн подчиняет (1872) всё разнообразие построенных к этому времени «геометрий» пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В это же время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879—84 публикуются основные работы Г. Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете М., строении математической теории, роли аксиоматики и т. д. Широкое их распространение потребовало ещё нескольких десятилетий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 «Оснований геометрии» Д. Гильберта).
Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредоточивается на преодолении логических трудностей, возникших в общей теории множеств, и на исследовании строения математической теории и приёмов конструктивного решения математических задач средствами математической логики. Эти исследования возрастают в большой самостоятельный отдел М. — математическую логику. Основы математической логики создаются в 19 веке Дж. Булем (См. Буль), П. С. Порецким (См. Порецкий), Э. Шредером (См. Шрёдер), Г. Фреге, Дж. Пеано и другими. В начале 20 века в этой области получены большие достижения (теория доказательств (См. Доказательство) Д. Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л. Брауэром и его последователями).
Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не только по количеству работ, но также по совершенству и силе методов и окончательности результатов, получают в конце 19 века и в начале 20 века все разделы М., начиная с самого старого из них — теории чисел. Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. И. Золотарев (См. Золотарёв) и Д. Гильберт закладывают основы современной алгебраической теории чисел. Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа e, немецкий математик Ф. Линдеман в 1882 — числа π, Ж. Адамар(1896) и Ш. Ла Валле Пуссен (1896) завершают исследования П. Л. Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду. Г. Минковский вводит в теоретико-числовые исследования геометрические методы. В России работы по теории чисел после П. Л. Чебышева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков.
Центр тяжести алгебраических исследований переносится в её новые области: теорию групп, полей, колец и т. д. Многие из этих отделов алгебры получают глубокие применения в естествознании: в частности, теория групп — в кристаллографии, а позднее — в вопросах квантовой физики.
На границе между алгеброй и геометрией С. Ли создаёт (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы которой позднее проникают во все новые области М. и естествознания.
Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков главным образом под углом зрения изучения их логических и аксиоматических основ. Но основными отделами геометрии, привлекающими наиболее значительные научные силы, становятся дифференциальная и Алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трёхмерного пространства получает полное систематическое развитие в работах Э. Бельтрам (См. Бельтрами), Г. Дарбу и других. Позднее бурно развивается дифференциальная геометрия различных более широких (чем группа евклидовых движений) групп преобразований и особенно дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрических исследований, получившее мощный импульс к развитию с возникновением общей теории относительности, создано прежде всего работами Т. Леви-Чивита, Э. Картана и Г. Вейля (См. Вейль).
В связи с развитием более общих точек зрения теории множеств и теории функций действительного переменного теория аналитических функций (См. Аналитические функции) в конце 19 века лишается того исключительного положения ядра всего математического анализа, которое намечается для неё в начале и середине 19 века. Однако она продолжает не менее интенсивно развиваться как в соответствии со своими внутренними потребностями, так и из-за обнаруживающихся новых связей её с другими отделами анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно существенным в этом последнем направлении было выяснение роли конформных отображений (См. Конформное отображение) при решении краевых задач для уравнений с частными производными (например, задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изучении плоских течений идеальной жидкости и в задачах теории упругости.
Ф. Клейн и А. Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в которой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить уже упоминавшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А. Пуанкаре, Д. Гильберт и другие. Конформные отображения находят применение в аэромеханике (Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин).
В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного. Если ранее систематически изучались лишь функции, возникающие «естественно» из тех или иных специальных задач, то для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке). Исследования по теории функций действительного переменного привели к общим определениям понятий меры множества (См. Мера множества), измеримых функций (См. Измеримые функции) и Интеграла, играющих важную роль в современной М. Основы современной теории функций действительного переменного заложили математики французской школы (К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр), позднее ведущая роль переходит к русской и советской школе (см. Функций теория).
Помимо своего непосредственного интереса, теория функций действительного переменного оказала большое влияние на развитие многих других отделов М. Выработанные в её пределах методы оказались особенно необходимыми при построении основ функционального анализа. Если в отношении методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых в нём задач он примыкает непосредственно к классическому анализу и математической физике, становясь особенно необходимым (главным образом в форме операторов теории (См. Операторов теория)) в квантовой физике. Впервые сознательное выделение функционального анализа как особой ветви М. было произведено В. Вольтеррав конце 19 века. В качестве частей функционального анализа воспринимаются теперь возникшее много ранее вариационное исчисление и теория интегральных уравнений (См. Интегральные уравнения), систематическое построение которой было начато тем же В. Вольтерра и продолжено Э. Фредгольмом. Наиболее важный специальный случай операторов в гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство), основная роль которого выяснилась из работ Д. Гильберта по интегральным уравнениям, разрабатывается особенно интенсивно.
Наибольшее число задач, выдвигаемых перед М. естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с конечным числом степеней свободы), так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и другие). Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (А. Пуанкаре и другие), вопросы устойчивости (См. Устойчивость), особенно глубоко изученные А. М. Ляпуновым.
Качественная теория дифференциальных уравнений послужила А. Пуанкаре отправным пунктом для широкого продолжения лишь едва намеченных Б. Риманом исследований по топологии многообразий, особенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на самих себя. Здесь получили своё начало «комбинаторные», «гомологические» и «гомотопические» методы современной топологии (См. Топология). Другое направление в топологии возникло на почве теории множеств и функционального анализа и привело к систематическому построению теории общих топологических пространств.
Теория дифференциальных уравнений с частными производными ещё в конце 19 века получает существенно новый вид благодаря сосредоточению основного внимания на краевых задачах (См. Краевые задачи) и отказу от ограничения аналитическими краевыми условиями. Аналитическая теория, восходящая к О. Коши, К. Вейерштрассу и С. В. Ковалевской (См. Ковалевская), не теряет при этом своего значения, но несколько отступает на задний план, так как обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, то есть возможности приближённо найти решение, зная граничные условия тоже лишь приближённо, в то время как без этой возможности теоретическое решение не имеет практической ценности. Картина более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитической теории: краевые задачи, которые можно корректно ставить для разных типов дифференциальных уравнений, оказываются различными (см. Корректные и некорректные задачи). Наиболее надёжным путеводителем в выборе для каждого типа уравнений надлежащих краевых задач становится непосредственное обращение к соответствующим физическим представлениям (о распространении волн, течении тепла, диффузии и т. п.). Связанное с этим превращение теории дифференциальных уравнений с частными производными главным образом в теорию уравнений математической физики (См. Уравнения математической физики) имело большое положительное значение. Работы по отдельным типам уравнений математической физики справедливо составляют значительную часть всей математической продукции. После П. Дирихле и Б. Римана уравнениями математической физики занимались А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Дж. Рэлей, У. Томсон, К. Нейман, Д. Гильберт, а в России А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов и другие.
Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей. Если в начале 19 века главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в конце 19 века и в начале 20 века теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию статистической физики и механики и разработке аппарата математической статистики (См. Математическая статистика). Наиболее глубокие теоретические исследования по общим вопросам теории вероятностей в конце 19 века и в начале 20 века принадлежат русской школе (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов).
Практическое использование результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретического разбора задачи это часто оказывается совсем не лёгким делом. В конце 19 века и в начале 20 века Численные методы анализа выросли в самостоятельную ветвь М. Особенно большое внимание уделялось при этом методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и другие) и квадратурным формулам (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, В. А. Стеклов). Широкое развитие работ, требующих численных расчётов, привело к необходимости вычисления и публикации всё возрастающего количества таблиц математических (См. Таблицы математические).
Со 2-й половины 19 века начинается интенсивная разработка вопросов истории М.
По материалам статьи А. Н. Колмогорова из 2-го издания БСЭ.
Заключение. Выше были отмечены основные особенности современной М. (п. 1) и были перечислены (п. 2) основные направления исследований М. по разделам, как они сложились в начале 20 века. В значительной мере это деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие М. в 20 веке, особенно после окончания 2-й мировой войны 1939—45. Современное состояние М. и заслуги научных школ и отдельных учёных отражены в соответствующих статьях. См. Чисел теория, Алгебра, Логика, Геометрия, Топология, Функций теория, Функциональный анализ, Дифференциальные уравнения, Уравнения математической физики, Вероятностей теория, Математическая статистика, Вычислительная математика.
Потребности развития самой М., «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению целого ряда новых математических дисциплин (см., например, Алгоритмов теория, Информации теория, Игр теория, Операций исследование, см. также Кибернетика).
На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа (См. Комбинаторный анализ), графов теории (См. Графов теория), теории кодирования (См. Кодирование) возникла дискретная, или Конечная математика.
Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления (См. Оптимальное управление), близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях — к возникновению и развитию теории дифференциальных игр (См. Дифференциальные игры).
Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.
Советская М. занимает передовое место в мировой математической науке. Во многих направлениях работы советских учёных играют определяющую роль. Успехи дореволюционной русской М. были связаны с исследованиями отдельных выдающихся учёных и опирались на узкую базу. Научные математические центры имелись в немногих городах (Петербург, Москва, Казань, Харьков, Киев). При этом основные достижения были связаны с работой петербургской школы. После Великой Октябрьской социалистической революции ряд новых важных направлений возник в московской математической школе. В дореволюционной России основными центрами математических исследований являлись университеты (Петербургский, Московский, Казанский и другие). Развитие научных исследований в области М. и её приложений после 1917 было самым тесным образом связано с развитием и укреплением АН СССР; эти исследования в значительной мере сконцентрированы в математических институтах (См. Математические институты) АН СССР, АН союзных республик и ведущих университетах. Важной чертой развития М. в нашей стране является возникновение за годы Советской власти многочисленных научных школ в городах, где раньше не велось заметной работы в области М. Таковы математические школы в Тбилиси, Ереване, Баку, Вильнюсе, Ташкенте, Минске, Свердловске и других городах и созданная в 60-х годах научная школа в Академгородке, близ Новосибирска.
В зарубежных странах математические исследования ведутся как в математических институтах, так и в университетах (особенно в капиталистических странах).
Ещё на рубеже 17—18 веков появились первые Математические общества, имеющиеся сейчас во многих странах. Обзорные доклады о мировых достижениях математической науки и её приложений, а также сообщения о наиболее интересных работах отдельных учёных читаются и обсуждаются на происходящих раз в 4 года (начиная с 1898) международных математических конгрессах (См. Математические конгрессы). Организация и поощрение международного сотрудничества в области М., подготовка научных программ международных математических конгрессов и др. является задачей международного математического союза (См. Математический союз). Текущие математические исследования (а также информация о математической жизни в различных странах) публикуются в математических журналах (См. Математические журналы), общее число которых (начало 70-х годов 20 века) более 250.
Лит.: Философия и история математики. Колмогоров А. Н., Математика, в книге: Большая Советская энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954; Математика, её содержание, методы и значение, т. 1—3, М., 1956; Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, перевод с французского, 2 изд., М. — Л., 1938; его же. История математики в XVI и XVII веках, перевод с немецкого, 2 изд., М. — Л., 1938; Ван-дер-Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Греции, перевод с голландского, М., 1959; Кольман Э., История математики в древности, М., 1961; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, перевод с немецкого, 2 изд., М., 1966; его же, Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам..., перевод с немецкого, 2 изд., М. — Л., 1935; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, перевод с немецкого, ч. 1, М. — Л., 1937; Рыбников К. А., История математики, т. 1—2, М., 1960—63; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, перевод с французского, М., 1963; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, перевод с немецкого, 2 изд., М., 1969: История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970—72; Cantor М., Vorlesungen liber Geschichte der Mathematik, 3 Aufl., Bd 1—4, Lpz., 1907—13.
Обзоры и энциклопедии. Виноградов И. М., Математика и научный прогресс, в книге: Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; Математика. [Сборник статей], М. — Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917—1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. Сборник статей, М. — Л. 1948; Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957. Сборник статей, т. 1, М., 1959; Weyl H., A Half-century of mathematics, «American Mathematical Monthly», 1951, v. 58, № 8, p. 523—53; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1—5, М. — Л., 1951—66; Вебер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарной математики, перевод с немецкого, т. 1—3, 2 изд., Одесса, 1911—14; Enzykiopädie der mathematischen Wissenschaften, mit Einschiuss ihrer Anwendungen, Bd 1—6, Lpz., 1898—1934; тоже, 2 Aufl., Bd 1—, Lpz., 1950—; Encyclopedie des siences mathématiques pures et appliquées, t. 1—7, P. — Lpz., 1904—14; Mathematik, 6 Aufl., Lpz., 1971 (Kleine Enzykiopädie); Mathematisches Wörterbuch, 2 Aufl., Bd 1—2, В. — Lpz., 1962.
жен. наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. - чистая, занимается величинами отвлеченно; - прикладная, прилагает первую к делу, к предметам. Математика делится на арифметику и геометрию, первая располагает цифрами, вторая протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика (включающая в себе и алгебру) добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа. Прикладная математика, по предмету зовется: механикою, оптикою, геодезиею и пр. Математический, -тичный, к науке этой относящийся. Доказать что математически, цифрами, счислением, бесспорно, как дважды два. -тичность жен. свойство всего, что подлежит математике, цифры и величины. Математик муж. сведущий в науке этой.
МАТЕМА́ТИКА, -и, жен. Наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы. Высшая м. Прикладная м.
| прил. математический, -ая, -ое. Математическая задача. М. ум. (перен.: точный, ясный).
-и, ж.
Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Высшая математика. Элементарная математика.
[греч. μαθηματική]
МАТЕМА́ТИКА, математики, мн. нет, жен. (греч. mathematike). Цикл наук, изучающих величины и пространственные формы (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и т.д.). Чистая математика. Прикладная математика. Высшая математика.
ж.
1.
Научная дисциплина о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира.
отт. Учебный предмет, содержащий теоретические основы данной научной дисциплины.
отт. разг. Учебник, излагающий содержание данного учебного предмета.
2.
Точный, простой расчёт.
МАТЕМАТИКА (греч. mathematike - от mathema - наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. Потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию "пространств", весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь - вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.
МАТЕМАТИКА (от греческого mathema - знание, учение, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего нас мира. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней Греции в 6 - 5 вв. до нашей эры. Математика объединяет комплекс дисциплин: арифметика (теория чисел), алгебра, геометрия, математический анализ (дифференциальное исчисление и интегральное исчисление), теория множеств, теория вероятностей и многое другое. Математика характеризуется: а) высокой степенью абстрактности ее понятий (точки - без размеров, линии - без толщины, множества любых предметов и т.п.); б) высокой степенью их общности (например, в алгебре буква обозначает любое число, в математической логике рассматриваются произвольные высказывания и т.п.). Абстрактность и общность понятий математики позволяют один и тот же математический аппарат применять в различных науках.
матема́тика Через польск. matematyka или лат. mathematica (ars) из греч. μαθηματική.
жен. mathematics элементарная математика ≈ elementary mathematics чистая математика ≈ abstract mathematicsматемат|ика - ж. mathematics; высшая ~ higher mathematics; ~ический mathematical; ~ическое обеспечение software.
mathematics
f.mathematics
математикаMathematik
ж
Mathematik f
математика ж Mathematik f
mathématiques f pl
высшая математика — mathématiques supérieures
прикладная математика — mathématiques appliquées
matemática f, matemáticas f pl
вы́сшая матема́тика — matemáticas superiores
прикладна́я матема́тика — matemáticas aplicadas (mixtas)
чи́стая матема́тика — matemáticas puras
matematica
прикладная математика — matematica applicata
МАТЕМАТИКА, наука, изучающая свойства чисел, пространства и формы, а также делающая дедуктивные предположения по поводу абстрактных категорий. Часто делится на чистую математику, рассматривающую исключительно абстрактные доказательства аксиом, и на прикладную, чьими задачами является применение математики в процессах моделирования, в технике, физике, химии, биологии и экономике. Различие между двумя ветвями лежит в том, что для первой не нужны никакие наблюдения или данные из окружающего мира. Однако их нельзя и отделить друг от друга, потому что результаты теоретической математики часто находят практическое применение, а изучение реальных проблем нередко стимулирует теоретические поиски. Основные разделы чистой математики: ГЕОМЕТРИЯ, АЛГЕБРА, АНАЛИЗ. см. такжеАРИФМЕТИКА,ТРИГОНОМЕТРИЯ.
Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные конкретные интерпретации; например, соотношение 2 + 3 = 4 + 1 соответствует утверждению, что две и три книги составляют столько же книг, сколько четыре и одна. Любое соотношение типа 2 + 3 = 4 + 1, т.е. отношение между чисто математическими объектами без ссылки на какую бы то ни было интерпретацию из физического мира, называется абстрактным. Абстрактный характер математики позволяет использовать ее при решении самых разных проблем. Например, алгебра, рассматривающая операции над числами, позволяет решать задачи, выходящие за рамки арифметики. Более конкретным разделом математики является геометрия, основная задача которой - изучение размеров и форм объектов. Сочетание алгебраических методов с геометрическими приводит, с одной стороны, к тригонометрии (первоначально посвященной изучению геометрических треугольников, а теперь охватывающей значительно больший круг вопросов), а с другой стороны - к аналитической геометрии, в которой геометрические тела и фигуры исследуются алгебраическими методами. Существуют несколько разделов высшей алгебры и геометрии, обладающих более высокой степенью абстракции и не занимающихся изучением обычных чисел и обычных геометрических фигур; самая абстрактная из геометрических дисциплин называется топологией.
Математический анализ занимается изучением величин, изменяющихся в пространстве или во времени, и опирается на два основных понятия - функцию и предел, которые не встречаются в более элементарных разделах математики. Первоначально математический анализ состоял из дифференциального и интегрального исчислений, но теперь включает в себя и другие разделы. Различают две основные области математики - чистую математику, в которой акцент делается на дедуктивные рассуждения, и прикладную математику. Термин "прикладная математика" иногда относят к тем ветвям математики, которые созданы специально для того, чтобы удовлетворить запросы и требования науки, а иногда - к тем разделам различных наук (физики, экономики и т.п.), которые используют математику как средство решения своих задач. Многие распространенные заблуждения в отношении математики возникают в результате смешения этих двух толкований "прикладной математики". Арифметика может служить примером прикладной математики в первом смысле, а бухгалтерский учет - во втором. Вопреки широко распространенному мнению, математика продолжает быстро развиваться. Журнал "Математическое обозрение" ("Mathematical Review") публикует ежегодно ок. 8000 кратких резюме статей, содержащих последние результаты - новые математические факты, новые доказательства старых фактов и даже сведения о совершенно новых областях математики. Существующая ныне тенденция в математическом образовании заключается в стремлении познакомить учащихся с современными, более абстрактными математическими идеями на более ранних стадиях преподавания математики.
См. также МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ.
Математика - один из краеугольных камней цивилизации, однако очень немногие люди имеют представление о современном состоянии дел в этой науке. Математика за последние сто лет претерпела огромные изменения, касающиеся как предмета, так и методов исследования. В данной статье мы попытаемся дать общее представление об основных этапах эволюции современной математики, главными результатами которой можно считать, с одной стороны, увеличение разрыва между чистой и прикладной математикой, а с другой - полное переосмысление традиционных областей математики.
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА
Рождение математики. Около 2000 до н.э. было замечено, что в треугольнике со сторонами в 3, 4 и 5 единиц длины один из углов равен 90° (это наблюдение позволяло легко строить прямой угол для практических надобностей). Заметили ли тогда соотношение 52 = 32 + 42? Относительно этого мы не располагаем никакими сведениями. Через несколько веков было открыто общее правило: в любом треугольнике ABC с прямым углом при вершине A и сторонами b = АС и c = AB, между которыми заключен этот угол, и противолежащей ему стороной a = BC справедливо соотношение a2 = b2 + c2. Можно сказать, что наука начинается тогда, когда масса отдельных наблюдений объясняется одним общим законом; следовательно, открытие "теоремы Пифагора" можно рассматривать как один из первых известных примеров подлинно научного достижения.
Но еще более важное значение для науки вообще и для математики в частности имеет то, что наряду с формулировкой общего закона появляются попытки его доказать, т.е. показать, что он с необходимостью следует из других геометрических свойств. Одно из восточных "доказательств" особенно наглядно в своей простоте: четыре треугольника, равные данному, вписаны в квадрат BCDE так, как показано на чертеже. Площадь квадрата a2 оказывается разделенной на четыре равных треугольника общей площадью 2bc и квадрат AFGH площадью (b - c)2. Таким образом, a2 = (b - c)2 + 2bc = (b2 + c2 - 2bc) + 2bc = b2 + c2. Поучительно сделать еще один шаг и выяснить точнее, какие "предыдущие" свойства предполагаются известными. Наиболее очевидный факт заключается в том, что, поскольку треугольники BAC и BEF точно, без пробелов и наложения, "подогнаны" вдоль сторон BA и BF, это означает, что два угла при вершинах B и С в треугольнике ABС составляют вместе угол в 90° и поэтому сумма всех трех его углов равна 90° + 90° = 180°. В приведенном выше "доказательстве" используется также формула (bc/2) для площади треугольника ABC с углом в 90° при вершине A. Фактически были использованы и другие допущения, но и сказанного достаточно, чтобы мы могли наглядно увидеть существенный механизм математического доказательства - дедуктивное рассуждение, позволяющее с помощью чисто логических аргументов (на основе надлежащим образом подготовленного материала, в нашем примере - разбиения квадрата) вывести из известных результатов новые свойства, как правило, не следующие непосредственно из имеющихся данных.
Рис. 1.
Аксиомы и методы доказательства. Одной из фундаментальных особенностей математического метода является процесс создания с помощью тщательно выстроенных чисто логических аргументов цепочки утверждений, в которой каждое последующее звено соединено с предыдущими. Первое достаточно очевидное соображение состоит в том, что в любой цепочке должно быть первое звено. Это обстоятельство стало очевидно грекам, когда они приступили к систематизации свода математических аргументов в 7 в. до н.э. Для осуществления этого замысла грекам понадобилось ок. 200 лет, и сохранившиеся документы позволяют составить лишь примерное представление о том, как именно они действовали. Точной информацией мы располагаем лишь об окончательном результате исследований - знаменитых Началах Евклида (ок. 300 до н.э.). Евклид начинает с перечисления исходных положений, из которых все остальные выводятся чисто логическим путем. Эти положения называются аксиомами или постулатами (термины практически взаимозаменяемые); они выражают либо весьма общие и несколько расплывчатые свойства объектов любого рода, например "целое больше части", либо какие-то конкретные математические свойства, например, что для любых двух точек существует единственная соединяющая их прямая. У нас нет никакой информации и о том, придавали ли греки некий более глубокий смысл или значимость "истинности" аксиом, хотя существуют кое-какие намеки, что, прежде чем принять те или иные аксиомы, греки некоторое время их обсуждали. У Евклида и его последователей аксиомы представлены лишь как исходные пункты для построения математики без всяких комментариев об их природе. Что касается методов доказательства, то они, как правило, сводились к прямому использованию ранее доказанных теорем. Иногда, правда, логика рассуждений оказывалась более сложной. Мы упомянем здесь излюбленный метод Евклида, вошедший в повседневную практику математики, - косвенное доказательство, или доказательство от противного. В качестве элементарного примера доказательства от противного покажем, что шахматную доску, из которой вырезаны два угловых поля, расположенных на противоположных концах диагонали, невозможно покрыть костями домино, каждая из которых равна двум полям. (Предполагается, что каждое поле шахматной доски должно быть покрыто только один раз.) Предположим, что верно противоположное ("противное") утверждение, т.е. что доску можно покрыть костями домино. Каждая кость покрывает одно черное и одно белое поле, поэтому независимо от расположения костей домино они покрывают равное число черных и белых полей. Однако из-за того, что два угловых поля удалены, шахматная доска (на которой первоначально было столько же черных полей, сколько белых) имеет полей одного цвета на два больше, чем полей другого цвета. Это означает, что наше исходное предположение не может быть истинным, так как приводит к противоречию. А поскольку противоречащие друг другу суждения не могут быть ложными одновременно (если одно из них ложно, то противоположное истинно), наше исходное предположение должно быть истинным, ибо противоречащее ему предположение ложно; следовательно, шахматную доску с двумя вырезанными угловыми полями, расположенными по диагонали, невозможно покрыть костями домино. Итак, чтобы доказать некоторое утверждение, мы можем предположить, что оно ложно, и вывести из этого предположения противоречие с каким-нибудь другим утверждением, истинность которого известна. Прекрасный пример доказательства от противного, ставший одной из вех в развитии древнегреческой математики, - доказательство того, что - не рациональное число, т.е. непредставимо в виде дроби p/q, где p и q - целые числа. Если, то 2 = p2/q2, откуда p2 = 2q2. Предположим, что существуют два целых числа p и q, для которых p2 = 2q2. Иначе говоря, мы предполагаем, что существует целое число, квадрат которого вдвое больше квадрата другого целого числа. Если какие-нибудь целые числа удовлетворяют этому условию, то одно из них должно быть меньше всех других. Сосредоточим внимание на наименьшем из таких чисел. Пусть это будет число p. Так как 2q2 - четное число и p2 = 2q2, то число p2 должно быть четным. Так как квадраты всех нечетных чисел нечетны, а квадрат p2 четен, значит само число p должно быть четным. Иначе говоря, число p вдвое больше некоторого целого числа r. Так как p = 2r и p2 = 2q2, имеем: (2r)2 = 4r2 = 2q2 и q2 = 2r2. Последнее равенство имеет тот же вид, что и равенство p2 = 2q2, и мы можем, повторяя те же рассуждения, показать, что число q четно и что существует такое целое число s, что q = 2s. Но тогда q2 = (2s)2 = 4s2, и, поскольку q2 = 2r2, мы заключаем, что 4s2 = 2r2 или r2 = 2s2. Так мы получаем второе целое число, которое удовлетворяет условию, что его квадрат вдвое больше квадрата другого целого числа. Но тогда p не может быть наименьшим таким числом (поскольку r = p/2), хотя первоначально мы предполагали, что оно - наименьшее из таких чисел. Следовательно, наше исходное предположение ложно, так как приводит к противоречию, и поэтому не существует таких целых чисел p и q, для которых p2 = 2q2 (т.е. таких, что ). А это означает, что число не может быть рациональным. От Евклида до начала 19 в. На протяжении этого периода математика существенно преобразилась в результате трех новаций. (1) В процессе развития алгебры был изобретен способ символической записи, позволявший представлять в сокращенном виде все более сложные соотношения между величинами. В качестве примера тех неудобств, которые возникли бы, не будь такой "скорописи", попробуем передать словами соотношение (a + b)2 = a2 + 2ab + b2: "Площадь квадрата со стороной, равной сумме сторон двух данных квадратов, равна сумме их площадей вместе с удвоенной площадью прямоугольника, стороны которого равны сторонам данных квадратов". (2) Создание в первой половине 17 в. аналитической геометрии, давшей возможность любую задачу классической геометрии свести к некоторой алгебраической задаче. (3) Создание и развитие в период с 1600 по 1800 исчисления бесконечно малых, позволявшего легко и систематически решать сотни задач, связанных с понятиями предела и непрерывности, лишь очень немногие из которых были решены древнегреческими математиками. Более подробно эти ветви математики рассматриваются в статьях
АЛГЕБРА;
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ;
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ;
ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР. Начиная с 17 в. постепенно проясняется вопрос, который до тех пор оставался неразрешимым. Что такое математика? До 1800 ответ был достаточно простым. В то время четких границ между различными науками не существовало, математика была частью "натуральной философии" - систематического изучения природы методами, предложенными великими реформаторами эпохи Возрождения и начала 17 в. - Галилеем (1564-1642), Ф.Бэконом (1561-1626) и Р.Декартом (1596-1650). Считалось, что у математиков имеется своя собственная область исследования - числа и геометрические объекты и что математики не пользуются экспериментальным методом. Однако Ньютон и его последователи изучали механику и астрономию с помощью аксиоматического метода по аналогии с тем, как была изложена геометрия у Евклида. В более общем плане было признано, что любая наука, в которой результаты эксперимента представимы с помощью чисел или систем чисел, становится областью приложения математики (в физике это представление утвердилось лишь в 19 в.). Области экспериментальной науки, которые подверглись математической обработке, часто называют "прикладной математикой"; это очень неудачное название, так как ни по классическим, ни по современным стандартам в этих приложениях не существует (в строгом смысле) подлинно математических аргументов, поскольку в них предметом исследования являются нематематические объекты. После того как данные эксперимента переведены на язык чисел или уравнений (такой "перевод" зачастую требует большой находчивости со стороны "прикладного" математика), появляется возможность широкого применения математических теорем; затем результат подвергается обратному переводу и сравнивается с наблюдениями. То, что к процессу такого рода применяется термин "математика", служит одним из источников нескончаемых недоразумений. В "классические" времена, о которых сейчас идет речь, такого рода недоразумений не существовало, поскольку одни и те же люди являлись и "прикладными", и "чистыми" математиками, занимаясь одновременно и проблемами математического анализа или теории чисел, и проблемами динамики или оптики. Однако усилившаяся специализация и тенденция к обособлению "чистой" и "прикладной" математик значительно ослабили ранее существовавшую традицию универсальности, и ученые, которые, подобно Дж.фон Нейману (1903-1957), были способны вести активную научную деятельность как в прикладной, так и в чистой математике, стали скорее исключением, чем правилом. Какова природа математических объектов - чисел, точек, линий, углов, поверхностей и т.д., существование которых мы считали чем-то само собою разумеющимся? Что означает применительно к таким объектам понятие "истина"? На эти вопросы в классический период были даны вполне определенные ответы. Разумеется, ученые той эпохи отчетливо понимали, что в мире наших ощущений нет таких вещей, как "бесконечно протяженная прямая" или "не имеющая размеров точка" Евклида, как нет "чистых металлов", "монохроматического света", "теплоизолированных систем" и т.д., которыми оперируют в своих рассуждениях экспериментаторы. Все эти понятия - "платоновские идеи", т.е. своего рода порождающие модели эмпирических понятий, хотя и радикально иного характера. Тем не менее молчаливо предполагалось, что физические "образы" идей могут быть сколь угодно близки к самим идеям. В той мере, в какой вообще можно что-либо утверждать относительно близости объектов к идеям, говорят, что "идеи" являются, так сказать, "предельными случаями" физических объектов. С этой точки зрения, аксиомы Евклида и выводимые из них теоремы выражают свойства "идеальных" объектов, которым должны соответствовать предсказуемые экспериментальные факты. Например, измерение оптическими методами углов треугольника, образованного тремя точками в пространстве, в "идеальном случае" должно дать сумму, равную 180°. Иначе говоря, аксиомы поставлены на один уровень с физическими законами, и поэтому их "истинность" воспринимается так же, как истинность физических законов; т.е. логические следствия из аксиом подлежат проверке путем сравнения с экспериментальными данными. Разумеется, согласие можно достичь лишь в пределах ошибки, связанной и с "несовершенным" характером измерительного прибора, и "несовершенной природой" измеряемого объекта. Однако всегда предполагается, что если законы "истинны", то усовершенствования процессов измерения в принципе позволяют сделать ошибку измерения сколь угодно малой. На протяжении 18 в. находилось все больше подтверждений того, что все следствия, полученные из основных аксиом, в особенности в астрономии и механике, согласуются с данными экспериментов. А поскольку эти следствия получались с использованием существовавшего в то время математического аппарата, достигнутые успехи способствовали укреплению мнения об истинности аксиом Евклида, которая, как говорил Платон, "ясна каждому" и не подлежит обсуждению.
Сомнения и новые надежды. Неевклидова геометрия. Среди постулатов, приведенных Евклидом, один был настолько неочевиден, что даже первые ученики великого математика считали его слабым местом в системе Начал. Аксиома, о которой идет речь, утверждает, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Большинство геометров считали, что аксиому о параллельных можно доказать с помощью других аксиом и что Евклид сформулировал утверждение о параллельных как постулат просто потому, что ему не удалось придумать такое доказательство. Но, хотя лучшие математики пытались разрешить проблему параллельных, никому из них не удалось превзойти Евклида. Наконец, во второй половине 18 в. были предприняты попытки доказать постулат Евклида о параллельных от противного. Предположили, что аксиома о параллельных ложна. Априори постулат Евклида мог оказаться ложным в двух случаях: если через точку вне данной прямой невозможно провести ни одной параллельной; или если через нее можно провести несколько параллельных. Оказалось, что первая априорная возможность исключается другими аксиомами. Приняв вместо традиционной аксиомы о параллельных новую аксиому (о том, что через точку вне данной прямой можно провести несколько прямых, параллельных данной), математики пытались вывести из нее утверждение, противоречащее другим аксиомам, но потерпели неудачу: сколько они ни пытались извлекать следствий из новой "антиевклидовой", или "неевклидовой" аксиомы, противоречие так и не появилось. Наконец, независимо друг от друга Н.И.Лобачевский (1793-1856) и Я. Бойяи (1802-1860) поняли, что постулат Евклида о параллельных недоказуем, или, иначе говоря, в "неевклидовой геометрии" противоречие не появится. С появлением неевклидовой геометрии сразу же возникло несколько философских проблем. Поскольку претензия на априорную необходимость аксиом отпала, оставался единственный способ проверки их "истинности" - экспериментальный. Но, как позднее заметил А. Пуанкаре (1854-1912), в описании любого явления скрыто такое множество физических допущений, что ни один эксперимент не может дать убедительного доказательства истинности или ложности математической аксиомы. Кроме того, даже если допустить, что наш мир является "неевклидовым", следует ли из этого, что вся евклидова геометрия ложна? Насколько известно, ни один математик никогда не рассматривал такую гипотезу всерьез. Интуиция подсказывала, что и евклидова и неевклидова геометрии являются примерами полноценной математики.
Математические "монстры". Неожиданно к таким же выводам пришли совершенно с другой стороны - были открыты объекты, повергшие математиков 19 в. в шок и получившие название "математических монстров". Это открытие имеет непосредственное отношение к весьма тонким вопросам математического анализа, возникшим лишь в середине 19 в. Трудности возникли при попытке найти точный математический аналог экспериментальному понятию кривой. То, что было сутью понятия "непрерывного движения" (например, острия чертежного пера, движущегося по листу бумаги), подлежало точному математическому определению, и эта цель была достигнута, когда понятие непрерывности обрело строгий математический смысл (см. также КРИВАЯ). Интуитивно казалось, что "кривая" в каждой своей точке имеет как бы направление, т.е. в общем случае в окрестности каждой своей точки кривая ведет себя почти так же, как прямая. (С другой стороны, нетрудно представить, что кривая имеет конечное число угловых точек, "изломов", как многоугольник.) Это требование могло быть сформулировано математически, а именно, предполагалось существование касательной к кривой, и до середины 19 в. считалось, что "кривая" имеет касательную почти во всех своих точках, быть может, за исключением некоторых "особых" точек. Поэтому открытие "кривых", не имевших касательной в любой своей точке, вызвало настоящий скандал
(см. также ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ).
(Читатель, знакомый с тригонометрией и аналитической геометрией, может легко проверить, что кривая, задаваемая уравнением y = x sin (1/x), не имеет касательной в начале координат, но определить кривую, не имеющую касательной ни в одной своей точке, значительно сложнее.) Несколько позднее был получен куда более "патологический" результат: удалось построить пример кривой, которая полностью заполняет квадрат. С тех пор были изобретены сотни таких "монстров", противоречивших "здравому смыслу". Следует подчеркнуть, что существование столь необычных математических объектов следует из основных аксиом столь же строго и логически безупречно, как существование треугольника или эллипса. Поскольку математические "монстры" не могут соответствовать никакому экспериментальному объекту, и единственное возможное заключение состоит в том, что мир математических "идей" гораздо богаче и необычнее, чем можно было ожидать, и лишь очень немногие из них имеют соответствия в мире наших ощущений. Но если математические "монстры" логически следуют из аксиом, то можно ли по-прежнему считать аксиомы истинными?
Новые объекты. Приведенные выше результаты получили подтверждение еще с одной стороны: в математике, главным образом в алгебре, один за другим стали возникать новые математические объекты, представлявшие собой обобщения понятия числа. Обычные целые числа достаточно "интуитивны", и придти к экспериментальному понятию дроби совсем не трудно (хотя нельзя не признать, что операция деления единицы на несколько равных частей и выбор нескольких из них по своей природе отличаются от процесса счета). После того как выяснилось, что число непредставимо в виде дроби, греки были вынуждены рассматривать иррациональные числа, корректное определение которых с помощью бесконечной последовательности приближений рациональными числами принадлежит к наивысшим достижениям человеческого разума, но вряд ли соответствует чему-нибудь реальному в нашем физическом мире (где любое измерение неизменно сопряжено с ошибками). Тем не менее введение иррациональных чисел происходило более или менее в духе "идеализации" физических понятий. А что сказать об отрицательных числах, которые медленно, встречая большое сопротивление, стали входить в научный обиход в связи с развитием алгебры? Со всей определенностью можно утверждать, что не было никаких готовых физических объектов, отправляясь от которых мы с помощью процесса прямой абстракции могли бы выработать понятие отрицательного числа, и в преподавания элементарного курса алгебры приходится вводить множество вспомогательных и достаточно сложных примеров (ориентированные отрезки, температуры, долги и т.д.), чтобы пояснить, что такое отрицательные числа. Такое положение очень далеко от понятия, "ясного каждому", как того требовал Платон от идей, лежащих в основе математики, и нередко приходится встречать выпускников колледжей, для которых все еще остается загадкой правило знаков (-a)(-b) = ab. См. также ЧИСЛО. Еще хуже обстоит дело с "мнимыми", или "комплексными" числами, поскольку в них входит "число" i, такое, что i2 = -1, что является явным нарушением правила знаков. Тем не менее математики с конца 16 в. не колеблясь производят вычисления с комплексными числами, как если бы они "имели смысл", хотя 200 лет назад не могли дать определения этих "объектов" или интерпретировать их с помощью какой-либо вспомогательной конструкции, как, например, были интерпретированы с помощью направленных отрезков отрицательные числа. (После 1800 было предложено несколько интерпретаций комплексных чисел, самая известная - с помощью векторов на плоскости.)
Современная аксиоматика. Переворот произошел во второй половине 19 в. И хотя он не сопровождался принятием официальных заявлений, в действительности речь шла именно о провозглашении своего рода "декларации независимости". Конкретнее - о провозглашении де факто декларации независимости математики от внешнего мира. С этой точки зрения, математические "объекты", если вообще имеет смысл говорить об их "существовании", - чистое порождение разума, и имеют ли они какие-нибудь "соответствия" и допускают ли какую-нибудь "интерпретацию" в физическом мире, для математики несущественно (хотя сам по себе этот вопрос интересен). "Истинные" утверждения о таких "объектах" - все те же логические следствия из аксиом. Но теперь аксиомы следует рассматривать как совершенно произвольные, и поэтому отпадает необходимость в их "очевидности" или выводимости из повседневного опыта посредством "идеализации". На практике полная свобода ограничена разного рода соображениями. Разумеется, "классические" объекты и их аксиомы остаются без изменений, но теперь их нельзя считать единственными объектами и аксиомами математики, и в повседневную практику вошла привычка выбрасывать или переделывать аксиомы так, чтобы была возможность использовать их различными способами, как это было сделано при переходе от евклидовой геометрии к неевклидовой. (Именно таким образом были получены многочисленные варианты "неевклидовых" геометрий, отличных от евклидовой геометрии и от геометрии Лобачевского - Бойяи; например, имеются неевклидовы геометрии, в которых не существует параллельных прямых.) Хотелось бы особенно подчеркнуть одно обстоятельство, следующее из нового подхода к математическим "объектам": все доказательства должны опираться исключительно на аксиомы. Если мы вспомним об определении математического доказательства, то подобное высказывание может показаться повтором. Однако это правило редко соблюдалось в классической математике из-за "интуитивной" природы ее объектов или аксиом. Даже в Началах Евклида, при всей их кажущейся "строгости", многие аксиомы не формулируются явно и многие свойства либо молчаливо предполагаются, либо вводятся без достаточного обоснования. Чтобы поставить евклидову геометрию на прочную основу, понадобился критический пересмотр самих ее начал. Вряд ли стоит говорить о том, что педантичный контроль за мельчайшими деталями доказательства является следствием появления "монстров", научивших современных математиков соблюдать крайнюю осторожность в выводах. Самое безобидное и "самоочевидное" утверждение о классических объектах, например утверждение о том, что кривая, соединяющая точки, расположенные по разные стороны от прямой, непременно пересекает эту прямую, в современной математике требует строгого формального доказательства. Возможно, покажется парадоксальным утверждение, что именно из-за своей приверженности аксиомам современная математика служит наглядным примером того, какой должна быть любая наука. Тем не менее такой подход иллюстрирует характерную особенность одного из наиболее фундаментальных процессов научного мышления - получения точной информации в ситуации неполного знания. Научное исследование некоторого класса объектов предполагает, что особенности, позволяющие отличать одни объекты от других, умышленно предаются забвению, а сохраняются лишь общие черты рассматриваемых объектов. То, что выделяет математику из общего ряда наук, заключается в неукоснительном следовании этой программе во всех ее пунктах. Считается, что математические объекты полностью определены аксиомами, используемыми в теории этих объектов; или, по словам Пуанкаре, аксиомы служат "замаскированными определениями" тех объектов, к которым они относятся.
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Хотя теоретически возможно существование любых аксиом, до настоящего времени было предложено и исследовано лишь небольшое число аксиом. Обычно в ходе развития одной или нескольких теорий замечают, что какие-то схемы доказательства повторяются в более или менее аналогичных условиях. После того как свойства, используемые в общих схемах доказательств, обнаружены, их формулируют в виде аксиом, а следствия из них выстраивают в общую теорию, не имеющую прямого отношения к тем конкретным контекстам, из которых были абстрагированы аксиомы. Получаемые при этом общие теоремы применимы к любой математической ситуации, в которой существуют системы объектов, удовлетворяющие соответствующим аксиомам. Повторяемость одних и тех же схем доказательства в различных математических ситуациях свидетельствует о том, что мы имеем дело с различными конкретизациями одной и той же общей теории. Это означает, что после соответствующей интерпретации аксиомы этой теории в каждой ситуации становятся теоремами. Любое свойство, выводимое из аксиом, будет справедливо во всех этих ситуациях, но необходимость в отдельном доказательстве для каждого случая отпадает. В таких случаях говорят, что математические ситуации обладают одной и той же математической "структурой". Мы пользуемся представлением о структуре на каждом шагу в нашей повседневной жизни. Если термометр показывает 10° С и бюро прогнозов предсказывает повышение температуры на 5° С, мы без всяких вычислений ожидаем температуру в 15° С. Если книга открыта на 10-й странице и нас просят заглянуть на 5 страниц дальше, мы не колеблясь открываем ее на 15-й странице, не отсчитывая промежуточных страниц. В обоих случаях мы полагаем, что сложение чисел дает правильный результат независимо от их интерпретации - в виде температуры или номеров страниц. Нам нет нужды учить одну арифметику для термометров, а другую - для номеров страниц (хотя мы пользуемся особой арифметикой, имея дело с часами, в которой 8 + 5 = 1, так как часы обладают другой структурой, чем страницы книги). Интересующие математиков структуры отличаются несколько более высокой сложностью, в чем нетрудно убедиться на примерах, разбору которых посвящены два следующих раздела данной статьи. В одном из них речь пойдет о теории групп и математических понятиях структур и изоморфизмов.
Теория групп. Чтобы лучше понять процесс, обрисованный выше в общих чертах, возьмем на себя смелость заглянуть в лабораторию современного математика и присмотреться к одному из его основных инструментов - теории групп
(см. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ).
Группой называется набор (или "множество") объектов G, на котором определена операция, ставящая в соответствие любым двум объектам или элементам a, b из G, взятым в указанном порядке (первым - элемент a, вторым - элемент b), третий элемент c из G по строго определенному правилу. Для краткости обозначим этот элемент a*b; звездочка (*) означает операцию композиции двух элементов. Эта операция, которую мы назовем групповым умножением, должна удовлетворять следующим условиям: (1) для любых трех элементов a, b, c из G выполняется свойство ассоциативности: a* (b*c) = (a*b) *c; (2) в G существует такой элемент e, что для любого элемента a из G имеет место соотношение e*a = a*e = a; этот элемент e называется единичным или нейтральным элементом группы; (3) для любого элемента a из G найдется такой элемент a', называемый обратным или симметричным к элементу a, что a*a' = a'*a = e. Если эти свойства принять за аксиомы, то логические следствия из них (независимые от каких-либо других аксиом или теорем) в совокупности образуют то, что принято называть теорией групп. Вывести раз и навсегда эти следствия оказалось очень полезно, поскольку группы широко применяются во всех разделах математики. Из тысяч возможных примеров групп выберем лишь несколько наиболее простых. (а) Дроби p/q, где p и q - произвольные целые числа і1 (при q = 1 мы получаем обыкновенные целые числа). Дроби p/q образуют группу относительно группового умножения (p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Свойства (1), (2), (3) следуют из аксиом арифметики. Действительно, [[(p/q) *(r/s)]] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)*[[(r/s)*(t/u)]]. Единичным элементом служит число 1 = 1/1, так как (1/1)*(p/q) = (1*p)/(1*q) = p/q. Наконец, элементом, обратным к дроби p/q, является дробь q/p, так как (p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.
(b) Рассмотрим в качестве G набор из четырех целых чисел 0, 1, 2, 3, а в качестве a*b - остаток от деления a + b на 4. Результаты таким образом введенной операции представлены в табл. 1 (элемент a*b стоит на пересечении строки a и столбца b). Нетрудно проверить, что свойства (1)-(3) выполняются, а единичным элементом служит число 0.
Таблица 1.
(с) Выберем в качестве G набор чисел 1, 2, 3, 4, а в качестве a*b - остаток от деления ab (обычного произведения) на 5. В результате получим табл. 2. Легко проверить, что свойства (1)-(3) выполняются, а единичным элементом служит 1.
Таблица 2.
(d) Четыре объекта, например четыре числа 1, 2, 3, 4, можно расположить в ряд 24 способами. Каждое расположение можно наглядно представить как преобразование, переводящее "естественное" расположение в заданное; например, расположение 4, 1, 2, 3 получается в результате преобразования S: 1 -> 4, 2 -> 1, 3 -> 2, 4 -> 3,
которое можно записать в более удобном виде
Для любых двух таких преобразований S, T мы определим S*T как преобразование, которое получится в результате последовательного выполнения Т, а затем S. Например, если
, и, следовательно, T*S отличается от S*T. Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят, среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов. Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р, а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.>>>>>">
. Нетрудно заметить, что в первых трех примерах a*b = b*a; в таких случаях говорят, что группа или групповое умножение коммутативны. С другой стороны, в последнем примере
, и, следовательно, T*S отличается от S*T. Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят, среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов. Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р, а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.>>>>">
, то
, и, следовательно, T*S отличается от S*T. Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят, среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов. Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р, а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.>>>">
, а элемент, обратный к S, получается при замене стрелок в определении S на противоположные; например, если
, и, следовательно, T*S отличается от S*T. Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят, среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов. Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р, а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.>>">
. При таком определении все 24 возможных преобразования образуют группу; ее единичным элементом служит
, и, следовательно, T*S отличается от S*T. Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят, среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов. Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р, а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.>">
, и, следовательно, T*S отличается от S*T. Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят, среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов. Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р, а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.">
,
, и, следовательно, T*S отличается от S*T. Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят, среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов. Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р, а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.
Структуры и изоморфизм. Предыдущие примеры показывают, сколь разнообразной может быть природа объектов, образующих группу. Но на самом деле в каждом случае все сводится к одному и тому же сценарию: из свойств множества объектов мы рассматриваем лишь те, которые превращают это множество в группу (пример неполноты знания). В таких случаях говорят, что мы рассматриваем групповую структуру, заданную выбранным нами групповым умножением. Еще один пример структуры - т.н. структура порядка. Множество E наделено структурой порядка, или упорядочено, если между элементами a и b, принадлежащими E, задано некоторое отношение, которое мы обозначим R (a,b). (Такое отношение должно иметь смысл для любой пары элементов из Е, но в общем случае оно ложно для одних пар и истинно для других, например, отношение 7 < 3 ложно для пары чисел 3 и 7, а отношение 3 < 7 для той же пары чисел истинно.) Отношение обладает следующими свойствами: (1) R (a,a) истинно для каждого а, принадлежащего Е; (2) из R (a,b) и R (b,a) следует, что a = b;
(3) из R (a,b) и R (b,c) следует R (a,c).
Приведем несколько примеров из огромного числа разнообразных упорядоченных множеств. (а) E состоит из всех целых чисел, R (a,b) - отношение "а меньше или равно b". (b) Е состоит из всех целых чисел >1, R (a,b) - отношение "а делит b или равно b". (c) Е состоит из всех кругов на плоскости, R (a,b) - отношение "круг a содержится в b или совпадает с b". В качестве последнего примера структуры упомянем структуру метрического пространства; такая структура задается на множестве Е, если каждой паре элементов a и b, принадлежащих E, можно поставить в соответствие число d (a,b) і 0, удовлетворяющее следующим свойствам: (1) d (a,b) = 0 в том и только том случае, когда a = b;
(2) d (b,a) = d (a,b);
(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) для любых трех заданных элементов a, b, c из E. Приведем примеры метрических пространств: (a) обычное "трехмерное" пространство, где d (a,b) - обычное (или "евклидово") расстояние; (b) поверхность сферы, где d (a,b) - длина наименьшей дуги круга, соединяющей две точки a и b на сфере; (c) любое множество E, для которого d (a,b) = 1, если a № b; d (a,a) = 0 для любого элемента a. Точное определение понятия структуры довольно сложно. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что на множестве Е задана структура определенного типа, если между элементами множества Е (а иногда и другими объектами, например числами, которые играют вспомогательную роль) заданы отношения, удовлетворяющие некоторому фиксированному набору аксиом, характеризующему структуру рассматриваемого типа. Выше мы привели аксиомы трех типов структур. Разумеется, существуют многие другие типы структур, теории которых полностью разработаны. С понятием структуры тесно связаны многие абстрактные понятия; назовем лишь одно из наиболее важных - понятие изоморфизма. Вспомним пример групп (b) и (c), приведенных в предыдущем разделе. Нетрудно проверить, что от табл. 1 к табл. 2 можно перейти с помощью соответствия 0 -> 1, 1 -> 2, 2 -> 4, 3 -> 3. В этом случае мы говорим, что данные группы изоморфны. В общем случае две группы G и G' изоморфны, если между элементами группы G и элементами группы G' можно установить такое взаимно однозначное соответствие a <-> a', что если c = a*b, то c' = a'*b' для соответствующих элементов G'. Любое утверждение из теории групп, справедливое для группы G, остается в силе и для группы G', и наоборот. Алгебраически группы G и G' неразличимы. Читатель без труда убедится, что точно так же можно определить два изоморфных упорядоченных множества или два изоморфных метрических пространства. Можно показать, что понятие изоморфизма распространяется на структуры любого типа.
КЛАССИФИКАЦИЯ
Старая и новая классификации математики. Понятие структуры и связанные с ним другие понятия заняли в современной математике центральное место как с чисто "технической", так и с философской и методологической точек зрения. Общие теоремы основных типов структур служат чрезвычайно мощными инструментами математической "техники". Всякий раз, когда математику удается показать, что изучаемые им объекты удовлетворяют аксиомам определенного типа структур, он тем самым доказывает, что все теоремы теории структуры этого типа применимы к конкретным объектам, изучением которых он занимается (без этих общих теорем он, весьма вероятно, упустил бы из виду конкретные их варианты или был бы вынужден обременять свои рассуждения излишними допущениями). Аналогично, если доказано, что две структуры изоморфны, то число теорем немедленно удваивается: каждая теорема, доказанная для одной из структур, сразу же дает соответствующую теорему для другой. Неудивительно поэтому, что существуют весьма сложные и трудные теории, например "теория поля классов" в теории чисел, главная цель которых - доказательство изоморфизма структур. С философской точки зрения, широкое использование структур и изоморфизмов демонстрирует основную особенность современной математики - то обстоятельство, что "природа" математических "объектов" не имеет особого значения, значимы лишь отношения между объектами (разновидность принципа неполноты знания). Наконец, нельзя не упомянуть о том, что понятие структуры позволило по-новому классифицировать разделы математики. До середины 19 в. они различались в соответствии с предметом исследования. Арифметика (или теория чисел) имела дело с целыми числами, геометрия - с прямыми, углами, многоугольниками, окружностями, площадями и т.д. Алгебра занималась почти исключительно методами решения численных уравнений или систем уравнений, аналитическая геометрия разрабатывала методы преобразования геометрических задач в эквивалентные алгебраические задачи. Круг интересов еще одного важнейшего раздела математики, получившего название "математический анализ", включал в основном дифференциальное и интегральное исчисления и различные их приложения к геометрии, алгебре и даже теории чисел. Количество этих приложений увеличивалось, возрастало и их значение, что привело к дроблению математического анализа на подразделы: теорию функций, дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных), дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и т.д. Для многих современных математиков такой подход напоминает историю классификации животных: когда-то и морская черепаха, и тунец считались рыбами, поскольку обитали в воде и имели сходные черты. Современный подход научил нас видеть не только то, что лежит на поверхности, но и заглядывать глубже и пытаться распознавать фундаментальные структуры, лежащие за обманчивой внешностью математических объектов. С этой точки зрения, значение имеет исследование наиболее важных типов структур. Вряд ли в нашем распоряжении имеется полный и окончательный список этих типов; некоторые из них были открыты в последние 20 лет, и есть все основания ожидать в будущем новых открытий. Однако мы уже имеем представление о многих основных "абстрактных" типах структур. (Они "абстрактны" по сравнению с "классическими" объектами математики, хотя и те вряд ли можно назвать "конкретными"; дело скорее в степени абстракции.) Известные структуры можно классифицировать по входящим в них отношениям или по их сложности. С одной стороны, существует обширный блок "алгебраических" структур, частным случаем которых является, например, групповая структура; среди других алгебраических структур назовем кольца и поля
Раздел математики, занимающийся изучением алгебраических структур, получил название "современной алгебры" или "абстрактной алгебры", в отличие от обычной, или классической, алгебры. Значительная часть евклидовой геометрии, неевклидова геометрия и аналитическая геометрия также вошли в состав новой алгебры. На том же уровне общности находятся два других блока структур. Один из них, называемый общей топологией, включает в себя теории типов структур, частным случаем которых является структура метрического пространства
(см. ТОПОЛОГИЯ; АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА).
Третий блок составляют теории структур порядка и их расширений. "Расширение" структуры заключается в добавлении к уже имеющимся аксиомам новых. Например, если к аксиомам группы добавить в качестве четвертой аксиомы свойство коммутативности a*b = b*a, то мы получим структуру коммутативной (или абелевой) группы. Из этих трех блоков два последних до недавнего времени находились в сравнительно стабильном состоянии, а блок "современная алгебра" стремительно разрастался, подчас в неожиданных направлениях (например, получила развитие целая отрасль, получившая название "гомологической алгебры"). За пределами т.н. "чистых" типов структур лежит другой уровень - "смешанных" структур, например алгебраических и топологических, вместе с новыми связывающими их аксиомами. Было изучено множество таких комбинаций, большинство из которых распадаются на два обширных блока - "топологическую алгебру" и "алгебраическую топологию". Вместе взятые, эти блоки составляют весьма солидную по объему "абстрактную" область науки. Многие математики надеются с помощью новых средств лучше понять классические теории и решить трудные проблемы. Действительно, при соответствующем уровне абстрагирования и обобщения задачи древних могут предстать в новом свете, что позволит найти их решения. Огромные фрагменты классического материала оказались под властью новой математики и были преобразованы или слились с другими теориями. Остаются обширные области, в которых современные методы проникли не столь глубоко. Примерами могут служить теория дифференциальных уравнений и значительная часть теории чисел. Весьма вероятно, что существенный прогресс в этих областях будет достигнут после того, как будут открыты и тщательно изучены новые типы структур.
ФИЛОСОФСКИЕ ТРУДНОСТИ
Еще древние греки отчетливо понимали, что математическая теория должна быть свободна от противоречий. Это означает, что невозможно вывести как логическое следствие из аксиом утверждение Р и его отрицание не-P. Однако, поскольку считалось, что математические объекты имеют соответствия в реальном мире, а аксиомы являются "идеализациями" законов природы, ни у кого не возникало сомнений в непротиворечивости математики. При переходе от классической математики к математике современной проблема непротиворечивости приобрела иной смысл. Свобода выбора аксиом любой математической теории должна быть заведомо ограничена условием непротиворечивости, но можно ли быть уверенным в том, что это условие окажется выполненным? Мы уже упоминали о понятии множества. Это понятие всегда использовалось более или менее явно в математике и логике. Во второй половине 19 в. элементарные правила обращения с понятием множества были частично систематизированы, кроме того, были получены некоторые важные результаты, составившие содержание т.н. теории множеств (см. также МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ), ставшей как бы субстратом всех остальных математических теорий. Начиная с античности и вплоть до 19 в. существовали опасения относительно бесконечных множеств, например нашедшие отражение в знаменитых парадоксах Зенона Элейского (5 в. до н.э.). Эти опасения носили отчасти метафизический характер, а отчасти были вызваны трудностями, связанными с понятием измерения величин (например, длины или времени). Устранить эти трудности удалось только после того, как в 19 в. были строго определены основные понятия математического анализа. К 1895 все страхи были развеяны, и казалось, что математика покоится на незыблемом фундаменте теории множеств. Но в следующее десятилетие возникли новые аргументы, которые, по-видимому, показывали внутреннюю противоречивость теории множеств (и всей остальной математики). Новые парадоксы были очень простыми. Первый из них - парадокс Рассела - можно рассмотреть в простой версии, известной под названием "парадокс брадобрея". В некотором городке брадобрей бреет всех жителей, которые не бреются сами. Кто бреет самого брадобрея? Если брадобрей бреется сам, то он бреет не только тех жителей, которые не бреются сами, но и одного жителя, который бреется сам; если же он сам не бреется, то он не бреет всех жителей городка, которые не бреются сами. Парадокс этого типа возникает всякий раз, когда рассматривается понятие "множество всех множеств". Хотя этот математический объект кажется весьма естественным, рассуждения о нем быстро приводят к противоречиям. Еще более показателен парадокс Берри. Рассмотрим множество всех русских фраз, содержащих не более семнадцати слов; число слов русского языка конечно, поэтому конечно и число таких фраз. Выберем среди них такие, которые однозначно задают какое-нибудь целое число, например: "Наибольшее нечетное число, меньшее десяти". Число таких фраз также конечно; следовательно, конечно и множество определяемых ими целых чисел. Обозначим конечное множество этих чисел через D. Из аксиом арифметики следует, что существуют целые числа, не принадлежащие D, и что среди этих чисел существует наименьшее число n. Это число n однозначно определяется фразой: "Наименьшее целое число, которое не может быть определено фразой, состоящей не более чем из семнадцати русских слов". Но эта фраза содержит ровно семнадцать слов. Следовательно, она определяет число n, которое должно принадлежать D, и мы приходим к парадоксальному противоречию.
Интуиционисты и формалисты. Шок, вызванный парадоксами теории множеств, породил самые различные реакции. Некоторые математики были настроены весьма решительно и высказывали мнение, что математика с самого начала развивалась в неверном направлении и должна базироваться на совершенно другом фундаменте. Описать точку зрения подобных "интуиционистов" (как они стали себя называть) сколько-нибудь точно не представляется возможным, так как они отказывались сводить свои взгляды к чисто логической схеме. С точки зрения интуиционистов, неправильно применять логические процессы к интуитивно непредставимым объектам. Единственными интуитивно ясными объектами являются натуральные числа 1, 2, 3,... и конечные множества натуральных чисел, "построенные" по точно заданным правилам. Но даже к таким объектам интуиционисты не разрешали применять все дедукции классической логики. Например, они не признавали, что для любого утверждения Р истинно либо Р, либо не-Р. Располагая столь ограниченными средствами, они легко избегали "парадоксов", но при этом выбрасывали за борт не только всю современную математику, но и значительную часть результатов классической математики, а для тех, что еще оставались, необходимо было найти новые, более сложные доказательства. Подавляющее большинство современных математиков не согласились с доводами интуиционистов. Математики-неинтуиционисты заметили, что аргументы, применяемые в парадоксах, значительно отличаются от тех, что используются в обычной математической работе с теорией множеств, и поэтому следовало бы исключить такого рода аргументы как незаконные, не подвергая риску существующие математические теории. Другое наблюдение заключалось в том, что в "наивной" теории множеств, существовавшей до появления "парадоксов", не подвергался сомнению смысл терминов "множество", "свойство", "отношение" - подобно тому как в классической геометрии не подвергался сомнению "интуитивный" характер обычных геометрических понятий. Следовательно, можно действовать так же, как это было в геометрии, а именно отбросить все попытки обращения к "интуиции" и принять за исходный пункт теории множеств систему точно сформулированных аксиом. Однако неочевидно, каким образом можно лишить такие слова, как "свойство" или "отношение", их обычного смысла; между тем это необходимо сделать, если мы желаем исключить такие рассуждения, как парадокс Берри. Метод состоит в воздержании от использования обыденного языка при формулировке аксиом или теорем; только предложения, построенные в соответствии с явной системой жестких правил, допускаются в качестве "свойств" или "отношений" в математике и входят в формулировку аксиом. Такой процесс называется "формализацией" математического языка (во избежание недоразумений, возникающих из-за неоднозначностей обычного языка, рекомендуется сделать еще один шаг и заменить сами слова специальными символами в формализованных предложениях, например заменить связку "и" символом &, связку "или" - символом Ъ, "существует" - символом $ и т.д.). Математиков, отвергавших методы, предложенные интуиционистами, стали называть "формалистами". Однако на исходный вопрос так и не было дано ответа. Свободна ли от противоречий "аксиоматическая теория множеств"? Новые попытки доказательств непротиворечивости "формализованных" теорий были предприняты в 1920-х годах Д.Гильбертом (1862-1943) и его школой и получили название "метаматематики". По существу, метаматематика представляет собой раздел "прикладной математики", где объектами, к которым применяются математические рассуждения, являются предложения формализованной теории и их расположение внутри доказательств. Эти предложения надлежит рассматривать лишь как материальные комбинации символов, производимые по некоторым установленным правилам, без каких бы то ни было ссылок на возможный "смысл" этих символов (если таковой существует). Хорошей аналогией может служить игра в шахматы: символы соответствуют фигурам, предложения - различным позициям на доске, а логические выводы - правилам передвижения фигур. Для установления непротиворечивости формализованной теории достаточно показать, что в этой теории ни одно доказательство не заканчивается утверждением 0 № 0. Однако можно возразить против использования математических аргументов в "метаматематическом" доказательстве непротиворечивости математической теории; если бы математика была противоречивой, то математические аргументы утратили бы всякую силу, и мы бы оказались в ситуации порочного круга. Чтобы ответить на эти возражения, Гильберт допустил к использованию в метаматематике весьма ограниченные математические рассуждения того типа, который считают допустимым интуиционисты. Однако вскоре К.Гедель показал (1931), что непротиворечивость арифметики невозможно доказать столь ограниченными средствами, если она действительно непротиворечива (рамки настоящей статьи не позволяют нам изложить остроумный метод, с помощью которого был получен этот замечательный результат, и дальнейшую историю метаматематики). Резюмируя с формалистской точки зрения сложившуюся проблемную ситуацию, мы должны признать, что она далека от завершения. Использование понятия множества ограничивалось оговорками, которые специально вводились, чтобы избежать известных парадоксов, и нет никаких гарантий, что в аксиоматизированной теории множеств не возникнут новые парадоксы. Тем не менее ограничения аксиоматической теории множеств не помешали рождению новых жизнеспособных теорий.
МАТЕМАТИКА И РЕАЛЬНЫЙ МИР
Несмотря на заявления о независимости математики, никто не станет отрицать, что математика и физический мир связаны друг с другом. Разумеется, остается в силе математический подход к решению проблем классической физики. Верно и то, что в весьма важной области математики, а именно в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, процесс взаимообогащения физики и математики достаточно плодотворен. Математика полезна при интерпретации явлений микромира. Однако новые "приложения" математики существенно отличаются от классических. Одним из важнейших инструментов физики стала теория вероятностей, которая раньше применялась главным образом в теории азартных игр и страховом деле. Математические объекты, которые физики ставят в соответствие "атомным состояниям", или "переходам", носят весьма абстрактный характер и были введены и исследованы математиками задолго до появления квантовой механики. Следует добавить, что после первых успехов возникли серьезные трудности. Это произошло в тот момент, когда физики пытались применить математические идеи к более тонким аспектам квантовой теории; тем не менее многие физики по-прежнему с надеждой взирают на новые математические теории, полагая, что те помогут им в решении новых проблем.
Математика - наука или искусство? Даже если мы включим в "чистую" математику теорию вероятностей или математическую логику, выяснится, что в настоящее время другие науки используют менее 50% известных математических результатов. Что же мы должны думать об оставшейся половине? Иначе говоря, какие мотивы стоят за теми областями математики, которые не имеют отношения к решению физических проблем? Мы уже упоминали об иррациональности числа
как о типичном представителе такого рода теорем. Другим примером может служить теорема, доказанная Ж.-Л.Лагранжем (1736-1813). Вряд ли найдется математик, который бы не назвал ее "важной" или "красивой". Теорема Лагранжа утверждает, что любое целое число, большее или равное единице, может быть представлено в виде суммы квадратов не более чем четырех чисел; например, 23 = 32 + 32 + 22 + 12. При существующем ныне положении вещей немыслимо, чтобы этот результат мог пригодиться при решении какой-нибудь экспериментальной задачи. Правда, физики имеют дело с целыми числами сегодня гораздо чаще, чем в прошлом, но целые числа, которыми они оперируют, всегда ограничены (они редко превышают несколько сотен); следовательно, такая теорема, как теорема Лагранжа, может быть "полезна" только в том случае, если применять ее к целым числам, не переходящим некоторой границы. Но стоит нам ограничить формулировку теоремы Лагранжа, как она сразу перестает быть интересной для математика, поскольку вся притягательная сила этой теоремы заключается в ее применимости ко всем целым числам. (Существует великое множество утверждений о целых числах, которые можно проверить с помощью компьютеров для очень больших чисел; но, коль скоро общего доказательства не найдено, они остаются гипотетическими и не интересны профессиональным математикам.) Сосредоточенность на темах, далеких от непосредственных приложений, не является чем-то необычным для ученых, работающих в любой области, будь то астрономия или биология. Однако, в то время как экспериментальный результат можно уточнить и улучшить, математическое доказательство всегда носит окончательный характер. Именно поэтому трудно удержаться от искушения рассматривать математику, или по крайней мере ту ее часть, которая не имеет отношения к "реальности", как искусство. Математические проблемы не навязываются извне, и, если принять современную точку зрения, мы совершенно свободны в выборе материала. При оценке некоторых математических работ у математиков нет "объективных" критериев, и они вынуждены полагаться на собственный "вкус". Вкусы же сильно меняются в зависимости от времени, страны, традиций и отдельных личностей. В современной математике существуют мода и "школы". В настоящее время имеются три такие "школы", которые мы для удобства назовем "классицизмом", "модернизмом" и "абстракционизмом". Чтобы лучше понять различия между ними, проанализируем различные критерии, которыми пользуются математики, когда оценивают теорему или группу теорем. (1) По общему мнению, "красивый" математический результат должен быть нетривиальным, т.е. не должен быть очевидным следствием аксиом или ранее доказанных теорем; в доказательстве должна использоваться какая-то новая идея или остроумно применены старые представления. Иначе говоря, для математика важен не сам результат, а процесс преодоления трудностей, с которыми он столкнулся при его получении. (2) У любой математической проблемы имеется своя история, так сказать "родословная", которая следует той же общей схеме, по которой развивается история любой науки: после первых успехов может пройти определенное время, прежде чем будет найден ответ на поставленный вопрос. Когда решение получено, история на этом не заканчивается, ибо начинаются известные процессы расширения и обобщения. Например, упоминавшаяся выше теорема Лагранжа приводит к вопросу о представлении любого целого числа в виде суммы кубов, четвертых, пятых степеней и т.д. Так возникает "проблема Варинга", до сих пор не получившая окончательного разрешения. Кроме того, если нам повезет, решенная нами проблема окажется связанной с одной или несколькими фундаментальными структурами, а это, в свою очередь, приведет к новым проблемам, связанным с этими структурами. Даже если первоначальная теория в конце концов "умирает", она, как правило, оставляет после себя многочисленные живые побеги. Современные математики столкнулись с такой необозримой россыпью задач, что, даже если бы прервалась всякая связь с экспериментальной наукой, их решение заняло бы еще несколько столетий. (3) Каждый математик согласится с тем, что, когда перед ним возникает новая задача, его обязанность - решить ее любыми возможными средствами. Когда задача касается классических математических объектов (классицисты редко имеют дело с другими типами объектов), классицисты пытаются решить ее, используя только классические средства, в то время как другие математики вводят более "абстрактные" структуры с тем, чтобы использовать общие теоремы, имеющие отношение к задаче. Это различие подходов не ново. Начиная с 19 в. математики делятся на "тактиков", стремящихся найти чисто силовое решение проблемы, и на "стратегов", склонных к обходным маневрам, дающим им возможность сокрушить противника малыми силами. (4) Существенным элементом "красоты" теоремы является ее простота. Разумеется, поиск простоты свойствен всей научной мысли. Но экспериментаторы готовы примириться с "некрасивыми решениями", лишь бы задача была решена. Точно так же и в математике классицисты и абстракционисты не очень обеспокоены появлением "патологических" результатов. С другой стороны, модернисты заходят так далеко, что усматривают в появлении "патологий" в теории симптом, свидетельствующий о несовершенстве основополагающих понятий.
наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о правилах исчисления этих объектов. Чистая математика занимается величинами как таковыми, прикладная математика имеет дело с измеримыми и исчислимыми явлениями, т.е. с именованными числами. Чистая математика в состоянии вывести, просто «вычислить», свои результаты с помощью некоторых простых понятий и предположений, «аксиом», посредством чисто логических заключений, с правильностью которых должно согласиться каждое здравомыслящее существо («математическая» достоверность, строгая аргументация). Математические построения. относятся к сфере идеального бытия (см. Бытие) и априорного понимания; они становятся лишь носителями апостериорного познания, поскольку могут быть «применены» к эмпирическим взглядам (Кант). На развитие философии математики, т.е. вопроса о ее собственной сущности и ее действительно высших положениях (см. Аксиома) и вопроса о ее значении для теории познания и логики, в новейшее время влияли и влияют Фреге, Рассел, Гильберт, Брауер, или т. н. (математическое) «исследование основ» (см. Логистика). Оно обнаруживает «кризис принципов», углублению которого препятствуют (математический) формализм (Гильберт) и (математический) интуитивизм (Брауэр); это исследование пространно объясняет кризис, но не устраняет его полностью. Оно способствует также важному пониманию того, что в математике существуют неразрешимые вопросы (теорема Геделя). С др. стороны, для обширной области математики может быть приведено окончательное доказательство ее непротиворечивости (Гильберт, Генцен).
МАТЕМА́ТИКА -и; ж. [греч. mathēmatikē]
1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Высшая м. Элементарная м. Прикладная м. Законы математики. // Учебный предмет, изучающий эту науку. Экзамен по математике. Преподавать математику. // Разг. Учебник по этому предмету.
2. Разг. О чём-л., требующем точного расчёта, продуманных действий и т.п. Поднять урожай не просто, тут требуется м. М. высшего пилотажа.
◁ Математи́ческий, -ая, -ое. М-ая формула. М. факультет. М. расчёт. М-ая точность. М-ое объяснение поступка. Математи́чески, нареч.
* * *
(греч. mathēmatikē, от máthēma — наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До начала XVII в. математика — преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объёмы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее — алгебры и тригонометрии и некоторых частных приёмов математического анализа. Областью применения математики являлись счёт, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В XVII и XVIII вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В XVIII в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В XIX—XX вв. Математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию «пространств», весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная и неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, теория вероятностей, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в XIX—XX вв. численные методы математики вырастают в самостоятельная её ветвь — вычислительная математика. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоёмких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математика, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, например, теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.
МАТЕМА́ТИКА (греч. mathematike, от mathema — наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика — преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее — алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В 19—20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию «пространств», весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19—20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь — вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.
(от греч.mahtematike иmahtema — познание, наука) — наука (группа наук) о количественных отношениях и пространственных формах реального (действительного) мира, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально — о математических множествах и величинах. Математические построения относятся к сфере идеального бытия и априорного понимания; они становятся лишь носителями апостериорного познания, поскольку могут быть «применены* к эмпирическим взглядам. Несмотря на строгость математических допущений (аксиом, постулатов) в математике существуют неразрешимые вопросы или неполнота принятых допущений, доказанная австрийским математиком и логиком Куртом Геделем в 1931 году. Неполнота систем является одним из важных критериев научности.
МАТЕМАТИКА
Между духом и материей посредничает математика.
Хуго Штейнхаус
Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.
Джордж Сантаяна
Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии.
Давид Гильберт об одном из своих учеников
Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим.
Бертран Рассел
Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно.
В математике нет символов для неясных мыслей.
Анри Пуанкаре
Мы не можем понять эту формулу, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали ее и поэтому знаем, что она должна быть достоверной.
Некий профессор математики об одной из теорем Л. Эйлера
Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.
Альберт Эйнштейн
Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.
Славомир Врублевский
Арифметику невозможно понять, в нее приходится верить.
Мария Кунцевич
Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств.
В. Хмурый
«Если... то...» — если это не математика, то это шантаж.
Хенрик Ягодзиньский
Значение синуса в военное время может достигать
четырех.
Армейский фольклор
Любая формула, включенная в книгу, уменьшает число ее покупателей вдвое.
Стивен Хокинг
Наука * История * Математика * Медицина * Открытие * Прогресс * Техника * Философия * Химия
Математика
Математика - самая надежная форма пророчества. -
• Швебель.
В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики. -
• Кант Иммануил (Kant)
Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. -
• Сантаяна Джордж (Santayana)
Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. -
• Пуанкаре Жюль (Poincare)
Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется. -
• Гете (Goethe)
Математика - единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос. -
• Эйнштейн Альберт (Einstein).
Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом. -
• Вейерштрасс Карл (Weierstrass)
В математике ум исключительно занят собственными формами познавания - временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом. -
• Шопенгауэр (Schopenhauer)
Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии. Фантазия есть качество величайшей ценности. -
• Ленин. Владимир Ильич Ульянов.
• Гильберт, Хильберт Давид (Hilbert) спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения."
- наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что это общее определение М. наполняется все более богатым содержанием.
Ясное понимание самостоятельного положения М. как особой науки стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло впервые в Др. Греции в 6-5 вв. до н. э. Развитие М. до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6 -5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математич. исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях историч. развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни. Первые задачи механики и физики могли еще удовлетворяться этим же запасом основных математич. понятий.
В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить свое внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрич. фигур. С употребления переменных величин в аналитич. еометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.
Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., привело в нач. 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математич. исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематич. изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание "воображаемой геометрии" Лобачевского было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в М. столь важные новые черты, что М. 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.
1. Зарождение математики. Счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметич. действий. Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приемов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку - арифметику. Измерение площадей и объемов, потребности строительной техники, а несколько позднее астрономии вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной степени независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии - начатки тригонометрии.
2. Период элементарной математики. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметич. вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематич. развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математич. науки, в Др. Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно вырастает чисел теория. Создается систематич. учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число).оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного чисел относятся к более сложным математич. абстракциям, к-рые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрич. фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого периода. Период элементарной математики заканчивается (в Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится в область М. переменных величин.
3. Период создания математики переменных величин. С 17 в. начинается существенно новый период развития М. Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным объектом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определенных условиями другого рода (условиями минимума или максимума нек-рых связанных с ними величин), составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.
Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движения и преобразования сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к кон. 18 и нач. 19 вв. Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич. и аналитич. методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр. при графич. изображении функциональных зависимостей.
4. Современная математика. Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применения к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако помимо этого количественного роста с кон. 18 и в нач. 19 вв. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.
Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привел к необходимости углубленного логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие функции комплексного переменного теории, занявшей в нач. и сер. 19 в. центральное положение во всем математич. анализе. Другим замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась Лобачевского геометрия.
В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного и тензорного исчислений. Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа и тесно связывается с потребностями современной физики.
Таким образом, в результате как внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п.
Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировна правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приемов сознательного и планомерного создания новых геометрия, и алгебраич. систем.
Чрезвычайное расширение предмета М. привлекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам ее "обоснования", т. е. критич. пересмотру ее исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, а также критич. рассмотрению логич. приемов, употребляемых при этих доказательствах. Стандарт требований к логич. строгости, предъявляемых к практич. работе математиков над развитием отдельных математич. теорий, сложился только к кон. 19 в. Глубокий и тщательный анализ требований к логич. строгости доказательств, строения математич. теорий, вопросов алгоритмич. разрешимости и неразрешимости математич. проблем составляет предмет математической логики.
В нач. 19 в. происходит новое значит. расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред. Быстро растут и математич. запросы техники. В качестве основного аппарата новых областей механики и математич. физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений обыкновенных, дифференциальных уравнений с частными производными и математической физики уравнений.
Теория дифференциальных уравнений послужила отправным пунктом исследований по топологии многообразий. Здесь получили свое начало "комбинаторные", "гомологические" и "гомотопические" методы алгебраической топологии. Другое направление в топологии возникло на почве множеств теории и функционального анализа и привело к систематич. построению теории общих топологических пространств.
Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технич. задач являются методы вероятностей теории. Если в нач. 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в кон. 19 и в нач. 20 вв. теория вероятностей получает много новых применений благодаря созданию теории случайных процессов и развитию аппарата математической статистики.
Теория чисел, представлявшая собрание отдельных результатов и идей, с 19 в. развивалась в различных направлениях как стройная теория (см. Алгебраическая теория чисел, Аналитическая теория чисел, Диофантовы приближения).
Центр тяжести алгебраич. исследований переносится в новые области алгебры: теорию групп, полей, колец, общих алгебраич. систем. На границе между алгеброй и геометрией возникает теория непрерывных групп, методы к-рой позднее проникают во все новые области М. и естествознания.
Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков гл. образом под углом зрения изучения их логич. и аксиоматич. основ. Но основными отделами геометрии, где сосредоточиваются наиболее значительные научные силы, становятся дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия.
В результате систематич. построения математич. анализа на основе строгой арифметич. теории иррациональных чисел и теории множеств возникла функций действительного переменного теория.
Практич. использование результатов теоретического математич. исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретич. разбора задачи это часто оказывается весьма трудным делом. Зародившиеся в кон. 19 и в нач. 20 вв. численные методы анализа и алгебры выросли в связи с созданием и использованием ЭВМ в самостоятельную ветвь М.- вычислительную математику.
Отмеченные основные особенности современной М. и перечисленные основные направления исследований М. по разделам сложились в нач. 20 в. В значительной мере это деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие М. в 20 в. Однако потребности развития самой М., "математизация" различных областей науки, проникновение математич. методов во многие сферы практич. деятельности, быстрый прогресс вычислит. техники привели к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению целого ряда новых математич. дисциплин (см., напр., Автоматов теория, Информации теория, Игр теория, Исследование операций, а также Кибернетика, Математическая экономика). На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возник дискретный анализ. Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физич. или механич. системами, описываемыми дифференциальными ур-ниями, привели к созданию оптимального управления математической теории.
Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислит, техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.
По материалам статьи А. Н. Колмогорова[1]. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Математика, в кн.: Большая Советская Энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954; [2] Виноградов И. М., Математика и научный прогресс, в кн.: Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; [3] Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., М., 1979; [4] Математика, ее содержание, методы и значение, т. 1-3, М.,1956; [5] История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1-3, М., 1970-72; [6] Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей, М., 1978; [7] Математика ХIХ века. Геометрия. Теория аналитических функций, М., 19.81; [8] С т р о й к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 3 изд., М., 1978; [9] Марджанишвили К. К., Математика в Академии наук СССР, "Вестн. АН СССР", 1974, № 6; [10] W е у l Н., A Half-century of mathematics, "Amer. Math. Monthly", 1951, v. 58, № 8.
• Mathematĭca,
τὰ μαθηματικά или μαθήματα, означает в известном смысле все вообще научные познания, в специальном же смысле такие, в которых форма науки впервые высказалась с наивозможною точностью, а именно математику. Первоначальное свое развитие и М. получила у греков, благодаря ионическим философам, а еще более благодаря пифагорейцам. Различного рода опыты, задачи и методы были заимствованы, конечно, с Востока, особенно от египтян, но научною обработкою М. обязана грекам. В арифметике особенно прославились Пифагор и после него Архит и Филолай; Пифагор же обогатил геометрию названною по его имени важною теоремою; ею же занимались Анаксагор и Гиппократ Хиосский (450 г. до Р. X.), особенно последний, который нашел будто бы квадратуру круга (lunula) и старался решить пресловутую и занимавшую затем многих ученых древнего мира «Делосскую проблему» — найти способ к удвоению куба. Уже Архит рассматривал в своих лекциях стереометрические отношения, именно первую кривую двоякой кривизны, а Платон ввел в геометрию аналитический метод, равно как и учение о конических сечениях и геометрических точках; этим он настолько расширил математическую науку, что его ученики говорили о трансцендентной геометрии в противоположность к низшей геометрии. Вместе с Платоном и Архитом одновременно почти процветали Евдокс Книдский, Аристей, Менэхм (Μέναιχμος) и его брат Дейнострат (Δεινόστρατος), которые развили еще более учение о конических сечениях, а так называемая quadratix Дейнострата, открытая жившим в то же время Гиппием ( Ίππίας), стремится к решению задачи — разделить угол на три равные части и решить квадратуру круга. Эти подготовительные работы получают у Аристотеля дальнейшее развитие по отношению к объему и содержанию и разнообразному их применению к механике; наконец, благодаря трудам александрийских ученых, М. достигла той научной полноты, которой можно было достигнуть в древности. В частности, систематическая и методическая разработка арифметики удалась Евклиду; эту же часть М. обогатили своими исследованиями Архимед и Эратосфен. Особенно же прославился вышеупомянутый Евклид в геометрии, где знаменитые «Основы» (στοιχει̃α) доставили ему название «отца геометрии». Кроме него, Архимед, Аполлоний из Перги и живший позднее Диофант были главными математиками древних. Архимед решил квадратуру параболы, нашел отношение между окружностью и диаметром круга, между объемом шара и описанного около него цилиндра, определил содержания сфероид и вообще значительно расширил геометрический анализ. Аполлоний исследовал свойства сечений косого конуса и довел теорию конических сечений до высокой степени совершенства. Труды этих двух математиков обозначают самую блестящую эпоху геометрии у древних. Геометрическим способом решили «Делосскую проблему» Менэхм и Аполлоний, и именно посредством конических сечений, позднее Никомед (может быть, ок. 150 г. до Р. X.) посредством изобретенной им конхоиды (раковинообразной кривой линии), Диокл (вероятно, в 6 в. от Р. X.) посредством киссоиды (плющеобразной кривой). Гиппарх, величайший астроном в древности, был основателем необходимой ему для его астрономических исчислений плоской и сферической тригонометрии, дальнейшему развитию которой содействовали Гемин, Феодосий (может быть, ок. 50 г. до Р. X.) и астроном Менелай (может быть, ок. 100 г. от Р. X.). Единственное изложение плоской и сферической тригонометрии у древних находим мы в сочинении μαθηματικὴ σύνταξις, принадлежащем великому астроному Клавдию Птолемею (ок. 150 г. от Р. X.). Из математиков позднейшего времени в древности следует упомянуть еще двух, Диофонта (между 160 и 360 гг. от Р. X.), который занимался преимущественно так называемым неопределенным анализом, и Паппа, жившего в конце 4 в., который в своем «математическом сборнике» (μαθηματικαὶ συναγωγαί), собрал важнейшие открытия прежних математиков. Механикой долгое время занимались только практически, пока Архимед после различных напрасных опытов других ученых не установил для нее твердых теоретических оснований; посредством законов простых машин (рычага, блока и т. д.) и центра тяжести он положил начало механике твердых тел, а изложением своей гидростатической теории основал механику жидкостей. Из других ученых следует в особенности упомянуть Герона Александрийского (ок. 250 г. до Р. X.), который, между прочим, изобрел названные по его имени приборы: Геронов фонтан, Геронов шар, эолипилу. Не только в Александрии, но и на острове Родосе, в Пергаме и особенно в Сиракузах процветала механика в практическом применении. Меньше знаем мы об успехах в оптике, т. к. сочинения, касающиеся ее, частью сомнительны, частью утрачены. Акустика была сперва указана Пифагором, позднее ею занимался Аристотель. У римлян М. не развивалась: эмпирический навык при разделении земель и при означении места для лагеря казался для них достаточным. Некоторые сведения по этой отрасли мы имеем в сочинении Гигина; кроме того, Варрон, Витрувий и Юлий Фронтин также известны как писатели по этой части.
(греч. matheciatike, от mathema - знание, учение, наука) - наука о количеств. отношениях и пространств, формах действит. мира. М. объединяет комплекс дисциплин: арифметику (теорию чисел), алгебру, геометрию, матем. анализ (дифференц. и интегр. исчисления), теорию множеств, теорию вероятностей, функцион. анализ и мн. др. М. характеризуется: а) высокой степенью абстрактности её понятий (точки - без размеров, линии - без толщины, множества любых предметов и т. п.); б) высокой степенью их общности (напр., в алгебре буква обозначает любое число, в матем. логике рассматриваются произвольные высказывания и т. п.). Всякая наука в процессе развития от изучения чисто качеств. св-в предметов и явлений переходит к изучению также количеств. отношений, и М. становится её рабочим аппаратом. Абстрактность и общность понятий М. позволяют один и тот же матем. аппарат применять в разл. науках.
МАТЕМАТИКА — наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Она объединяет комплекс дисциплин: арифметику (теорию чисел), алгебру, геометрию, математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисления), теорию множеств, теорию вероятностей, функциональный анализ и др. М. характеризуется: а) высокой степенью абстрактности её понятий (точки — без размеров, линии — без толщины, множества любых предметов и т.п.); б) высокой степенью их общности (напр. в алгебре буква обозначает любое число, в математической логике рассматриваются произвольные высказывания и т.п.). Всякая наука в процессе развития от изучения чисто качественных свойств предметов и явлений переходит к изучению их количественных отношений, и М. становится её рабочим аппаратом. Абстрактность и общность понятий М. позволяют один и тот же матем. аппарат применять в различных науках и во многих сферах практической деятельности.
вы́сшая матема́тика — higher mathematics
вычисли́тельная матема́тика — computing mathematics
прикладна́я матема́тика — applied mathematics
чи́стая матема́тика — pure [abstract] mathematics
элемента́рная матема́тика — elementary mathematics
matematica f
- высшая математика
- классическая математика
- прикладная математика
- современная математика
- чистая математика
- элементарная математика
наук.
матема́тика
- дискретная математика
- конечная математика
- конструктивная математика
- континуальная математика
- машинная математика
- практическая математика
- страховая математика
- теоретическая математика
наук. матема́тика
(греч. mathematike, от mathe-ma - наука), наука, в к-рой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. М.- преим. наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геом. фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объёмы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и нек-рых частных приёмов матем. анализа. Областью применения М. являлись счёт, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в М. идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитич. геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных ур-ний, дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. М. поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в совр. алгебре; геометрия переходит к исследованию "пространств", весьма частным случаем к-рых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная и неевклидова геометрия, теория множеств, матем. логика, теория вероятностей, функциональный анализ и др. Прак-тич. освоение результатов теоретич. матем. исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численные методы М. вырастают в самостоят. её ветвь - вычислит. М. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоёмких вычислит. задач привело к созданию вычислит. машин. Потребности развития самой М., "математизация" разл. областей науки, проникновение матем. методов во многие сферы практич. деятельности, быстрый прогресс вычислит. техники привели к появлению целого ряда новых матем. дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная М., теория оптим. управления.
(от греч. mathematike) - англ. mathematics; нем. Mathematik. Система наук, изучающих количественные отношения и пространственные формы реальности.
(от греч. mathematike) -англ. mathematics; нем. Mathematik. Система наук, изучающих количественные отношения и пространственные формы реальности.