Толково-фразеологический словарь Михельсона
(иноск.) — завалить делами, дать кому так много дела, что не хватает времени (как громоздкие вещи свободного места не дают)
Ср. Дела загромоздили весь досуг, ни одной свободной минуты.
Салтыков. Мелочи жизни.