Толковый словарь Даля
или бау, бай, баюшки, припев для усыпления, укачивания ребенка; пора тебе баюшки, иди баиньки, бай-бай, ступай спать. Баюшки баю, колотушек надаю. Баюкать кого, пестовать, баукать, убаюкивать, припевая качать, укачивать, усыплять; баюкаться с кем, возиться, нянчиться усыпляя. Ладно баюкаешь, да сон не берет. Нянька выбаюкала себе платок. Добаюкалась-таки, что уснул. Забаюкай его. Набаюкалась до устали. Отбаюкавшись, иди ужинать. Побаюкай его еще, а ты подбаюкивай, прибаюкивай, припевай. Пробаюкала всю ночь, руку отбаюкала, откачала. Разбаюкалась на весь дом, распелась. Баюканье ср. укачивание, усыпление ребенка припевом. Баюкала ·об. баюкальщик муж. баюкальщица, баукалка жен. пестун, нянька, припевала. Баюкалка жен. зыбка, люлька, качалка, колыбель, колыска. Байка жен. колыбельная песенка, припев для усыпления дитяти;
| вологод. баюкалка, колыбелька.
| В значении говор, побаска и дудочка, см. баить; ткань, см. байка.
Толковый словарь Ушакова
БА́Ю, межд. обыкн. в сочетаниях: баю-бай, баюшки-баю и баю-баюшки-баю - слова, которые напевают, усыпляя ребенка; припев колыбельных песен. «Спи, младенец мой прекрасный, баюшки-баю.» Лермонтов.
Толковый словарь Ефремовой
межд. разг.
Употребляется как компонент колыбельной песни.
Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера
I ба́ю ба́ять, ба́ить "говорить", укр. ба́яти "рассказывать", русск.-цслав. баю, баяти "рассказывать, заговаривать, лечить", болг. ба́я "колдую", сербохорв. ба̏jати "колдовать", словен. bájati "болтать, говорить, заклинать", чеш. bájiti "говорить, болтать", польск. bajać "болтать", в.-луж. bać – то же, н.-луж. bajaś. Исконнородственно греч. φημί, дор. φαμί "говорю", φήμη, дор. φά̄μΒ̄ "голос, молва", φωνή "голос", лат. fāri "говорить", fābula "речь, рассказ", др.-исл. bón, bǿn, арм. ban "слово, речь" и т. д.; см. Бернекер 1, 39; Хюбшман 428. Сюда не относится лит. bóju, bóti "обращать внимание" – переразложение лит. atbóti, dabóti "обращать внимание, заботиться", которое заимств. из польск. dbać; см. Лескин, Bildung 457; Остен-Сакен, IF 33, 206 и сл. Дальнейшее см. выше, на ба́сня.
•
• [Ср. еще сев.-фризск. bālen "говорить"; см. Хольтхаузен, PBB 48, стр. 460. – Т.]II ба́ю ба́юшки, ба́ю, отсюда (у)баю́кать. По мнению Брандта (РФВ 18, 27), это выражение связано с ба́ю "говорю". Ср., однако, бай-бай.