«Логика»

(от λόγος, разум, слово, мышление) — по мнению одних, наука о доказательстве, по мнению других, наука о законах и формах мышления. Чтобы познать сущность Л. и ее задачи, следует обратиться к истории.

I. Л. есть продукт греческого ума. Признавать здесь первенство индусов нет серезных оснований (см. Индийская философия). Творцом Л. считается по справедливости Аристотель, хотя в греческой философии, в особенности у Сократа и Платона, и раньше были затронуты некоторые логические вопросы. Диалектика элеатов, учение софистов, опровержение их Сократом и Платоном дали богатый материал, из которого Аристотель мог создать свое дивное логическое построение. Его "Органон" состоит из пяти сочинений: категорий, учения об истолковании, двух аналитик, топики и софистических доказательств. Категории отчасти соответствуют той части Л., которую теперь называют учением о понятиях; в сочинении об истолковании излагается учение о суждениях, в аналитиках — учение о силлогизме и о научном доказательстве, в топике, наиболее устаревшем из всех логических сочинений Аристотеля, — о диалектических доказательствах и вероятных заключениях; наконец, в софистических доказательствах приводятся примеры ложных умозаключений и показаны пути, как избавиться от софистических ошибок. Важнейшая заслуга Аристотеля и в то же самое время наиболее самостоятельная его работа состоит в разъяснении различных видов силлогизма и в анализе различных способов научного доказательства. Аристотеля обыкновенно считают творцом того логического направления, которое называется формальным и занимается анализом понятий, суждений и умозаключений, рассматривая их совершенно независимо от самого содержания понятий и суждений. Возможность такого отвлеченного рассмотрения заключается, по-видимому, в том, что во всяком познании можно различить два момента: материальный (то, что мыслится) и формальный (как оно мыслится), и эти моменты в известной степени отделимы друг от друга. История Л. есть в значительной степени история формального логического направления; тем не менее несправедливо упрекать Аристотеля в формализме. Отделения содержания от формы мысли в том виде, в котором мы его встречаем позднее, по преимуществу в средневековой Л., у Аристотеля еще нет; поэтому можно только утверждать, что формальная Л. вышла из Аристотелевской, но нельзя говорить, что Аристотель есть творец формальной Л. После-Аристотелевская греческая Л. не имеет большого значения. Стоики пополнили силлогистику учением об условном и разделительном умозаключении и положили основание учению о восприятии как элементе познания; но эти труды не получили в истории значения и дальнейшего развития. В средневековой схоластической философии, в которой бедность реального содержания искупалась строгостью логических форм, Л. стала формальным учением о понятии, суждении и умозаключении, причем силлогизм признан единственной формой научного доказательства. Типичный учебник средневековой Л. — "Summulae" Петра Испанского. Связь логических вопросов с общефилософскими, гносеологическими выразилась в знаменитой борьбе двух направлений — реализма и номинализма, состоящей в выяснении того значения, которое следует давать общим понятиям, т. е. субъективны ли они или же имеют и объективное бытие, как учил Платон. Самая оригинальная попытка реформы логики в средние века принадлежит Раймунду Люллию (1284-1315); но так как она не относится к формальному направлению, то о ней будет сказано ниже. Под влиянием эпохи Возрождения и постепенного накопления реального знания, формальная Л. подверглась различным видоизменениям, но как школьный учебный предмет она существует и до настоящего времени и в XIX. стол. достигла своего полного развития в послекантовой философии, а именно в школе Гербарта, который считает Л. наукой выяснения понятий и их сочетаний в суждениях и умозаключениях. Гербарт совершенно отделяет Л. от философии и не рассматривает в Л. значения различных форм мышления. Завершение формального направления мы имеем в так назыв. математической Л., созданной англичанами, которую иногда считают особым логическим направлением, хотя по существу это та же формальная Л. Бентам и Гамильтон считаются ее творцами; де Моран, Буль и Джевонс более или менее тесно примыкают к этому направлению. Сущность его состоит в учении о квантификации предиката, вследствие которой суждение принимает характер уравнения — а это ведет к некоторым упрощениям и видоизменениям форм умозаключения. В каждом суждении мы различаем всегда его количество (т. е. оно бывает общим, частным и единичным) и качество (т. е. оно бывает утвердительным и отрицательным). Но количественный элемент обыкновенно относится в суждении к одному только подлежащему, в сказуемом же остается некоторая неопределенность в количественном отношении; если устранить эту неопределенность, то все суждения будут представлять собою такие отношения подлежащего к сказуемому, которые могут быть выражены совершенно точно; благодаря этому можно придать простейшую форму всем выводам, руководствуясь законом тождества и противоречия. За математической Л. следует признать заслугу сведения всех выводов к закону тождества и противоречия, но крайность этого направления не позволяла ему понять и описать многообразие всех выводов и их характерных особенностей. Этот недостаток устранен в классическом сочинении М. И. Каринского (см.): "Классификация выводов" (СПб., 1880).

II. Когда интерес к реальному знанию возрос, когда люди стали изучать природу и себя самих не по книгам только, а по живой действительности, тогда схоластическая Л. оказалась неудовлетворительной в двояком, главным образом, отношении: во-первых, она, по-видимому, не давала никаких средств для изучения природы; во-вторых, рассматривая лишь готовое знание в форме понятий, суждений и умозаключений, она не беспокоилась о том, откуда берутся познания человека и в каком отношении стоят они к реальному бытию. Л. доказательства должна была поэтому уступить место Л. открытия истины, а формальное изучение мысли должно было стать гносеологией, т. е. изучением происхождения, границ и значения человеческого познания. 1) Scientia est potentia — провозгласил Бакон и в своем "Новом Органоне" хотел указать пути, которыми можно приобресть знание, а вместе с тем и господство над природой. Не Бакон, конечно, создал Л. открытия; его предшественниками в этом отношении были Петр Рамюс и Леонардо да Винчи, а также ученые XVI и начала XVII столетий (напр. Галилей), показавшие, как следует изучать природу; тем не менее Бакона считают творцом индуктивной Л., так как он наиболее полно выразил ее тенденции в XVII веке. Силлогизм следует отбросить, ибо он непригоден для исследования; нужно довериться индукции, собирать факты, группировать их, делать обобщения и таким путем подниматься до познания высших законов природы. Характерная особенность Л. Бакона состоит в его учении об отрицательных и преимущественных инстанциях, т. е. случаях, в которых наиболее полно выразилось какое-либо явление и которые благодаря этому могут заменять собой целый ряд однородных фактов и, таким образом, сокращать путь исследования. По пути, намеченному Баконом, пошел целый ряд исследователей; благодаря трудам Гершеля, Уэвеля, в особенности Милля и Клода Бернара создалась так наз. индуктивная Л., типичным представителем которой обыкновенно считается Милль. Его учение о том, что возможность индукции покоится на вере в однообразный порядок явлений в природе и что самое исследование ведется посредством четырех основных методов (согласия, различия, остатков и сопутствующих изменений), пользуется очень большим распространением и уважением. Рассматривая индуктивную Л. в целом, приходится, однако, сказать, что она не есть Л. открытия, а представляет собой лишь отвлеченное описание тех путей, которыми открытия были делаемы. Самая мысль создать Л. открытия вряд ли осуществима, ибо всякое открытие действительных отношений явлений между собою есть творческий процесс исследователя, который, как всякое творчество, зависит от природных дарований и которому научиться нельзя. Лучшие и точнейшие методы в руках недаровитого исследователя останутся без результатов, а процесс творчества представляет тайну даже для самого исследователя. Превратить Л. в искусство можно разве лишь в смысле формальной Л., т. е. в искусство находить ошибки, в критику. Второй существенный недостаток индуктивной Л. объясняется исторически. Индуктивная Л. развилась в борьбе с силлогизмом и желала стать на место силлогизма. Обособление индукции от формальной Л. хотя и понятно, но неосновательно. Борьба Бакона против сил логизма, как и критика Локка, основаны на недоразумении, а учение Милля о силлогизме как о заключении от частного к частному же вытекает из недостаточно глубокого анализа процессов умозаключении. Индуктивный вывод есть только один из видов заключений — а все они покоятся одинаково на известных аксиоматических предпосылках и на законах тождества и противоречия. К этому же направлению логики следует отнести оригинальную попытку Декарта (нашедшую себе более полное выражение в соч. Марютта) заменить школьную Л. некоторыми простейшими правилами исследования.

2) Во втором из указанных нами направлений новой Л. — в теории познания — вновь была восстановлена связь Л. с философией, существовавшая в греческой Л. и уничтоженная схоластической философией. Декарт задался мыслью об основе нашего познания, о его достоверности, и предложил в знаменитой формуле "cogito — ergo sum" рационалистическое решение, которое вызвало критику со стороны эмпиризма и попытку примирения двух основных философских направлений — рационализма и эмпиризма — в критицизме Канта. В сущности, борьба указанных школ относится не к истории Л. в тесном смысле, а к истории философии; это видно уже из того, что различные мыслители указанных школ смотрели на задачи Л. одинаково, т е. Л. сохраняла отчасти свое самостоятельное существование и не сливалась вполне с теорией познания, хотя и получила значительное обогащение благодаря психологическим и гносеологическим исследованиям. У Канта, напр., мы встречаемся с двумя Л.: с одной стороны — с формальной Л., примыкающей к Аристотелю, в которой Кант заявляет, что Л. в течение двух тысячелетий не сделала никаких успехов; с другой стороны — с трансцендентальной Л., частью "критики чистого разума", в которой Кант исследует чистые понятия рассудка (категории), делающие возможным опыт и принадлежащие a priori человеку основоположения рассудка и идеи разума. Под влиянием новых, по преимуществу психологических элементов, внесенных в Л., она может потерять свой нормативный характер. Как формальная, так и индуктивная Л. признают своей задачей установку правил, определяющих собою истинное мышление; если же смотреть на Л. как на теорию мышления, если разбирать условия возникновения мысли, описывать процессы, из которых слагается мысль, то историю возникновения мысли легко смешать с действительным ее значением и принять ассоциационные законы за законы мышления. Это действительно и случилось с некоторыми английскими исследователями (в России эту точку зрения защищал Н. Я. Грот: "К вопросу о реформе Л.", Лпц., 1880, 8°). Между тем, ассоциации управляют лишь воспроизведением элементов сознания, а не живым мышлением. Мышление творит ассоциации, но ассоциации создать мысли не могут.

III. Чего не могла сделать индуктивная Л., т. е. построить Л. открытия, за то взялась так назыв. метафизическая Л. Уже знаменитая Ars lulliana, которою восхищался Джордано Бруно, была попыткой такого рода. Луллий хотел путем сочетания некоторых основных понятий о вещах и их свойствах указать путь к открытию нового знания о вещах. Эта попытка могла бы быть удачной лишь при обладании такими категориями, которые исчерпывали бы всю полноту бытия; но так как опыт мог ежеминутно показать неполноту выбранных Луллием понятий, то можно было лишь удивляться его остроумию, признавая попытку его неудавшейся. Цель Луллия своебразно видоизменил Гегель: исходя из положения о тождестве бытия и познания, он отождествил Л. с метафизикой, т. е. предположил тождество там, где теория познания утверждала лишь связь. Л. есть наука о чистых понятиях, которые a priori присущи человеку; именно поэтому они и имеют применение к бытию. Из этой мысли развилась гегелевская Л. Гегелю принадлежит лишь путь нахождения чистых понятий, который назван им диалектическим методом. Но и у Гегеля, который, по-видимому, совершенно отождествил Л. с онтологией и сделал субъективные категории стадиями развития самого бытия, формальная Л. все же не совершенно уничтожена, а является вновь в учении о понятии, которое развивается в трех моментах: а) субъективное понятие, б) объект и в) идея. Субъективное понятие представляет три момента диалектического развития: понятие как такое, суждение и умозаключение. Таким образом, в этом величественном построении, в котором мысль, по-видимому, творит свой объект, и старая школьная Л. нашла себе место. В общем, о Л. Гегеля следует сказать, что она представляет собой гениальную, но безнадежную попытку. Основная предпосылка ошибочна, и потому все здание должно было оказаться построенным на песке. Человек не обладает творческою мыслью, а только исследующею; творчество человека (в сфере научной) только и проявляется в исследовании существующего, а не в создании его.

Итак, первоначальная Аристотелевская логика в историческом развитии подвергалась многим реформам, которые отчасти обогатили ее (напр. в методологическом и психологическом отношениях), отчасти же исказили ее сущность (в метафизическом направлении). Отсюда можно вывести заключение, что главный предмет Л. остался неизменным: Л. есть учение о доказательствах, описание же законов и форм мысли есть скорее предмет психологии, чем Л.

Литература: по истории Л.: Prantl, "Geschichte d. Logik" (Лейпциг, 1885-1870) и Ueberweg, "System der Logik" (Бонн, 1874; глава об истории Л.). Из Л. формального направления: "Organon" Аристотеля (изд. Вайца) и "Elementa logices Aristoteleae" (изд. Treudelenburg'a, Б., 1868); Arnauld, "L'art de penser" (П., 1664, изд. часто); Drobisch, "Logik" (Лпц., 1850); Rabier, "Logique" (П. 1886). Из индуктивных Л., кроме "Novum Organon" Бакона: "А system of logic rationative and inductive" Милля (Л., 1843, изд. часто; есть рус. перев.); Claude Bernard, "Introduction à l'étude de la médecine expérimentale" (П., 1865); Sigwart, "Logik" (Тюбинген; 1873). По математической Л.: Liard, "Les logiciens anglais" (П., 1878); Boole, "An investigation of the laws of thought" (Л., 1854). К гносеологической Л. относятся, кроме классических соч. Декарта, Лейбница, Локка, Канта — Wundt, "Logik" (Штуттгардт, 1880; 1896 г. третье издание); Shuppe, "Erkenntnisstheoretische L." (1878); Lotze, "Logik" (Лпц., 1874). По метафизической Л., кроме гегелевской: Kuno Fischer, "System der Logik u. Metaphysik" (2 изд., Гейдельберг, 1865).

В России Л. составляла издавна предмет преподавания как в духовных академиях, так и в университетах, почему различных сочинений по Л. сравнительно много, но из них только одно вполне оригинально (Каринский, "Классификация выводов"). Другие, наиболее крупные: Бакман, "Система Л."; Новицкий, "Руководство по Л." (Киев, 1841); Карпов, "Систематическое изложение Л." (СПб., 1856); Владиславлев, "Л." (СПб., 1872); Троицкий, "Учебник Л." (М., 1885). Переведенных, кроме Л. Милля, "Л." Минто (М. 1895). Обзор логических направлений дает Лейкфельд: "Различные направления в Л. и основные задачи этой науки" (Харьков, 1890, 8°); он же печатал в "Ж. М. Н. Пр." за 1895 г. "Историю индуктивной Л.".

Ф. Радлов

(греч. logike̅́)

наука о приемлемых способах рассуждения. Слово «Л.» в его современном употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. lógos, от которого оно происходит. В духе традиции с понятием Л. связываются три основных аспекта: онтологический — «Л. вещей», т. е. необходимая связь явлений объективного мира (Демокрит);гносеологический — «Л. знания», т. е. необходимая связь понятий, посредством которой познаётся «сущность и истина» (Платон), и демонстративный (доказательный), или собственно логический, — «Л. доказательств и опровержений», т. е. необходимая связь суждений (высказываний) в рассуждениях (умозаключениях), принудительная убедительность («общезначимость») которых вытекает только из формы этой связи безотносительно к тому, выражают эти суждения «сущность и истину» или нет (Аристотель). Первые два аспекта относятся к философии (См. Философия) и диалектической логике (См. Диалектическая логика), последний же аспект составляет собственно логику, или современную Л. (которую вслед за И. Кантоминогда называют формальной Л.).

Исторически предмет (собственно) Л. ограничивался своего рода «каталогизацией» правильных аргументов, т. е. таких способов рассуждений, которые позволяли бы из истинных суждений-посылок всегда получать истинные суждения-заключения. Известным со времён античности набором таких аргументов однозначно определялся процесс дедукции (См. Дедукция), характерный для т. н. традиционной Л., ядро которой составляла Силлогистика, созданная Аристотелем. По мере изучения особенностей демонстративного мышления предмет традиционной Л. постепенно расширялся за счёт несиллогистических, хотя и дедуктивных способов рассуждений, а также за счёт индукции (См. Индукция). Поскольку последняя выпадала из рамок Л. как дедуктивной теории (или совокупности таких теорий), она в конце концов сделалась предметом особой теории, названной индуктивной Л.

Современная Л. является историческим преемником традиционной Л. и в некотором смысле её прямым продолжением. Но в отличие от традиционной, для современной Л. характерно построение различного рода формализованных теорий логического рассуждения — т. н. логических «формализмов», или логических исчислений (См. Логическое исчисление), позволяющих сделать логические рассуждения предметом строгого анализа и тем самым полнее описать их свойства (см. раздел Предмет и метод современной логики). Отображение логического мышления в логических исчислениях привело к более адекватному выражению идеи «логоса» как единства языка и мышления, чем это было в эпоху античности и во все эпохи, предшествовавшие 20 в.; в современной Л. это выражение столь очевидно, что, исходя из различных «формализмов», приходится порой говорить о различных «стилях логического мышления».

М. М. Новосёлов.

История логики. Историческую основу современной Л. образуют две теории дедукции, созданные в 4 в. до н. э. древнегреческими мыслителями: одна — Аристотелем, другая — его современниками и философскими противниками, диалектиками мегарской школы (См. Мегарская школа). Преследуя одну цель — найти «общезначимые» законы логоса, о которых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели. Известно, что основатель мегарской философской школы Евклид из Мегары широко использовал не только доказательства от противного (См. Доказательство от противного), но и аргументы, по форме близкие к силлогическим, и таковы многие дошедшие до нас Софизмы мегариков. В свою очередь, Аристотель в сочинении «Топика» в качестве доказывающего сформулировал основное правило исчисления высказываний — правило «отделения заключения» (разрешающее при истинности высказываний «если А, то В» и «А» как истинное заключение «отделить» высказывание «В»). И если затем он оставил в стороне Л. высказываний, то в этом «повинны» в немалой степени софизмы мегариков, которые привели Аристотеля к поискам логических элементов речи в элементарной сё единице — предложении. Именно на этом пути он ввёл понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл, в отличие от грамматической, атрибутивную форму речи — как утверждения или отрицания «чего-либо о чём-то», определил «простое» высказывание как атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объёмных отношений, аксиому и правила Силлогизма. Аристотель создал весьма ограниченную по своим возможностям, но зато законченную теорию — силлогистику, реализующую в рамках Л. классов идею алгорифмизации вывода заключений. Аристотелевская силлогистика положила конец «силлогистике» мегариков, последним представителем которой был Евбулид из Милета, писавший против Аристотеля, автор известных Парадоксов «лжец», «лысый», «куча» и нескольких софизмов. Др. последователи Евклида обратились к анализу условных высказываний, считая, что заключения «о присущем», выражаемые фигурами силлогизма, нуждаются в более общей основе. Диодор Крон из Иаса и его ученик Филон из Мегары ввели понятие импликации и изучали связь импликации и отношения следования, предвосхитив идею теоремы о дедукции. Соглашаясь в том, что условное высказывание — импликация — истинно, когда заключение следует из посылки, они расходились, однако, в толковании понятия «следует». Согласно Диодору, В следует из А, когда импликация А ⊃ В («если А, то В») необходима, так что нельзя утверждать в зависимости от случая, что иной раз она истинна, а иной раз нет, если А и В одни и те же высказывания. Филон же полагал, что понятие «В следует из А» полностью определяется понятием материальной импликации, которую он ввёл, дав свод её истинностных значений. Так возникла теория критериев логического следования, впоследствии сделавшаяся частью учения стоиков. Неизвестно, обсуждался ли в мегарской школе вопрос об аксиоматизации Л., но Диоген Лаэрций свидетельствует, что Клитомах из школы Евклида был первым, кто написал не дошедший до нас трактат об аксиомах и предикатах.

Логические идеи мегариков были ассимилированы в философской школе стоиков, основанной около 300 до н. э. Гл. фигурой этой школы был Хрисипп, принявший критерий Филона для импликации и Двузначности принцип как онтологическую предпосылку Л. В сочинениях стоиков Л. высказываний предшествует аристотелевской силлогистике, оформляясь в систему правил построения и правил вывода высказываний. Последние по примеру Аристотеля тоже называются силлогизмами. Идея дедукции формулируется более четко, чем у мегариков, в виде след. предписания: условием формальной правильности заключения В из посылок А₁, А₂,..., A_n является истинность импликации (A₁ & A₂ &... & A_n) ⊃ В. Аргументы, основанные на понимании высказываний только как функций истинности, стоики называли формальными; они могут вести от ложных посылок к истинным следствиям. Если же во внимание принималась содержательная истинность посылок, формальные аргументы назывались истинными. Если посылки и заключения в истинных аргументах относились соответственно как причины и следствия, аргументы называются доказывающими. В общем случае «доказывающие аргументы» стоиков предполагали понятие о естественных законах. Стоики считали их аналитическими и возможность их доказательства посредством аналогии и индукции отрицали. Т. о., развитое стоиками учение о доказательстве шло за пределы Л. в область теории познания, и именно здесь «дедуктивизм» стоиков нашёл себе философского противника в лице радикального эмпиризма школы Эпикура — последней наиболее важной для истории Л. школы античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию (См. Аналогия), индукцию. Они положили начало индуктивной Л., указав, в частности, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и сформулировав ряд правил индуктивного обобщения (См. Обобщение).

Эпикурейской «каноникой» заканчивается история логической мысли ранней античности. На смену приходит поздняя античность, эклектически сочетающая аристотелизм и стоицизм. Её вклад в Л. ограничивается по существу переводческой и комментаторской деятельностью поздних перипатетиков (Боэт Сидонский, Александр Эгский, Адраст, Гермин, Александр Афродизийский, Гален и др.) и неоплатоников (Порфирий, Прокл, Симпликий, Марий Викторин, Апулей, Августин, Боэций, Кассиодор и др.). Из нововведений эллино-римских логиков заслуживают внимания логический квадрат Апулея, Дихотомическое делениеи объёмная трактовка терминов силлогизма у Порфирия, идеи аксиоматизации Л. и Л. отношений у Галена, зачатки истории Л. у Секста Эмпирика и Диогена Лаэрция, наконец, подготовившие терминологию средневековой Л. переводы греческих текстов на латинский язык, в частности «Введения» Порфирия Марием Викторином и сочинений Аристотеля, входящих в «Органон», Боэцием. (Именно в логическом словаре Боэция впервые, по-видимому, появляются понятия «субъект», «предикат», «связка», в терминах которых на протяжении многих последующих столетий логики анализировали высказывания.) Под влиянием доктрины стоиков, заимствованной Неоплатонизмом, Л. постепенно сближается с грамматикой. В энциклопедии той эпохи — «Сатириконе» Марциана Капеллы — в качестве одного из семи свободных искусств Л. объявляется необходимым элементом гуманитарного образования.

Логическая мысль раннего европейского средневековья (7—11 вв.), усваивавшего научное наследие античного мира сквозь призму христианского сознания, в творческом отношении значительно беднее эллиноримской. Как самостоятельная наука Л. развивается лишь в странах арабской культуры (См. Арабская культура), где философия остаётся относительно независимой от религии. В Европе же складывается в основном схоластическая Л. в собственном смысле — церковно-школьная дисциплина, приспособившая элементы перипатетической Л. к нуждам обоснования и систематизации христианского вероучения. Лишь в 12—13 вв., после того как все произведения Аристотеля канонизируются церковной ортодоксией, возникает оригинальная средневековая («несхоластическая») Л., известная под назв. logica modernorum. Контуры её намечены уже «Диалектикой» Абеляра, но окончательное оформление она получает к конце 13 — середине 14 вв. в работах Уильяма Шервуда, Петра Испанского, Иоанна Дунса Скота (См. Иоанн Дунс Скот), Вальтера Бурлея (Бёрли), Уильяма Оккама, Жана Буридана и Альберта Саксонского. В сочинениях этих авторов впервые прослеживаются прообраз «универсума речи» и представление о двояком использовании языка: для выражения мысли о внеязыковых фактах, когда термины «употребляются», и для выражения мысли о самом языке, когда термины «упоминаются» (употребляются автонимно). Учение о пропозициональных связках и кванторах, символизирующих характер логической связи, служит им естественным основанием для различения между «формой» и «содержанием» суждений. А в связи с задачей однозначного «прочтения» синтаксической структуры суждения средневековой логики неявно используют и понятие «области действия» логических операций (См. Логическая операция). Их учение о «следовании» основывается на различии между материальной импликацией и формальной, или тавтологичной, импликацией: для первой можно указать контрпример, для второй — нет. Поэтому материальная импликация рассматривается как выражение содержательного, или фактического, следования, а формальная — логического. Средневековые логики открыли многие известные теперь законы Л. высказываний, которая составляла основу их теории дедукции и которая, как и у стоиков, считалась более общей, чем аристотелевская силлогистика. В этот же период впервые зародилась идея машинизации процесса логического вывода и были предприняты первые попытки её реализации (Р. Луллий).

Последующие два столетия — эпоха Возрождения — для дедуктивной Л. были эпохой кризиса. Её воспринимали как опору мыслительных привычек схоластики, как Л. «искусственного мышления», освящающую схематизм умозаключений, в которых посылки устанавливаются авторитетом веры, а не познания. Руководствуясь общим лозунгом эпохи: «вместо абстракций — опыт», дедуктивной Л. стали противопоставлять Л. «естественного мышления», под которой обычно подразумевались интуиция и воображение. Леонардо да Винчи и Ф. Бэкон переоткрывают античную идею индукции и индуктивного метода, выступая с резкой критикой силлогизма. И лишь немногие, подобно падуанцу Я. Дзабарелле (16 в.), пробуют вернуть в методологию научной мысли традиционную логическую дедукцию, предварительно освободив её от схоластической философской интерпретации.

Книги Дзабареллы оказали заметное влияние на положение Л. в 17 в. Уже у Т. Гоббса и П. Гассенди дедуктивная Л. полностью освобождается от связи с теологией и перипатетической философией. Несколько раньше основатель точного естествознания Г. Галилей восстанавливает права абстракции (См. Абстракция). Он обосновывает потребность в абстракциях, которые бы «восполняли» данные опытных наблюдений, и указывает на необходимость введения этих абстракций в систему дедукции в качестве гипотез (См. Индукция), или постулатов, или аксиом, с последующим сравнением результатов дедукции с результатами наблюдений. Критицизм в отношении схоластики и одновременная реабилитация дедукции, правда, при некотором снижении интереса к формальной стороне доказательств, характерны для картезианской, т. е. опирающейся на методологические идеи Р. Декарта, логики, систематически изложенной в сочинении А. Арно и П. Николя «Логика, или Искусство мыслить» (1662), вошедшей в историю под названием логики Пор-Рояля. В этой книге Л. представлена как рабочий инструмент всех др. наук и практики, поскольку она принуждает к строгим формулировкам мысли.

Картезианская идея mathesis universalis стала ведущей в Л. середины 17 — начале 18 вв. Особое место в её развитии принадлежит Г. В. Лейбницу. Вслед за Р. Декартом, Т. Гоббсом и логиками Пор-Рояля Лейбниц считал возможным создать «всеобщую символику», своеобразный искусственный язык, который был бы свободен от многозначностей, присущих естественным разговорным языкам, понимался без словаря и был бы способен точно и однозначно выражать мысли. Такой язык мог бы играть роль вспомогательного международного языка, а также служить орудием открытия новых истин из известных. Анализируя категории Аристотеля, Лейбниц пришёл к идее выделения простейших исходных понятий и суждений, которые могли бы составить «алфавит человеческих мыслей»; эти первичные неопределяемые понятия, скомбинированные по определённым правилам, должны давать все остальные точно определимые понятия. Лейбниц полагал, что одновременно с таким анализом понятий можно создать универсальный алгоритм, который позволит провести доказательство всех известных истин и составить тем самым «доказательную энциклопедию».

С целью реализации этого замысла Лейбниц дал несколько вариантов арифметизации логики. В одном из них каждому исходному понятию сопоставляется простое число, каждому составному — произведение простых чисел, сопоставленных исходным понятиям, образующим данное составное (эта замечательная по своей простоте идея сыграла впоследствии исключительно важную роль в математике и логике благодаря работам Г. Кантора и К. Гёделя (См. Гёдель)).

К Лейбницу же восходят многие методологически важные фрагменты современной Л. Так, большое значение он придавал проблеме тождества (См. Тождество). Принимая схоластический принцип индивидуации (принцип «внутреннего различия»), положенный им в основу монадологии, Лейбниц отказался от онтологизации тождества, определяя тождество через сохраняющую истинность взаимозаменимость в контексте и намечая тем самым путь к построению теорий тождества, основанных на абстракции отождествления.

Хотя Лейбниц непосредственно не занимался индуктивной Л., соответствующая проблематика вполне им учитывалась. В частности, она нашла отражение в проводившемся им различении «истин разума» и «истин факта»; для проверки истин разума, по Лейбницу, достаточно законов аристотелевской Л.; для проверки истин факта, т. е. эмпирических истин, нужен ещё (сформулированный Лейбницем) Достаточного основания принцип. В связи с этим Лейбниц рассматривал поставленную Галилеем проблему подтверждения общих суждений о действительности эмпирическими фактами, явившись тем самым одним из создателей теории т. н. гипотетико-дедуктивного метода.

Исходным пунктом индуктивной Л. нового времени служили методологические идеи Бэкона, но систематически эта логика — Л., исследующая «обобщающие выводы» как заключения, основанные на установлении причинной связи (см. Причинность) между явлениями, — была разработана Дж. С. Миллем (См. Милль) (1843), который опирался, в свою очередь, на идеи Дж. Гершеля (См. Гершель). Развитая Миллем теория индуктивных умозаключений стала предметом разработки и критики как в Л. 19 в., так и в Л. 20 в. (в частности, в работах русских логиков М. И. Каринского и Л. Б. Рутковского и статистика А. А. Чупрова). При этом она была поставлена в связь с проблематикой теории вероятностей, с одной стороны, и алгебры логики (См. Алгебра логики) — с другой (начиная уже с работ У. С. Джевонса). Индуктивная Л. 19 в., центральным вопросом которой был вопрос о способах обоснования эмпирических заключений о закономерных (регулярных) связях явлений, в 20 в., с одной стороны, трансформировалась в вероятностную логику (См. Вероятностная логика), а с другой — вышла за пределы Л. в собственном смысле, приобретя в существенно обогащённом виде новую жизнь в современной математической статистике и теории планирования эксперимента.

Индуктивная Л. не была, однако, главной линией развития логической мысли. Этой линией стало развитие строго дедуктивной — математической — логики, истоки которой были заключены уже в сочинениях Лейбница. Хотя большая часть логического наследия последнего оставалась неопубликованной до начала 20 в., прижизненное распространение его идей оказало заметное влияние на развитие алгебрологических методов в Л., в процессе которого уже в 19 в. в трудах О. де Моргана, Дж. Буля (См. Буль), немецкого математика Э. Шрёдера, П. С. Порецкого (См. Порецкий) и др. путём применения математического (в основном алгебраического) метода к Л. была построена развитая логическая теория алгебраического характера, на основе которой в дальнейшем сформировалась современная алгебра Л.

Центральной фигурой этого «алгебро-логического» этапа в истории Л. был Буль. Он разработал свою алгебру Л. (термин «алгебра логики» был введён после Буля Ч. Пирсом) как обычную для того времени алгебру, а не как дедуктивную систему в позднейшем смысле. Не удивительно, что Буль стремился сохранить в своей алгебре Л. все арифметические операции, в том числе вычитание и деление, которые оказалось трудно истолковать логически. Алгебра логики Буля (интерпретировавшаяся прежде всего как Логика классов, т. е. объёмов понятий) была значительно упрощена и усовершенствована Джевонсом, отказавшимся в Л. от операций вычитания и деления. У Джевонса мы уже встречаем ту алгебраическую систему, которая впоследствии получила название «булевой алгебры» (у самого Буля, использовавшего в своей алгебре операцию, соответствующую исключающему логическому союзу «или», т. е. строгую дизъюнкцию, а не распространённую в современной Л. «обычную», слабую, дизъюнкцию, «булевой алгебры» непосредственно не было). Строгие методы решения логических уравнений были предложены Шрёдером (1877) и Порецким (1884). Многотомные «Лекции по алгебре логики» (1890—1905) Шрёдера (вместе с работами Порецкого вплоть до 1907) явились высшей точкой развития алгебры Л. 19 в.

История алгебры Л. началась с попыток перенести в Л. все операции и законы арифметики, но постепенно логики начинали сомневаться не только в правомерности, но и в целесообразности такого переноса. Они выработали специфические именно для Л. операции и законы. Наряду с алгебраическими в Л. издавна применялись геометрические (точнее, графические) методы. Приёмами представления модусов силлогизмов с помощью геометрических фигур владели античные комментаторы Аристотеля. Использование с этой целью кругов, обычно приписываемое Л. Эйлеру, было известно ещё И. К. Штурму (1661) и Лейбницу, владевшему и отличными от эйлеровых методами. Способы геометрической интерпретации предложений Л. имелись у И. Г. Ламберта и Б. Больцано. Но особенного расцвета эти методы достигли в трудах Дж. Венна, разработавшего графический аппарат диаграмм (см. Логические диаграммы.), фактически полностью эквивалентный Л. классов и носящий уже не только иллюстративный, но и эвристический характер.

К концу 19 в. в дедуктивной Л. произошёл глубокий переворот, связанный с работами Дж. Пеано, Пирса и Г. Фреге, которые преодолели узость чисто алгебраического подхода прежних авторов, осознали значение математической Л. для математиков и начали применять её к вопросам оснований арифметики и теории множеств. Достижения этого периода, в особенности связанные с аксиоматическим построением Л., в наиболее чёткой форме можно проследить в исследованиях Фреге. Начиная со своей работы «Исчисление понятий» (1879), он развил совершенно строгое аксиоматическое построение исчисления высказываний и предикатов. Его формализованная Л. содержала все основные элементы современных логических исчислений: пропозициональные переменные (переменные для высказываний), предметные переменные, Кванторы (для которых он ввёл специальные символы) и Предикаты; он подчёркивал различие между логическими законами (См. Логический закон) и правилами логического вывода, между переменной и константой, различал (не вводя, правда, особых терминов) язык и метаязык (см. Метатеория, Метаязык).Его исследования (так же как аналогичные работы Пирса) в области логической структуры естественного языка и семантики логических исчислений положили начало проблемам логической семантики (См. Логическая семантика). Большой заслугой Фреге явилась разработка системы формализованной арифметики, основанной на развитой им логике предикатов (См. Логика предикатов). Эти работы Фреге и выявившиеся в связи с ними трудности послужили исходным пунктом развития современной теории математического Доказательства.

Фреге употреблял оригинальную символику, которая, в отличие от обычно применяемой одномерной, была двумерной (она не привилась). Современная система обозначений в Л. восходит к символике, предложенной Дж. Пеано. С некоторыми изменениями она была воспринята Б. Расселом, создавшим совместно с А. Н. Уайтхедом трёхтомный труд «Принципы математики» — труд, систематизировавший и развивший далее дедуктивно-аксиоматическое построение Л. в целях логического обоснования математического анализа (см. Логицизм).

С этого сочинения и начавших появляться с 1904 работ Д. Гильберта по математической Л. естественно датировать начало современного этапа логических исследований.

М. М. Новосёлов, 3. А. Кузичева, Б. В. Бирюков.

Предмет и метод современной логики. Современная Л. развилась в точную науку, применяющую математические методы. Она стала, по словам Порецкого, математической логикой — Л. по предмету, математикой по методу. В этом качестве Л. стала пригодной для правильной постановки и решения логических проблем математики, в особенности проблем, связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений математических теорий. Точная постановка таких проблем требует прежде всего уточнения понятия доказательства. Всякое математическое доказательство состоит в последовательном применении тех или иных логических средств к исходным положениям. Но логические средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз навсегда установленного. Они вырабатывались в процессе многовековой человеческой практики; «... практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» (Ленин В. И., Полн. собр. соч., 5 изд., т. 29, с. 172). Человеческая практика является, однако, на каждом историческом этапе ограниченной, а объём её всё время растёт. Логические средства, удовлетворительно отражавшие практику человеческого мышления на данном этапе или в данной области, могут оказаться неподходящими на следующем этапе или в другой области. Тогда в зависимости от изменения содержания рассматриваемого предмета изменяется и способ его рассмотрения — изменяются логические средства. Это в особенности относится к математике с её далеко идущими многократными абстракциями. Здесь совершенно бессмысленно говорить о логических средствах как о чём-то данном в своей совокупности, как о чём-то абсолютном. Зато имеет смысл рассмотрение логических средств, применяемых в той или иной конкретной обстановке, встречающейся в математике. Их установление для какой-либо данной математической теории и составляет искомое уточнение понятия доказательства применительно к этой теории. Важность этого уточнения для развития математики выявилась в особенности в связи с проблемами её оснований. Разрабатывая множеств теорию (См. Множеств теория), исследователи столкнулись с рядом своеобразных трудных проблем. Исторически первой из них явилась проблема о мощности континуума, выдвинутая Кантором (1883), к которой до 1939 не было найдено подходов (см. Континуума проблема).Другие проблемы, столь же упорно не поддававшиеся решению, встретились в т. н. дескриптивной теории множеств, успешно разрабатываемой советскими математиками. Постепенно становилось всё более ясно, что трудность этих проблем имеет логическую природу, что эта трудность обусловлена неполной выявленностью применяемых логических средств и что единственным путём к её преодолению является уточнение этих средств. Выяснилось, т. о., что разрешение этих задач требует привлечения новой математической науки — математической логики. Надежды, возлагавшиеся на математическую Л. в связи с этими проблемами, оправдались. В особенности это касается проблемы континуума, которая может считаться полностью решённой благодаря работам К. Гёделя (1939) и П. Коэна (1963). Первый из них доказал совместимость обобщённой континуум-гипотезы Кантора с аксиомами теории множеств в предположении непротиворечивости последних. Второй при том же предположении доказал независимость континуум-гипотезы от аксиом теории множеств, т. е. её недоказуемость. Аналогичные результаты были получены П. С. Новиковым (1951) в отношении ряда проблем дескриптивной теории множеств. Уточнение понятия доказательства в математической теории путём установления допускаемых логических средств является существенным этапом её развития. Теории, прошедшие этот этап, называются дедуктивными теориями. Лишь для них допускают точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости.

Для решения этих проблем в современной Л. применяется метод формализации доказательств — один из основных её методов. Сущность его состоит в следующем.

Формулировки теорем и аксиом развиваемой теории полностью записываются в виде формул, для чего употребляется особая символика, пользующаяся, наряду с обычными математическими знаками, знаками для логических связок, применяемых в математике: «... и...», «... или...», «если..., то...», «неверно, что...», «при всяком...», «существует... такой, что...». Всем логическим средствам, с помощью которых теоремы выводятся из аксиом, ставятся в соответствие правила вывода новых формул из уже выведенных. Эти правила формальны, т. е. таковы, что для проверки правильности их применений нет надобности вникать в смысл формул, к которым они применяются, и формулы, получаемой в результате; надо лишь убедиться, что эти формулы построены из таких-то знаков, так-то расположенных. Доказательство теоремы отображается в выводе выражающей её формулы. Вывод же этот рассматривается как ряд формул, в конце которого стоит формула, подлежащая выводу. В выводе всякая формула либо выражает аксиому, либо получается из одной или нескольких предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула считается выводимой, если может быть построен её вывод.

Если сопоставление правил вывода применяемым логическим средствам было произведено надлежащим образом, то получают возможность судить о доказуемости теорем в данной теории по выводимости выражающих их формул. Выяснение выводимости или невыводимости той или иной формулы есть задача, не требующая привлечения далеко идущих абстракций, и решать эту задачу часто бывает возможно сравнительно элементарными методами.

Идея метода формализации доказательств принадлежит Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало, однако, возможным благодаря предшествовавшей разработке математической Л. (см. раздел История логики).

Применение идеи формализации доказательств бывает обычно связано с выделением логической части рассматриваемой дедуктивной теории. Эта логическая часть, оформляемая, как и вся теория, в виде некоторого исчисления, т. е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода, может тогда рассматриваться как самостоятельное целое.

Простейшими из логических исчислений являются исчисления высказываний: классическое и интуиционистское. В них употребляются следующие знаки: 1) т. н. логические переменные — буквы А, В, С,..., означающие произвольные «высказывания» (смысл этого термина объясняется ниже); 2) знаки логических связок &, ﹀, ⊃, ⌉, означающие соответственно «... и...», «... или...», «если..., то...», «неверно, что...»; 3) скобки, выявляющие строение формул. Формулами в этих исчислениях считаются логические переменные и всякие выражения, получаемые из них путём повторного применения следующих операций: 1) присоединение к ранее построенному выражению знака ⌉ слева, 2) написание двух ранее построенных выражений рядом друг за другом со включением одного из знаков &, ﹀ или ⊃ между ними и с заключением всего в скобки. Например, следующие выражения являются формулами:

1. (А⊃(В⊃А)),

2. ((А⊃(В⊃С)) ⊃((А⊃В) ⊃(А⊃С))),

3. ((A&B) ⊃A),

4. ((А&. В) ⊃В),

5. (A⊃(B⊃(A&B))),

6. ((А⊃С) ⊃((В⊃С) ⊃((А﹀В) ⊃С))),

7. (А⊃(А﹀В)),

8. (B⊃(A﹀B)),

9. (⌉А⊃(А⊃В)),

10. ((A⊃B) ⊃((A⊃⌉B) ⊃⌉A)),

11. (A﹀⌉A).

В обоих исчислениях высказываний — классическом и интуиционистском — употребляются одни и те же правила вывода.

Правило подстановки. Из формулы выводится новая формула путём подстановки всюду вместо какой-либо логической переменной произвольной формулы.

Правило вывода заключений. Из формул

Эти правила отражают обычные способы рассуждений: переход от общего к частному и вывод следствий из доказанных посылок.

Различие между двумя исчислениями высказываний проявляется в наборах их аксиом. В то время как в классическом исчислении высказываний в качестве аксиом принимаются все формулы 1—11, в интуиционистском исчислении высказываний лишь первые десять из этих формул принимаются в качестве аксиом. Одиннадцатая формула, выражающая закон исключенного третьего (см. ниже), оказывается невыводимой в интуиционистском исчислении. Чтобы получить представление о выводе формул в исчислениях высказываний, выведем в интуиционистском исчислении формулу ⌉(А&⌉А), выражающую закон противоречия.

Применим правило подстановки к аксиомам 3 и 4, подставив в них формулу ⌉А вместо переменной В:

((А&⌉А) ⊃ А), (1)

((А&⌉А) ⊃ ⌉А). (2)

Подставив затем в аксиому 10 формулу (А&⌉А) вместо А, получим

(((А&⌉А) ⊃ В) ⊃ (((А&⌉А) ⊃ ⌉В) ⊃ ⌉(А&⌉А))). (3)

Подставив далее в формулу (3) формулу А вместо переменной В, получим

(((А&⌉А) ⊃ А) ⊃ (((А&⌉А) ⊃ ⌉А) ⊃ ⌉(А&⌉А))). (4)

Применив к формулам (1) и (4) правило вывода заключений, получим

(((А&⌉А) ⊃ ⌉А) ⊃ ⌉(А&⌉А)). (5)

Применив, наконец, правило вывода заключений к формулам (2) и (5), получим формулу ⌉(А&⌉А), которая, т. о., выводима в интуиционистском исчислении высказываний.

Формальное различие двух исчислений высказываний отражает глубокое различие в их истолкованиях, различие, касающееся смысла логических переменных, т. е. самого понимания термина «высказывание». При общепринятом истолковании классические исчисления высказываний этот термин понимается примерно как «суждение» в смысле Аристотеля (см. Суждение). Предполагается, что высказывание непременно истинно или ложно. Подстановка произвольных высказываний, т. е. суждений, вместо логических переменных в формулу даёт некоторую логическую комбинацию этих суждений, рассматриваемую также как суждение. Истинность или ложность этого суждения определяется исключительно истинностью или ложностью суждений, подставляемых вместо логических переменных, согласно следующим определениям смысла логических связок.

Суждение вида (Р&Q), называется конъюнкцией суждений Р и Q, есть суждение истинное, когда истинны оба эти суждения, и ложное, когда ложно хотя бы одно из них. Суждение вида (P﹀Q), называется дизъюнкцией суждений Р и Q, есть суждение истинное, когда истинно хотя бы одно из этих суждений, и ложное, когда ложны оба. Суждение вида (Р ⊃ Q), называется импликацией суждений Р и Q, есть суждение ложное, когда истинно Р и ложно Q, и истинное во всех остальных случаях. Суждение вида ⌉ Р, называется отрицанием суждения Р, есть суждение истинное, когда Р ложно, и ложное, когда Р истинно.

Необходимо отметить, что, согласно данному выше определению, импликация не вполне совпадает по смыслу с житейским словоупотреблением связки «если..., то...». Однако в математике эта связка обычно применялась именно в смысле этого определения импликации. Доказывая теорему вида «если Р, то Q», где Р и Q суть некоторые математические суждения, математик делает предположение об истинности Р и тогда доказывает истинность Q. Он продолжает считать теорему верной, если впоследствии будет доказана ложность Р или истинность Q будет доказана и без предположения об истинности Р. Опровергнутой он считает эту теорему лишь тогда, когда установлена истинность Р и вместе с тем ложность Q. Всё это вполне согласуется с определением импликации (Р ⊃ Q).

Необходимо также подчеркнуть принятое в математической Л. неисключающее понимание дизъюнкции. Дизъюнкция (Р﹀Q), по определению, истинна и в том случае, когда истинны оба суждения Р и Q.

Формула Исключённого третьего принцип).

Нетрудно проверить, что и все аксиомы 1—11 классически общезначимы и что правила вывода в применении к классически общезначимым формулам дают лишь классически общезначимые формулы. Отсюда следует, что все выводимые формулы классического исчисления высказываний классически общезначимы. Обратное также имеет место: всякая классически общезначимая формула выводима в классическом исчислении высказываний, в чём состоит полнота этого исчисления.

Иная трактовка логических переменных лежит в основе интуиционистского истолкования исчисления высказываний. Согласно этой трактовке, всякое математическое высказывание требует проведения некоторого математического построения с некоторыми заданными свойствами. Высказывание можно утверждать, коль скоро это построение выполнено. Конъюнкцию (А&В) двух высказываний А и В можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать как А, так и В.

Дизъюнкцию (А﹀В) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний А и В. Отрицание ⌉А высказывания А можно утверждать тогда и только тогда, когда у нас есть построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение, требуемое высказыванием А, выполнено. (При этом «приведение к противоречию» считается первоначальным понятием.) Импликацию (А⊃В) можно утверждать тогда и только тогда, когда мы располагаем таким построением, которое, будучи объединено с любым построением, требуемым высказыванием А, даёт построение, требуемое высказыванием В.

Формула

Формулы 1—10 являются интуиционистски общезначимыми, тогда как формула 11, выражающая классический закон исключенного третьего, не является таковой.

В известном отношении близкой к интуиционизму является точка зрения конструктивной математики (См. Конструктивная математика), уточняющая несколько расплывчатые интуиционистские понятия импликации и общего метода на основе точного понятия Алгоритма. С этой точки зрения закон исключенного третьего также отвергается. Л. конструктивной математики находится в стадии разработки.

С методом формализации доказательств связано понятие формальной системы. Формальная система включает следующие элементы.

1. Формализованный язык с точным синтаксисом, состоящий из точных и формальных правил построения осмысленных выражений, называется формулами данного языка.

2. Чёткую семантику этого языка, состоящую из соглашений, определяющих понимание формул и тем самым условия их истинности.

3. Исчисление (см. выше), состоящее из формализованных аксиом и формальных правил вывода. При наличии семантики эти правила должны быть согласованы с ней, т. е. при применении к верным формулам давать верные формулы.

Исчисление определяет выводы (см. выше) и выводимые формулы — заключительные формулы выводов. Для выводов имеется распознающий алгоритм — единый общий метод, с помощью которого для любой цепочки знаков, применяемых в исчислении, можно узнавать, является ли она выводом. Для выводимых формул распознающий алгоритм может быть и невозможен (примером является исчисление предикатов, см. Логика предикатов).

Об исчислении говорят, что оно непротиворечиво, если в нём не выводима никакая формула Математический формализм) Гильбертом.

В 70-е гг. 20 в. получила развитие идея полуформальной системы. Полуформальная система — это также система некоторых правил вывода. Однако некоторые из этих правил могут иметь существенно иной характер, чем правила вывода формальной системы. Они, например, могут допускать выведение новой формулы после того, как с помощью интуиции создалось убеждение в выводимости любой формулы такого-то вида. Сочетание этой идеи с идеей ступенчатого построения математической Л. лежит в основе одного из современных построений логики конструктивной математики. В приложениях математической Л. часто применяются исчисления предикатов — классическое и интуиционистское.

Математическая Л. органически связана с кибернетикой (См. Кибернетика), в частности с математической теорией управляющих систем и математической лингвистикой (См. Математическая лингвистика). Приложения математической Л. к релейно-контактным схемам основаны на том, что всякая двухполюсная релейно-контактная схема в следующем смысле моделирует некоторую формулу _i суждение «Реле номер i сработало», то цепь будет тогда и только тогда замкнута, когда будет верен результат подстановки суждений _i вместо соответствующих логических переменных в ₁ и Ц₂, тогда и только тогда замкнута, когда замкнута цепь Ц₁ или (и) замкнута цепь Ц₂. Применение исчисления высказываний к релейно-контактным схемам открыло плодотворный подход к важным проблемам современной техники. Это же применение обусловило постановку и частичное решение многих новых и трудных проблем математической Л., к числу которых в первую очередь относится т. н. проблема минимизации, состоящая в разыскании эффективных методов нахождения простейшей формулы, равносильной данной формуле.

Релейно-контактные схемы являются частным случаем управляющих схем, применяемых в современных автоматах. Управляющие схемы иных типов, в частности схемы из электронных ламп или полупроводниковых элементов, имеющие ещё большее практическое значение, также могут быть разрабатываемы с помощью математической Л., которая доставляет адекватные средства как для анализа, так и для синтеза таких схем. Язык математической Л. оказался также применимым в теории программирования, создаваемой в связи с развитием машинной математики. Наконец, созданный математической Л. аппарат исчислений оказался применимым в математической лингвистике, изучающей язык математическими методами.

А. А. Марков.

Научные учреждения и издания. Преподавание и исследовательская работа по Л. являются неотъемлемой частью научной и культурной жизни большинства стран мира. В СССР научно-исследовательская работа в области Л. ведётся в основном в научно-исследовательских центрах Москвы, Ленинграда, Новосибирска, Киева, Кишинева, Риги, Вильнюса, Тбилиси, Еревана и др. городов отделениями математических институтов АН СССР и союзных республик, институтами философии, кафедрами Л. университетов и некоторых др. вузов. Публикации работ по Л. в СССР осуществляются: в непериодических изданиях в форме тематических сборников и монографий (в частности, начиная с 1959 в серии «Математическая логика и основания математики»), в непериодических изданиях «Трудов Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР» (с 1931), в сборниках «Алгебра и логика» (Новосибирск, с 1962), в «Записках» научных семинаров по Л., в математических и философских журналах. В реферативном журнале «Математика» и в реферативных журналах института научной информации по общественным наукам АН СССР систематически освещаются работы советских и зарубежных авторов по Л. Из специальных зарубежных изданий, освещающих проблематику Л., наиболее известны: международная монографическая серия «Studies in Logic...» (Amst., с 1965) и журналы: «The Journal of Symbolic Logic» (Providence, с 1936); «Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik» (В., с 1955); «Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung» (Stuttg., с 1950); «Logique et analyse» (Louvain, с 1958); «Journal of philosophical logic» (Dordrecht, с 1972); «International logic review» (Bologna, с 1970); «Studia Logica» (Warsz., с 1953); «Notre Dame Journal of formal Logic» (Notre Dame, с 1960).

Основную организационную работу, связанную с обменом научной информацией в области Л., осуществляет пользующаяся поддержкой ООН Ассоциация символической логики. Ассоциация организует международные конгрессы по Л., методологии и философии науки. Первый такой конгресс состоялся в 1960 в Станфорде (США), второй — в 1964 в Иерусалиме, третий — в 1967 в Амстердаме, четвёртый — в 1971 в Бухаресте.

З. А. Кузичева, М. М. Новосёлов.

Лит.:Основные классические работы.Аристотель, Аналитики первая и: вторая, пер. с греч., М., 1952; Leibniz G. W., Fragmente zur Logik, В., 1960; Кант И., Логика, пер. с нем., П., 1915; Милль Дж. С., Система логики силлогистической и индуктивной, пер. с англ., 2 изд., М., 1914; De Morgan A., Formal logic or the calculus of inference, necessary and probable, L., 1847 (перепечатка, L., 1926); Boole G., The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of deductive reasoning, L. — Camb., 1847 (перепечатка, N. Y., 1965); Schröder Е., Der Operationskreis des Logikkalkuls, Lpz., 1877; Frege G., Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879; Джевонс С., Основы науки, Трактат о логике и научном методе, пер. с англ., СПБ, 1881; Порецкий П. С., О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики, Казань, 1884; Whitehead A. N., Russell B., Principia mathematica, 2 ed., v. 1—3, Camb., 1925—27.

История. Владиславлев М., Логика, СПБ, 1872 (см. «Приложение»); Троицкий М., Учебник логики с подробным указанием на историю и современное состояние этой науки в России и в других странах, т. 1—3, М., 1885—88; Яновская С. А., Основания математики и математическая логика, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет, М. — Л., 1948; её же, Математическая логика и основания математики, в кн.: Математика в СССР за сорок лет, т. 1, М., 1959; Попов П. С., История логики нового времени, М., 1960; Котарбиньский Т., Лекции по истории логики, Избр. произв., пер. с польск., М., 1963, с. 353—606; Стяжкин Н. И., Формирование математической логики, М., 1967; Prantl К., Geschichte der Logik im Abendlande, Bd 1—4, Lpz., 1855—70; Bochenski I. М., Formale Logik, Münch., 1956; Minio Paluello L., Twelfth century logic. Texts and Studies, v. 1—2, Roma, 1956—58; Scholz Н., Abriss der Geschichte der Logik, Freiburg — Münch., 1959; Lewis C. I., A survey of symbolic logic, N. Y., 1960; lørgensen J., A treatise of formal logic: Its evolution and main branches with its relation to mathematics and philosophy, v. 1—3, N. Y., 1962; Kneale W., Kneale М., The development of logic, 2 ed., Oxf., 1964; Dumitriu A., Istoria logicii, Buc., 1969; Blanché R., La logique et son histoire. D'Aristote a Russell, P., 1971; Berka K., Kreiser L., Logik — Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, B., 1971.

Учебные курсы. Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Гжегорчик А., Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений, пер. с польск., М., 1965; Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971; Марков А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972.

Некоторые монографии. Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Рейтинг А., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1—2, В., 1934—39; Markov A. A., Essai de construction d'une logique de la mathématique constructive, Brux., 1971.

Энциклопедии и словари. Философская энциклопедия, т. 1—5, М., 1960—70; Кондаков Н. И., Логический словарь, М., 1971; Encyclopedia of Philosophy. v. 1—8, N. Y., 1967; Mała encykiopedia Logiki, Wrocław — Warsz. — Krakόw, 1970.

Библиография. Примаковский А. П., Библиография по логике. Хронологический указатель произведений по вопросам логики, изданных на русском языке в СССР в 18—20 вв., М., 1955; Ивин А. А., Примаковский А. П., Зарубежная литература по проблемам логики (1960—1966), «Вопросы философии», 1968, № 2; Church A., A bibliography of symbolic logic, «The Journal of Symbolic Logic», 1936, v. 1, № 4; его же, Additions and corrections to «A bibliography of symbolic logic», там же, 1938, v. 3, № 4; Beth E. W., Symbolische Logik und Grundlegung der exakten Wissenschaften, Bern, 1948 (Bibliographische Einführung in das Studium der Philosophie, Bd 3); Brie G. A. de, Bibliographia Philosophica. 1934—1945, Bd 1—2, Brux., 1950—54; Küng G., Bibliography of soviet works in the field of mathematical logic and the foundations of mathematics, from 1917—1957, «Notre Dame Journal of Formal Locic», 1962, № 3; Hänggi J., Bibliographie der Sovjetischen Logik, Bd 2, Winterthur, 1971.

1. ло́гика;
2. ло́гики;
3. ло́гики;
4. ло́гик;
5. ло́гике;
6. ло́гикам;
7. ло́гику;
8. ло́гики;
9. ло́гикой;
10. ло́гикою;
11. ло́гиками;
12. ло́гике;
13. ло́гиках.

жен., греч. наука здравомыслия, наука правильно рассуждать; умословие. Логик муж. умослов, правильный и здравый мыслитель, знающий науку правильного рассуждения. Логический, логичный, согласный с логикою; здравое, правильное рассуждение. Логистика мат. алгебра.

| Логарифмика.

| Часть тактики, о передвижении войск. Логомахия жен. словопрение, спор из пустого в порожнее. Логогриф муж. род загадки, в которой слово разлагается по слогам.

ЛО́ГИКА, -и, жен.

1. Наука о законах и формах мышления. Формальная л. Диалектическая л.

2. Ход рассуждений, умозаключений. У этого человека своя л. Женская л. (непоследовательная, непонятная; шутл.).

3. Разумность, внутренняя закономерность чего-н. Л. вещей. Л. событий.

| прил. логический, -ая, -ое. Л. вывод. Логическая ошибка.

-и, ж.

1.

Наука о законах и формах мышления.

Формальная логика. Диалектическая логика.

2.

Ход рассуждений, умозаключений.

Это был человек безукоризненной логики, всегда лучше других умевший обосновать то, в чем он был убежден. Сергеев-Ценский, Пушки выдвигают.

После долгих споров, после обидных и резких разговоров Коля сдался; железная логика и опыт прожитых лет победили. Вирта, Закономерность.

||

Правильность, разумность умозаключений.

[Пахотин] судит обо всем часто наперекор логике, но владеет софизмом с необыкновенною ловкостью. И. Гончаров, Обрыв.

Логика его выводов была безупречной, и он имел мало конкурентов у доски, на которой выстукивал мелом схемы опытов или решал дифференциальные уравнения. Чижевский, Вся жизнь.

3. чего или какая.

Внутренняя закономерность.

Логика событий. По логике вещей.

□

Законы социальной жизни обладают гораздо большей точностью, гораздо большим удобством, большей логикой, чем законы природы. Макаренко, Книга для родителей.

Переводчик должен стремиться к тому, чтобы каждая фраза, переведенная им, звучала по-русски, подчиняясь логике и эстетике русского языка. К. Чуковский, Высокое искусство.

- женская логика

[От греч. λογική — наука о мышлении]

(иноск.) — соображения, рассуждения, (собств.) логика — наука правильно мыслить, рассуждать

Ср. "Где же тут логика?" — "где же тут здравый смысл, последовательность?"

Ср. Судья... должен говорить, подобно Лютеру: "ich kann nicht anders!" — я не могу иначе, — не могу потому, что и логика вещей, и внутреннее чувство, и житейская правда, и смысл закона — твердо и неуклонно подсказывают мне мое решение...

А.Ф. Кони. Нравственные начала в уголовном процессе.

Ср. Hier steh'ich, ich kann nicht anders, Gott helfe mir Armen.

Luther. 18 April 1521 (Worms. Reichsversammlung).

Ср. Logica (ή λογική) — логика, наука о мышлении.

ЛО́ГИКА, логики, жен. (греч. logike от logos - слово, разум).

1. Наука об общих законах развития объективного мира и познания (филос.). «Логика есть учение не о внешних формах мышления, а о законах развития "всех материальных, природных и духовных вещей", т.е. развития всего конкретного содержания мира и познания его, т.е. итог, сумма, вывод истории познания мира.» Ленин. Формальная, логика идеалистической философии считает общие понятия и формы познания неизменными, раз навсегда данными. Логика диалектического материализма утверждает, что формы познания меняются вместе с изменением объективного мира, и потому является наукой об историческом развитии человеческого мышления, как отражения в сознании развития объективного мира.

2. Разумность, правильность умозаключений. Говорить с неотразимой логикой.

3. Внутренняя закономерность. Логика вещей. Логика событий. Неумолимая логика истории. В его поступках нет никакой логики.

I

1.

Наука о законах и формах мышления.

2.

Научная дисциплина, изучающая способы доказательств и опровержений.

II

1.

Внутренняя закономерность, присущая явлениям природы, общества.

2.

Правильный, разумный ход рассуждений, умозаключений.

ЛОГИКА (греч. logike) - наука о способах доказательств и опровержений; совокупность научных теорий, в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержений. Основателем логики считается Аристотель. Различают индуктивную и дедуктивную логику, а в последней - классическую, интуиционистскую, конструктивную, модальную и др. Все эти теории объединяет стремление к каталогизации таких способов рассуждений, которые от истинных суждений-посылок приводят к истинным суждениям-следствиям; каталогизация осуществляется, как правило, в рамках логических. исчислений. Особую роль в ускорении научно-технического прогресса играют приложения логики в вычислительной математике, теории автоматов, лингвистике, информатике и др. См. также Математическая логика.

ЛОГИКА (греческое logike), наука о способах доказательств и опровержений; совокупность научных теорий, в которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержений. Основателем логики считается Аристотель. Различают индуктивную и дедуктивную логику, а в последней - классическую, интуиционистскую, конструктивную, модальную и др. Все эти теории объединяет стремление к систематизации таких способов суждений, которые от истинных суждений-посылок приводят к истинным суждениям - следствиям. Особую роль играют приложения логики в вычислительной математике, теории автоматов, лингвистике, информатике и др. Смотри также Математическая логика.

ло́гика Возм., через нем. Logik (ХVI в.; см. Шульц–Баслер 2, 39) от лат. lоgiса, греч. λογική.

жен. logic четкая логика ≈ clear logic индуктивная логика ≈ inductive logic дедуктивная логика ≈ deductive logic нарушение логики ≈ paralogism формальная логика ≈ formal logicж. logic;
~ вещей the logic of things;
~ событий the logic of events;
у него своя ~ he acts according to a logic of his own.

f.logic; математическая логика, mathematical logic; функции алгебры логики, Boolean functions

логика ж Logik f

ж

Logik f

ж.

logique f

формальная логика — logique formelle

отсутствие логики — manque m de logique

женская логика — la logique de la femme

логика вещей — la logique des choses

ж.

lógica f

форма́льная ло́гика — lógica formal

•
•

же́нская ло́гика — lógica del corazón

ж.

logica

логика событий — la logica degli avvenimenti / dei fatti

•
•

железная логика — una logica di ferro / stringente

逻辑

ЛОГИКА

(от греч. logos — слово, понятие, рассуждение, разум), или Формальная логика, — наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Различие между формой и содержанием может быть сделано явным с помощью особого языка, оно относительно и зависит от выбора языка.

Отличительная особенность правильного вывода в том, что от истинных посылок он всегда ведет к истинному заключению. Такой вывод позволяет из имеющихся истин получать новые истины с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.п. Неправильные выводы могут от истинных посылок вести как к истинным, так и к ложным заключениям.

Л. занимается не только связями высказываний в правильных выводах, но и многими иными проблемами: смыслом и значением выражений языка, различными отношениями между терминами (понятиями), операциями определения и логического деления понятий, вероятностными и статистическими рассуждениями, парадоксами и логическими ошибками и т.д. Но главная тема логических исследований — анализ правильности рассуждения, формулировка законов и принципов, соблюдение которых является необходимым условием получения истинных заключений в процессе вывода.

Правильным является, напр., рассуждение, следующее схеме: «Если есть первое, то есть и второе; есть первое; значит, есть и второе». По этой схеме из высказываний «Если сейчас день, то светло» и «Сейчас день» вытекает высказывание «Сейчас светло». Какие бы конкретные истинные высказывания ни подставлялись в указанную схему, заключение обязательно будет истинным.

В правильном рассуждении заключение вытекает из посылок с логической необходимостью, общая схема такого рассуждения выражает логический закон. Рассуждать логически правильно — значит рассуждать в соответствии с законами Л.

Л. не просто перечисляет некоторые схемы правильного рассуждения. Она выявляет различные типы таких схем, устанавливает общие критерии их правильности, выделяет исходные схемы, из которых по определенным правилам могут быть получены др. схемы данного типа, исследует проблему взаимной совместимости схем и т.д.

В современной логике логические процессы изучаются путем их отображения в формализованных языках, или логических исчислениях. Построение исчисления отличается тщательностью, с которой формулируются его синтаксические и семантические правила, отсутствием исключений, характерных для естественного языка. Исследованием формального строения логических исчислений, правил образования и преобразования входящих в них выражений занимается логический синтаксис. Отношения между исчислениями и содержательными областями, служащими интерпретациями или моделями, исследуются семантикой логической.

Современная Л. слагается из большого числа логических систем, описывающих отдельные фрагменты, или типы, содержательных рассуждений. Эти системы принято делить на классическую Л., включающую классические Л. высказываний и Л. предикатов, и неклассическую, в которую входят модальная логика, интуиционистская логика, многозначная логика, неклассические теории логического следования, пара-непротиворечивая логика, Л. квантовой механики и др. Каждая из этих Л. также включает, как правило, соответствующие Л. высказываний и Л. предикатов. Т.о., хотя Л. как наука едина, она слагается из множества более или менее частных систем, ни одна из которых не может претендовать на выявление логических характеристик мышления в целом. Единство Л. проявляется прежде всего в том, что входящие в нее «отдельные» Л. пользуются при описании логических процессов одними и теми же методами исследования. Все они отвлекаются от конкретного содержания высказываний и умозаключений и оперируют только их формальным, структурным содержанием. В каждой применяется язык символов и формул, строящийся в соответствии с общими для всех систем принципами. И наконец, «сконструированная» Л. вызывает ряд вопросов, характерных для любой системы: нет ли в ней противоречий, охватывает ли она все истины рассматриваемого рода, и др. Между разными логическими системами имеются определенные связи. Одни системы могут быть эквивалентны другим, или включаться в них, или быть их обобщением, и т.д. Единство Л. проявляется также в том, что разные Л. не противоречат друг другу: законами одной из них не являются отрицания законов, принятых в другой.

История Л. насчитывает около двух с половиной тысячелетий и разделяется на два основных этапа. Первый начался с трудов Аристотеля и продолжался до втор. пол. 19 в. — нач. 20 в., второй — с этого времени до наших дней. На первом этапе Л. развивалась очень медленно, это дало И. Канту повод заявить, что она является с самого начала завершенной наукой, не продвинувшейся после Аристотеля ни на один шаг. Ошибочность такого представления была ясно показана в последние сто с небольшим лет, когда в Л. произошла научная революция и на смену традиционной логике пришла современная Л., называемая также математической, или символической, логикой. В основе последней — идеи Г. Лейбница о возможности представить доказательство как математическое вычисление. Дж. Буль истолковал умозаключение как результат решения логических равенств, в результате чего теория умозаключения приняла вид своеобразной алгебры, отличающейся от обычной алгебры лишь отсутствием численных коэффициентов и степеней. С работ Г. Фреге начинается применение Л. для исследования оснований математики. Значительный вклад в развитие Л. в дальнейшем внесли Б. Рассел, А.Н. Уайтхед, Д. Гильберт и др. В 1930-е гг. фундаментальные результаты получили К. Гёдель, А. Тарский, А. Чёрч.

Современная Л. с особой наглядностью показала, что развитие Л. тесно связано с практикой теоретического мышления и прежде всего с развитием науки. Конкретные рассуждения дают Л. материал, из которого она извлекает то, что именуется логической формой, логическим законом и т.п. Теории логической правильности оказываются очищением, систематизацией и обобщением практики мышления.

Л. активно реагирует на изменения в стиле и способе научного мышления, на осмысление его особенностей в методологии науки. Сфера приложений Л. в изучении систем научного знания непрерывно расширяется.

На первых порах современная Л. ориентировалась почти всецело на анализ математических рассуждений. Это поддерживало иллюзию, что развитие Л. не зависит от эволюции теоретического мышления и не является в к.-л. смысле отображением последней.

В 1920-е гг. предмет логических исследований существенно расширился. Начали складываться многозначная Л., предполагающая, что наши утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и др. истинностные значения; модальная Л., рассматривающая понятия необходимости, возможности, случайности и т.п.; деонтическая логика, изучающая логические связи нормативных высказываний, и др. Все эти новые разделы не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического исследования вовлекались уже естественные и гуманитарные науки.

В дальнейшем сложились и нашли интересные применения: времени логика, описывающая логические связи высказываний о прошлом и будущем, паранепротиворечивая Л., не позволяющая выводить из противоречий все что угодно; эпистемическая логика, изучающая понятия «опровержимо», «неразрешимо», «доказуемо», «убежден», «сомневается» и т.п.; оценок логика, имеющая дело с понятиями «хорошо», «плохо», «безразлично», «лучше», «хуже» и т.п.; изменения логика, говорящая об изменении и становлении нового; причинности логика, изучающая утверждения о детерминизме и причинности, пара-фальсифицирующая логика, не позволяющая отвергать положения, хотя бы одно следствие которых оказалось ложным, и др. Экстенсивный рост Л. не завершился и сейчас. Основные ее ветви, или разделы, можно сгруппировать так:

базисная Л., в которую входят классическая Л., модальная Л., многозначная Л., неклассические теории логического следования;

металогика, исследующая сами логические теории, их внутреннюю структуру и связи с описываемой ими реальностью;

разделы математического направления, включающие теорию доказательства, теорию множеств, теорию функций, Л. вероятностей, обоснование математики;

разделы, ориентированные на приложение в естественных и гуманитарных науках, такие, как индуктивная Л., изучающая проблематичные выводы, логические теории времени, причинности, норм, оценок, действия, решения и выбора и др.;

разделы, находящие применение при обсуждении определенных философских проблем: Л. бытия, Л. изменения, Л. части и целого, логические теории вопросов, знания, убеждения, воображения, стремления и т.п.

Границы между этими областями не являются четкими, одни и те же ветви Л. могут иметь одновременно отношение к философии и естествознанию, к математике и металогике и т.д.

Прояснение и углубление оснований современной Л. сопровождалось пересмотром и уточнением таких центральных ее понятий, как логическая форма, логический закон, доказательство, логическое следование и др.

Законы Л. долгое время представлялись абсолютными истинами, никак не связанными с опытом. Однако возникновение конкурирующих логических теорий, отстаивающих разные множества законов, показало, что Л. складывается в практике мышления и что она меняется с изменением этой практики. Логические законы — такие же продукты человеческого опыта, как и аксиомы евклидовой геометрии, тоже казавшиеся когда-то априорными.

Доказательство, в особенности математическое, принято было считать императивным и универсальным указанием, обязательным для всякого непредубежденного ума. Развитие Л. показало, однако, что доказательства вовсе не обладают абсолютной, вневременной строгостью. Даже способы математической аргументации наделе историчны и социально обусловлены. В разных логических системах доказательствами считаются разные последовательности утверждений, и ни одно доказательство не является окончательным.

Перемены, происшедшие в Л. в 20 в., приблизили ее к реальному мышлению и тем самым к человеческой деятельности, одной из разновидностей которой оно является.

ЛОГИКА (греч. logos - слово, рассуждение, понятие, разум) - наука о формах, законах и методах познавательной деятельности; способность правильно (логически) мыслить. С древности замечено важное свойство познающего мышления человека: если вначале высказываются некоторые утверждения, то затем могут быть признаны и другие утверждения, но не любые, а лишь строго определенные. Познающее мышление, т.обр., подчинено некоей принудительной силе, его результаты во многом детерминированы и предопределены предшествующим знанием. Данное свойство широко использовал Сократ в своих диалогах. Умелой постановкой вопросов он направлял своего собеседника к принятию вполне конкретных выводов. (Характеризуя свой метод, Сократ пояснял, что его манера вести беседу подобна тому, что делает акушерка, которая сама не рожает, но принимает роды. Так и он лишь спрашивает других, способствуя рождению истины, самому же ему нечего сказать.) Поэтому свой метод Сократ назвал майевтикой - искусством повивальной бабки.) Ученик Сократа Платон, затем Аристотель сделали детерминированность мышления предметом специального исследования. Результаты Аристотеля особенно впечатляющи. Его успех связан с тем, что он устранил из рассуждений то, что может быть названо их содержанием, сохранив только форму. Этого он достиг, подставив в суждениях вместо названий с конкретным содержанием буквы (переменные). Например, в импликативном рассуждении: «Если все В суть С и все А суть В, то все А суть В». Подход Аристотеля продемонстрировал тот факт, что достоверность результатов различных по содержанию рассуждений зависит не только от истинности исходных положений (посылок), но и от отношений между ними, способа их соединения, т.е. от формы рассуждения. Аристотель сформулировал важнейшие принципы перехода от истинных посылок к истинным заключениям. Впоследствии эти принципы стали называться законами тождества, противоречия и исключенного третьего. Он предложил первую теоретическую систему форм рассуждений - т.н. ассерторическую силлогистику, имеющую дело с суждениями вида «Все А суть В», «Некоторые А суть В», «Ни одно А не есть В», «Некоторые А не суть В». Тем самым он положил начало науке об общезначимых средствах и формах мышления, законах рационального познания. Позже эту науку стали называть Л.Л. не ограничилась выяснением случаев, когда истинность посылок гарантирует истинность заключения. Эта разновидность рассуждений стала предметом одной ее ветви - дедуктивной Л. Но уже Демокрит обсуждает проблему индуктивных умозаключений, посредством которых осуществляется переход от частных утверждений к общим положениям, имеющим вероятностный характер. Особый интерес к индукции проявляется в 17-18 вв. когда быстро стали развиваться опытные науки. Английскому философу Ф. Бэкону принадлежит первая попытка теоретического осмысления индукции, которая, как он думал, способна служить единственным методом познания природных явлений в целях их применения на пользу людям. Дедукти-визм и индуктивизм - главные направления в развитии Л. вплоть до 19 в. Представители рационалистической философии (Декарт, Спиноза, Мальбранш, Лейбниц) отдавали предпочтение дедукции, в то время как представители эмпирической (сенсуалистической) философии (вслед за Ф. Бэконом - Гоббс, Локк, Кондильяк, Беркли, Юм) были индуктивиста-ми. Вольф, предложивший всеобъемлющую, по его мысли, систему философского знания как «науку о всех возможных предметах, насколько они возможны», попытался примирить указанные направления. Будучи, в целом, рационалистом, он, тем не менее, энергично подчеркивал решающее значение индукции и опытного знания в отдельных научных дисциплинах (напр, в физике). Однако вольфианские представления о формах и законах мышления, методах познания, сложившиеся в Л. к 19 в., не смогли удовлетворить потребностей бурно развивающейся науки и общественной практики. Кант и особенно Гегель подвергли критике ограниченность рационалистически-метафизического метода. Перед Л. встала задача выработать средства, которые позволяли бы сознательно подходить к изучению сущностных отношений. Серьезная попытка решить эту задачу была предпринята Гегелем. Его выдающейся заслугой является введение в Л. идеи развития и взаимосвязи. Это позволило ему заложить основы диалектической Л. как теории движения человеческой мысли от явления к сущности, от истины относительной к истине абсолютной, от знания абстрактного к знанию конкретному. На основе категорий, принципов и законов диалектической Л. вырабатываются методологические ориентиры исследования содержания предметов во всем их многообразия и противоречивости. В настоящее время Л. представляет собой достаточно разветвленную научную дисциплину. Ее важнейшим и наиболее зрелым разделом является формальная Л. Свое наименование она получила от предмета, которым занимается с древности, - форм мыслей и рассуждений, обеспечивающих получение новых истин на основе уже установленных, и, в первую очередь, критериев правильности и обоснованности этих форм. Долгое время формальная Л. была известна прежде всего в том виде, который придали ей Аристотель и его комментаторы. Отсюда название, соответствующее данному этапу, - аристотелевская Л. Восходящая к Аристотелю традиция породила также другой равнозначный термин - традиционная Л. Неизменность проблематики и методов ее разрешения в рамках аристотелевской Л. на протяжении многих веков дала основание Канту, впервые употребившему термин «формальная Л.», считать, что за две тысячи лет, прошедших со времени Аристотеля, эта Л. не сделала ни одного шага вперед и имеет по существу законченный характер. Кант и не предполагал, что через какие-то полвека после его смерти начнется «второе дыхание» в развитии формальной Л. Этот качественно новый этап был вызван тем, что проблемы, поставленные исследованием логических оснований математики, было невозможно решить средствами аристотелевской Л. Почти одновременно идут процессы логизации математики и математизации Л. При решении логических проблем активно используются математические методы, создаются логические исчисления. Делаются конкретные шаги по реализации идей Лейбница об использовании вычислительных методов в любой науке. Дж. Буль разрабатывает первую систему алгебры Л. Благодаря работам О. де Моргана, У. Джевонса, Э. Шредера, П.С. Порецко-го, Пирса, Фреге, Дж. Пеано, Рассела создаются основные разделы математической Л., становящейся важнейшей ветвью формальной Л. В 20 в., особенно в 20-е и 30-е, в работах Я. Лукасевича, Э. Поста, К. Льюиса, С. Яськовского, Д. Веб-ба, Л. Брауэра, А. Гейтинга, А.А. Маркова, А.Н. Колмогорова, Г. Рейхенбаха, С.К. Клини, П. Детуш-Феврие, Г. Бирк-гофа и др. закладываются основы неклассических разделов формальной Л.: многозначных Л., модальной, вероятностной, интуиционистской, конструктивистской и др. Л. Переход к числу истинностных значений, большему чем два (»истинно», и «ложно»), составляет одну из характерных особенностей неклассических, или, как их часто называют, нехрисипповых Л. В 1930-е развитие формальной Л. связано с решением многих проблем металогики (греч. meta - после, сверх), изучающей принципы построения и общие свойства формальных систем, например, проблемы непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом, разрешимости, возможностей этих систем выражать содержательные теории и др. Закладываются основы т.наз. «машинного мышления». Исследование указанных проблем ознаменовалось выдающимися открытиями, имеющими важное мировоззренческое и методологическое значение и связанными с именами Тарско-го, К. Геделя, А. Черча. Наибольшую известность получила теорема К. Геделя о неполноте формализованных систем, в т.ч. арифметики натуральных чисел и аксиоматической теории множеств. В соответствии с этой теоремой, в каждой из таких систем имеются предложения, которые в их рамках нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Тем самым было показано, что ни одна действующая научная теория не может быть втиснута в рамки формализма. А. Черч доказал теорему, согласно которой, не существует алгоритмов для решения многих классов задач, не говоря уже об алгоритме, позволяющем решать любую задачу (об изобретении такого алгоритма мечтали многие выдающиеся логики и математики). Сегодня развитие формальной логики идет в двух основных направлениях: 1) выработка новых систем неклассической Л. (Л. императивов, оценок, вопросов, временной, индуктивной Л., теории логического следования и т.д.), исследование свойств этих систем и отношений между ними, создания их общей теории; 2) расширение сферы применения формальной Л. Важнейший конечный результат, полученный в этом направлении, - то, что формальная Л. стала не только инструментом точной мысли, но и «мыслью» первого точного инструмента - компьютера, непосредственно в роли партнера включенного человеком в сферу решения стоящих перед ним задач. Л. (в сумме всех своих разделов) стала неотъемлемой частью человеческой культуры. Ее достижения используются в самых разнообразных областях деятельности людей. Она широко применяется в психологии и лингвистике, теории управления и педагогике, юриспруденции и этике. Ее формальные разделы являются исходной основой кибернетики, вычислительной математики и техники, теории информации. Без принципов и законов Л. не мыслима современная методология познания и общения. Изучению Л. всегда придавалось большое значение. Уже Парме-нид поучал еще неопытного в философии Сократа: «Твое рвение к рассуждениям, будь уверен, прекрасно и божественно, но, пока ты еще молод, постарайся поупражняться больше в том, что большинство считает пустословием (т.е. оперировании абстрактными понятиями - В.Б.) в противном случае истина будет от тебя ускользать». Как видим, уже в древности понимали, что дисциплина, которой позже было присвоено имя Л., играет прежде всего большую методологическую роль - как средство отыскания истины.

ЛО́ГИКА -и; ж. [от греч. logkē - наука о мышлении]

1. Наука о законах и формах мышления. Формальная л. Диалектическая л.

2. Ход рассуждений, умозаключений. Л. мышления. Понять л. суждений преподавателя. Нарушить л. объяснения поступков. // Правильность, разумность умозаключений. Поражаться безупречной логике доказательств. Судить наперекор логике. Железная л. (безупречно правильная, последовательная).

3. чего или какая. Внутренняя закономерность, присущая природе, её явлениям, обществу, её представителям. Л. событий. Внутренняя л. развития общества. Л. жизни. По логике вещей (в соответствии с внутренними законами).

◊ Женская ло́гика (см. Же́нский).

◁ Логи́ческий (см.).

* * *

(греч. logikē), наука о способах доказательств и опровержений; совокупность научных теорий, рассматривающих определенные способы доказательств и опровержений. Основателем логики считается Аристотель. Различают индуктивную и дедуктивную логику, а в последней — классическую, интуиционистскую, конструктивную, модальную и др. Все эти теории объединяет стремление к каталогизации таких способов рассуждений, которые от истинных суждений-посылок приводят к истинным суждениям-следствиям; каталогизация осуществляется, как правило, в рамках логических исчислений. Особую роль в ускорении научно-технического прогресса играют приложения логики в вычислительной математике, теории автоматов, лингвистике, информатике и др. Смотри также Математическая логика.

* * *

ЛО́ГИКА (греч. logike), наука о способах доказательств и опровержений; совокупность научных теорий, в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержений. Основателем логики считается Аристотель. Различают индуктивную и дедуктивную логику, а в последней — классическую, интуиционистскую, конструктивную, модальную и др. Все эти теории объединяет стремление к каталогизации таких способов рассуждений, которые от истинных суждений-посылок приводят к истинным суждениям-следствиям; каталогизация осуществляется, как правило, в рамках логических. исчислений. Особую роль в ускорении научно-технического прогресса играют приложения логики в вычислительной математике, теории автоматов, лингвистике, информатике и др. См. также Математическая логика(см. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА).

(от греч.logike,logos — речь, мысль, разум) — наука о законах и формах мышления, направленного на познание объективного мира; наука о способах доказательств и опровержений. Основое назначение логики — выяснение условий достижения истинных знаний, анализ структуры мыслительного процесса, выработка логического аппарата и правильного метода рассуждения. В основе логики лежат четыре закона, первые три из них вывел Аристотель — законы тождества, противоречия и исключенного третьего, четвертый — закон достаточного основания, обосновал Лейбниц.

ЛОГИКА

Логика есть анатомия мышления.

Джон Локк

Логика — это нравственность мысли и речи.

Ян Лукасевич

Логика — это искусство ошибаться с полной достоверностью.

Джозеф Вуд Кратч

Логика — смирительная рубашка фантазии.

Хельмар Нар

Логика — это комод, в котором хранится полезная утварь и очень много ненужной.

Чарлз Калеб Колтон

Лучшая защита от логики — невежество.

Келог Олбран

Глупость обычно бывает логична.

Хуго Штейнхаус

Всякое обобщение ложно, включая и это.Если окажется, что наша логика неверна, все науки станут поэзией.

Станислав Ежи Лец

Было бы крайне нелогично руководствоваться в жизни только логикой.

Лешек Кумор

Если логика говорит вам, что жизнь — пустая случайность, пошлите к черту не жизнь, а логику.

Шайра Милгром

ло́гика ж.

logic

адапти́вная ло́гика — adaptive logic

бина́рная ло́гика — binary logic

ло́гика «большинства́» — majority logic

вероя́тностная ло́гика — probabilistic logic

ло́гика выска́зываний — propositional logic

диалекти́ческая ло́гика — dialectical logic

N-зна́чная ло́гика — N-valued logic

интенсиона́льная ло́гика — intensional logic

интуициони́стская ло́гика — intuitiotistic logic

комбинато́рная ло́гика — combinatorial [combinatory] logic

конструкти́вная ло́гика — constructive logic

мажорита́рная ло́гика — majority logic

математи́ческая ло́гика — mathematical logic

многозна́чная ло́гика — many-valued logic

мода́льная ло́гика — modal logic

нерегуля́рная ло́гика — irregular logic

отрица́тельная ло́гика — negative logic

положи́тельная ло́гика — positive logic

поро́говая ло́гика — threshold logic

ло́гика предика́тов — predicate logic

ло́гика прерыва́ния — interrupt logic

программи́руемая ло́гика — programmable logic

символи́ческая ло́гика — symbolic logic

стати́ческая ло́гика — static logic

теорети́ческая ло́гика — mathematical logic

трои́чная ло́гика — ternary logic

форма́льная ло́гика — formal logic

ж.

logica f

- алгоритмическая логика

- формальная логика

наук.

ло́гіка

- бесконечнозначная логика

- трёхзначная логика

наук.

ло́гіка

- бесконечнозначная логика

- трёхзначная логика

(греч. logike), наука о способах доказательств и опровержений; совокупность науч. теорий, рассматривающих определ. способы доказательств и опровержений. Основателем Л. считается Аристотель. Различают индуктивную и дедуктивную Л., а в последней - классич., интуиционистскую, конструктивную, модальную и др. Все эти теории объединяет стремление к каталогизации таких способов рассуждений,к-рые от истинных суждений-посылок приводят к истинным суждениям-следствиям; каталогизация осуществляется, как правило, в рамках логич. исчислений. Особую роль в ускорении науч.-техн. прогресса играют приложения Л. в вычислит. математике, теории автоматов, лингвистике, информатике и др. См. также Математическая логика.

(от греч. logik - соответствующий рассуждениям) - англ. logic; нем. Logik. 1. Совокупность наук о законах и формах правильного мышления. 2. Разумность, внутренняя закономерность ч.-л., напр., Л. событий.

(от греч. logike) - 1. Совокупность наук о законах и нормах правильного мышления. 2. Разумность, внутренняя закономерность ч.-л., напр., Л. событий.

(от греч. logik - соответствующий рассуждениям) - англ. logic; нем. Logik. 1. Совокупность наук о законах и формах правильного мышления. 2. Разумность, внутренняя закономерность ч.-л., напр., Л. событий.