Большая Советская энциклопедия
(математическое)
см. в ст. Аналитические функции.
Большой англо-русский и русско-английский словарь
analytic continuation, analytical extension
Физическая энциклопедия
- АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
- расширение области определения аналитич. ф-ции с сохранением её аналитичности. А. п.- осн. метод доказательства дисперсионных соотношений; используется в аксиоматической квантовой теории поля и др. областях физики.
Пусть аналитич. ф-ция определена степенным рядом в точке z0 и тем самым задана первоначально в нек-ром круге. Если разложить ф-цию в ряд в окрестности др. точки z1, то круг сходимости нового ряда может оказаться частично за пределами исходного круга. Тогда эти два ряда определяют единую ф-цию, аналитическую в объединении двух кругов, т. е. в области большей, чем первоначальная. А. п. можно строить, повторяя этот процесс, каждый раз расширяя область аналитичности ф-ции. Не исключено, однако, что на к.-л. этапе мы вновь вернёмся к точкам, где ф-ция уже была определена ранее, напр. к точкам исходного круга. Совпадения в этой области исходной ф-ции с ф-цией, полученной в результате такого А. п., может и не быть. Т. о. возникают многозначные аналитич. ф-ции, к-рые приводят к понятиям многолистных областей, римановых поверхностей и др.
Пусть D1 и D2 - области расширенной комплексной плоскости
(см. Аналитическая функция), а f1 и f2 - ф-ции, аналитические соответственно в D1 и D2. Если f1 и f2 совпадают в связной части 
пересечения областей D1 и D2, то говорят, что пары (D1,f1 ) и (D2,f2) являются непосредственным А. п. друг друга через область 
При этом ф-ция f2 однозначно определяется ф-цией f1, и наоборот. Ф-ции f1 и f2 не обязаны совпадать в др. связных частях пересечения D1 и D2. Если в к.-л. части такого совпадения нет, то её удобно "расщепить" на два листа, задавая на одном из них ф-цию, равную f1, на другом - f2. Так появляется простейшая неоднолистная область и однозначная аналитич. ф-ция в ней (но неоднозначная в объединении D1 и D2).Критерий однозначности А. п. даёт теорема о монодромии. Пусть ф-ция f(z )задана и аналитична в нек-рой окрестности точки z0, принадлежащей односвязной области D. Если f(z) аналитически продолжается вдоль любого пути, выходящего из z0 и лежащего в D, то в результате А. п. получается однозначная аналитич. ф-ция. Две пары (D, f) и (G, g), где D, G- области расширенной комплексной плоскости
, а f, g - ф-ции, аналитические соответственно в D и G, наз. А. п. друг друга, если их можно "соединить" конечным числом пар (Di, fi), "=1,..., п, (D1,f1)=(D, f), (Dn, fn)=(G, g), таких, что каждая последующая пара является непосредственным А. п. предыдущей. Макс. совокупность пар, каждая из к-рых является А. п. любой другой, задаёт ф-цию, аналитическую (и однозначную) на соответствующей римановой поверхности.Пример. Пусть f(z) обладает в плоскости С единственной особой точкой z0=0, являющейся точкой ветвления n-го порядка (напр.,
). Её риманова поверхность представляет собой п экземпляров плоскости С с разрезом вдоль вещественной положит. полуоси (листов) Di, i=l,..., п. При этом точки верх. берега каждого последующего листа отождествляются с соответствующими точками ниж. берега предыдущего листа. Точки ниж. берега первого листа отождествляются с соответствующими точками верх. берега n-го листа. Т. о., каждый полный обход вокруг начала координат переводит точку на след. лист. При n-кратном обходе она возвращается на лервонач. лист.Эфф. инструментом А. п. служит т. <н. принцип симметрии. Пусть ф-ция f(z) аналитична в области D, содержащей на своей границе отрезок веществ.
Математическая энциклопедия
функции- доопределение функции f0, определенной на нек-ром подмножестве Екомплексного многообразия М, до функции f, голоморфной в нек-рой области 
, содержащей Е, такое, что сужение 
функции f на Есовпадает с 
. Отправным в теории А. п. является понятие (аналитического) элемента, т. е. пары 
, где 
- область на Ми f - голоморфная в Dфункция. Говорят, что элементы 
составляют непосредственное А. п. друг друга через связную компоненту 
множества 
если 
Элемент 
, по определению, аналитически продолжается в граничную точку 
если существует непосредственное_А. п. 
элемента 
через 
такое, что 
Максимальным (в М).А. п. 
наз. элемент (D,/), аналитически продолжающий 
в область 
но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку D. Максимальное А. п. 
в Мединственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над М(римановы поверхности в случае 
), к-рые строятся из элементов, аналитически продолжающих 
Элемент 
наз. А. п. элемента 
, если существует конечный набор элементов 
и связных компонент А,- соответственно в 
таких, что 
являются непосредственными А. п. друг друга через Д,-. Говорят, что голоморфная функция 
, определенная первоначально в области 
, аналитически продолжается в точку 
, если существует А. п.
элемента 
такое, что 
. Среди элементов, продолжающих 
в точку z, вводится отношение эквивалентности: 
, если 
в окрестности z. На Множестве классов эквивалентности 
(для всех возможных z) естественно вводится топология и комплексная структура области наложения над М. Функция 
естественно поднимается в 
(значение на классе эквивалентности в z, содержащем 
, полагаем равным 
), аналитически продолжается на всю D f и в определенном смысле не продолжается ни в одну граничную точку 
над 
.
В случае, когда 
есть комплексная плоскость 
или, более общо, комплексное пространство 
, 
, этот процесс А. п. описывается проще. Каноническим элементом наз. пара 
, где 
- степенной ряд с центром в точке ас непустой областью сходимости Da. Канонич. элемент 
вдоль пути 
если существует семейство канонич. элементов 
, с центрами 
таких, что 
и для каждого 
элементы 
являются непосредственными А. п. 
для всех t, достаточно близких к 
. Семейство 
на самом деле определяется однозначно. Если 
, 
, есть непрерывное семейство путей в 
с общими концами аи b и если 
аналитически продолжается вдоль каждого 
, то результат 
не зависит от 
(монодромии теорема). Точками 
в случае 
являются канонич. элементы 
получаемые посредством А. п. вдоль всевозможных путей в 
; 
поднимается в 
аналитически на всю до голоморфной функции 
, причем 
есть область 
голоморфности 
.
Описанный общий процесс А. п. практически малоэффективен, поэтому в анализе используется много специальных методов А. п. Сюда относятся различные аиалитич. представления: интегралы, зависящие от параметра [интеграл типа Коши (см. Коши интеграл), Лапласа интеграл, интеграл Бореля (см. Бореля преобразование).и др.], замена переменного в степенном ряде, специальные способы суммирования степенных рядов [разложение Бореля в ряд многочленов, сходящийся в максимальном полигоне (см. Бореля метод суммирования), ряд Миттаг-Леффлера, сходящийся в максимальной звезде (см. Звезда элемента функции, Миттаг-Леффлера метод суммирования).и др.], принцип симметрии Римана - Шварца (см. Римана- Шварца принцип), функциональные и дифференциальные уравнения, определяющие функцию (напр., уравнение 
для гамма-функции, условия периодичности, четности, симметрии и т. п.), аналитич. выражения через известные функции.
К теме А. п. относятся также исследования о связи между исходным элементом аналитич. функции (рядом Тейлора) и свойствами полной аналитической функции, порождаемой этим элементом (см. [1]); результаты об особых точках (критерии особых точек, Адамара теорема мультипликационная, Фабри теорема об отношении) и особых линиях (теоремы о лакунах и непродолжаемости за границу круга сходимости, напр. Адамара теорема о лакунах, Фабри теорема о лакунах и др.), теоремы о сверхсходимости и о связях А. п. степенного ряда со свойствами целой функции, определяющей его коэффициенты, вопросы мероморфного продолжения, мероморфное продолжение при помощи Паде аппроксимаций и др. К А. п. следует отнести и теоремы об устранении особенностей (устранение изолированной особенности ограниченной голоморфной функции, устранение спрямляемых разрезов при условии непрерывности и т. п.), а также большой класс теорем об одновременном продолжении голоморфных функций многих комплексных переменных. В 
при 
имеются области, из к-рых любая голоморфная функция продолжается в более широкую область (в одномерном случае такого явления нет). Поэтому важной задачей А. п. функций многих комплексных переменных является описание этих более широких областей - так наз. голоморфных расширений, напр, известны описания голоморфности оболочек для Гартогса областей, л-круговых и трубчатых областей, теоремы об устранении компактных особенностей и особенностей коразмерности 
Боголюбова теорема"острие клина" н теорема В. С. Владимирова о С-выпуклой оболочке (см. [3]). Известно несколько эффективных методов построения голоморфного расширения областей (см. [3]).
А. п. функций действительного переменного сводится к А. п. голоморфных функций, т. к. для любой области 
и любой функции 
, аналитической в 
, найдутся область 
и голоморфная в 
функция 
такие, что 
Лит.:[1] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [3] Владимиров В С Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.
Dictionnaire technique russo-italien
prolungamento analitico
Русско-украинский политехнический словарь
аналіти́чне продо́вження
Русско-украинский политехнический словарь
аналіти́чне продо́вження