«Биномиальное распределение»

распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p≤ 1, то число μ появлений этого события при n независимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения m = 1, 2,.., n с вероятностями

где q= 1 — p, a — биномиальные коэффициенты (отсюда название Б. р.). Приведённая формула иногда называется формулой Бернулли. Математическое ожидание и Дисперсия величины μ, имеющей Б. р., равны М(μ) = np и D(μ) = npq, соответственно. При больших n, в силу Лапласа теоремы (См. Лапласа теорема), Б. р. близко к нормальному распределению (См. Нормальное распределение), чем и пользуются на практике. При небольших n приходится пользоваться таблицами Б. р.

Лит.: Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.

БИНОМИАЛЬНОЕ распределение (распределение Бернулли) - распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна p(0"p"1). Именно, число ? появлений этого события есть случайная величина, принимающая значения m - 0, 1, 2, ..., n с вероятностями Pn(m) = Cpm(1-p)n-m, где C - биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином).

binomial distribution

binomial distribution

биномиа́льное распределе́ние

(распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0≤р≤1). Именно, число μ появлений этого события есть случайная величина, принимающая значения m = 0, 1, 2, ..., n с вероятностями , где — биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином).

* * *

БИНОМИА́ЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна p ( p больше или равно 0, меньше или равно 1). Именно, число m появлений этого события есть случайная величина, принимающая значения m = 0, 1, 2,..., n с вероятностями P_n(m) = Cp^m(1-p)^n-m, где C — биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином(см. НЬЮТОНА БИНОМ)).

распределение Бернулли,- распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения с вероятностями соответственно

( - биномиальный коэффициент; р- параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения на отрезке ). Б. р.- одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Пусть - последовательность независимых случайных величин, каждая из к-рых может принимать лишь два значения 1 или 0 с вероятностями ри 1 - р соответственно (т. е. каждая из подчиняется Б. р. при n=1). Величины можно трактовать как результаты независимых испытаний, причем в случав "положительного исхода" и в случае "отрицательного исхода" испытания с номером г. Если общее количество независимых испытаний пфиксировапно, то такая схема на:;. Бернулли испытаниями, причем суммарное количество положительных исходов

в этом случае подчиняется Б. р. с параметром р.

Математич. ожидание (производящая функция Б. <р.) при любом значении zесть многочлен , представление к-рого по формуле бинома Ньютона имеет вид , (отсюда и произошло само назв. "Б. р."). Моменты Б. р. выражаются формулами

Функция Б. р. определяется при любом действительном значении формулой

где [у]-целая часть у, причем

(В ( а, b) - бета-функция Эйлера, интеграл в правой части наз. неполной бета-функцией).

При функция Б. р. выражается в терминах функции Ф стандартного нормального распределения асимптотич. формулой (теорема Муавра - Лапласа)

^где

равномерно для всех действительных у. Существуют и другие нормальные приближения Б. р. с остатками более высокого порядка малости.

Если количество независимых испытаний пвелико, а вероятность рмала, то индивидуальные вероятности приближенно выражаются в терминах Пуассона распределения:

При этом, если (с и С - постоянные), то равномерно относительно всех риз интервала имеет место асимптотич. формула

где .

Многомерным обобщением Б. р. является полиномиальное распределение.

Лит.:[1] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; [3] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [4] Прохоров Ю. В., "Успехи математических наук", 1953, т. 8, №3, с. 135-42; 15] Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968. Л. Н. Большее.

binomial distribution

* * *

binomial distribution

матем. distribuzione binomiale

біно́мний розпо́діл

біно́мний розпо́діл

(распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений нек-рого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений этого события есть случайная величина, принимающая значения от = 0, 1, 2,..., п с вероятностями Р_n(т) = С^m_nр^т(1 - р)n-^т, где С^m_n - биномиальные коэф. (см. Ньютона бином).