«Эрмитов оператор»

бесконечномерный аналог эрмитова линейного преобразования (см. Эрмитова форма).Линейный ограниченный оператор Ав комплексном гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство) и называется эрмитовым, если для любых двух векторов х и у этого пространства выполняется равенство (Ax, у)=(х, Ау), где (х, у)— скалярное произведение в Н. Примерами Э. о. являются интегральные операторы (см. Интегральные уравнения), для которых ядро К(х, у) задано в ограниченной области и является непрерывной функцией такой, что ;

в этом случае К(х, у) называется эрмитовым ядром. Понятие Э. о. обобщается и на неограниченные линейные операторы в гильбертовом пространстве. Э. о. играют значительную роль в квантовой механике, представляя удобный способ математического описания наблюдаемых величин, характеризующих физическую систему.

ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР

- линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н сплотной областью определения D(A )и такой, что < Ах, у> =<x, Ау>для любых х, уD(A). Это условие эквивалентно тому, что: 1) D(A)D(A^*), 2) Ах = А ^* х для всех хD(A), где А ^* - оператор, сопряжённый с А, т. е. что А А ^*. Ограниченный Э. о. либо определён на всём Н, либо по непрерывности расширяется до такого, и при этом А=А ^*, т. <е. А - самосопряжённый оператор. Неограниченный Э. о. может как иметь, так и не иметь самосопряжённые расширения. Иногда эрмитовым наз. самосопряжённый оператор, сохраняя для оператора, эрмитова в указанном выше смысле, название с и м м е т р и ч е с к и й. В конечномерном пространстве Э. о. описывается эрмитовой матрицей.

Лит.: Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 3 изд., т. 2, Хар., 1978; Рисc Ф., Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979. В. И. Соболев.