«Максвелла уравнения»

фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики (См. Электродинамика), описывающие электромагнитные явления в произвольной среде. М. у. сформулированы Дж. К. Максвеллом в 60-х годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Опираясь на эти законы и развивая плодотворную идею М. Фарадея (См. Фарадей) о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляются посредством электромагнитного поля (См. Электромагнитное поле), Максвелл создал теорию электромагнитных процессов, математически выражаемую М. у. Современная форма М. у. дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом.

М. у. связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, то есть с распределением в пространстве электрических зарядов и токов. В пустоте электромагнитное поле характеризуется двумя векторными величинами, зависящими от пространственных координат и времени: напряжённостью электрического поля Е и магнитной индукцией В. Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение которых в пространстве задаётся плотностью заряда ρ (зарядом в единице объёма) и плотностью тока j (зарядом, переносимым в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов). Для описания электромагнитных процессов в материальной среде (в веществе), кроме векторов Е и В, вводятся вспомогательные векторные величины, зависящие от состояния и свойств среды: электрическая индукция D и напряжённость магнитного поля Н.

М. у. позволяют определить основные характеристики поля (Е, В, D и Н) в каждой точке пространства в любой момент времени, если известны источники поля jи ρ как функции координат и времени. М. у. могут быть записаны в интегральной или в дифференциальной форме (ниже они даны в абсолютной системе единиц Гаусса; см. СГС система единиц).

М. у. в интегральной форме определяют по заданным зарядам и токам не сами векторы поля Е, В, D, Н в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию (См. Циркуляция)векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и Потоки векторов D и B через произвольные замкнутые поверхности.

Первое М. у. является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

Первое М. у. имеет вид:

то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь j_n— проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадкеds, являющейся частью поверхности S, с = 3․10¹⁰ см/сек —постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме.

Второе М. у. является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде:

то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь B_n — проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак минус соответствует Ленца правилу (См. Ленца правило) для направления индукционного тока.

Третье М. у. выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Четвёртое М. у. (обычно называемое Гаусса теоремой (См. Гаусса теорема)) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов — Кулона закона:

то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной поверхностью).

Если считать, что векторы электромагнитного поля (Е, В, D, Н) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию векторов Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторовB и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных соотношений (1, а — г) перейти к системе дифференциальных уравнений, справедливых в каждой точке пространства, то есть получить дифференциальную форму М. у. (обычно более удобную для решения различных задач):

rot

rot

div

div

Здесь rot и div — дифференциальные операторы ротор (см. Вихрь) и Дивергенция, действующие на векторы Н, Е, B и D. Физический смысл уравнений (2) тот же, что и уравнений (1).

М. у. в форме (1) или (2) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Необходимо их дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и j, которые не являются независимыми. Связь между этими векторами определяется свойствами среды и её состоянием, причёмD и j выражаются через Е, а B — через Н:

D = D(E), B = B(Н), j = j(E). (3)

Эти три уравнения называются уравнениями состояния, или материальными уравнениями; они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определённую форму. В вакууме D≡Е и B≡ Н. Совокупность уравнений поля (2) и уравнений состояния (3) образуют полную систему уравнений.

Макроскопические М. у. описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды. М. у. могут быть получены из Лоренца — Максвелла уравнений (См. Лоренца -) для микроскопических полей и определённых представлений о строении вещества путём усреднения микрополей по малым пространственно-временным интервалам. Таким способом получаются как основные уравнения поля (2), так и конкретная форма уравнений состояния (3), причём вид уравнений поля не зависит от свойств среды.

Уравнения состояния в общем случае очень сложны, так как векторы D, B и jв данной точке пространства в данный момент времени могут зависеть от полей Е и Н во всех точках среды во все предшествующие моменты времени. В некоторых средах векторы D и B могут быть отличными от нуля при Е и H равных нулю (Сегнетоэлектрики и Ферромагнетики). Однако для большинства изотропных сред, вплоть до весьма значительных полей, уравнения состояния имеют простую линейную форму:

D= εE, B= μH, j = σE+ j^cтр. (4)

Здесь ε (x, у, z) — Диэлектрическая проницаемость, а μ (x, у, z) — Магнитная проницаемость среды, характеризующие соответственно её электрические и магнитные свойства (в выбранной системе единиц для вакуума ε = μ = 1); величина σ(x, у, z) называется удельной электропроводностью; j^cтр — плотность так называемых сторонних токов, то есть токов, поддерживаемых любыми силами, кроме сил электрического поля (например, магнитным полем, диффузией и т. д.). В феноменологической теории Максвелла макроскопические характеристики электромагнитных свойств среды ε, μ и σ должны быть найдены экспериментально. В микроскопической теории Лоренца — Максвелла они могут быть рассчитаны.

Проницаемости ε и μ фактически определяют тот вклад в электромагнитное поле, который вносят так называемые связанные заряды, входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул вещества. Экспериментальное определение ε, μ, σ позволяет рассчитывать электромагнитное поле в среде, не решая трудную вспомогательную задачу о распределении связанных зарядов и соответствующих им токов в веществе. Плотность заряда ρ и плотность токаj в М. у. — это плотности свободных зарядов и токов, причём вспомогательные векторы Н и D вводятся так, чтобы циркуляция вектора Н определялась только движением свободных зарядов, а поток вектора D — плотностью распределения этих зарядов в пространстве.

Если электромагнитное поле рассматривается в двух граничащих средах, то на поверхности их раздела векторы поля могут претерпевать разрывы (скачки); в этом случае уравнения (2) должны быть дополнены граничными условиями:

[nH]₂ - [nH]₁ =

[nE]₂ - [nE]₁ = 0, (5)

(nD)₂ - (nD)₁ = 4πσ,

(nB)₂ - (nB)₁ = 0.

Здесь j_пови σ — плотности поверхностных тока и заряда, квадратные и круглые скобки — соответственно векторное и скалярное произведения векторов, n — единичный вектор нормали к поверхности раздела в направлении от первой среды ко второй (1→2), а индексы относятся к разным сторонам границы раздела.

Основные уравнения для поля (2) линейны, уравнения же состояния (3) могут быть и нелинейными. Обычно нелинейные эффекты обнаруживаются в достаточно сильных полях. В линейных средах [удовлетворяющих соотношениям (4)] и, в частности, в вакууме М. у. линейны и, таким образом, оказывается справедливым Суперпозиции принцип: при наложении полей они не оказывают влияния друг на друга.

Из М. у. вытекает ряд законов сохранения. В частности, из уравнений (1, а) и (1, г) можно получить соотношение (так называемое уравнение непрерывности):

представляющее собой закон сохранения электрического заряда: полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую поверхность S, равен изменению заряда внутри объёма V, ограниченного этой поверхностью. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объёме остаётся неизменным.

Из М. у. следует, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом (количеством движения). Плотность энергии ω (энергии единицы объёма поля) равна:

Электромагнитная энергия может перемещаться в пространстве. Плотность потока энергии определяется так называемым вектором Пойнтинга

Направление вектора Пойнтинга перпендикулярно как Е, так и Н и совпадает с направлением распространения электромагнитной энергии, а его величина равна энергии, переносимой в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к вектору П. Если не происходит превращений электромагнитной энергии в другие формы, то, согласно М. у., изменение энергии в некотором объёме за единицу времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую этот объём. Если внутри объёма за счёт электромагнитной энергии выделяется тепло, то закон сохранения энергии записывается в форме:

где Q — количество теплоты, выделяемой в единицу времени.

Плотность импульса электромагнитного поля g(импульс единицы объёма поля) связана с плотностью потока энергии соотношением:

Существование импульса электромагнитного поля впервые было обнаружено экспериментально в опытах П. Н. Лебедева по измерению давления света (1899).

Как видно из (7), (8) и (10), электромагнитное поле всегда обладает энергией, а поток энергии и электромагнитный импульс отличны от нуля лишь в случае, когда одновременно существуют и электрическое и магнитное поля (причём эти поля не параллельны друг другу).

М. у. приводят к фундаментальному выводу о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий (равной с = 3․10¹⁰ см/сек). Это означает, что при изменении плотности заряда или тока в некоторой точке пространства порождаемое ими электромагнитное поле в точке наблюдения изменяется не в тот же момент времени, а спустя время τ = R/c, где R — расстояние от элемента тока или заряда до точки наблюдения. Вследствие конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий возможно существование электромагнитных волн (См. Электромагнитные волны), частным случаем которых (как впервые показал Максвелл) являются световые волны.

Электромагнитные явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта), то есть удовлетворяют принципу относительности. В соответствии с этим М. у. не меняют своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (релятивистски инвариантны). Выполнение принципа относительности для электромагнитных процессов оказалось несовместимым с классическими представлениями о пространстве и времени, потребовало пересмотра этих представлений и привело к созданию специальной теории относительности (А. Эйнштейн, 1905; см. Относительности теория). Форма М. у. остаётся неизменной при переходе к новой инерциальной системе отсчёта, если пространств, координаты и время, векторы поля Е, Н, В, D, плотность тока jи плотность заряда ρ изменяются в соответствии с Лоренца преобразованиями (выражающими новые, релятивистские представления о пространстве и времени). Релятивистски-инвариантная форма М. у. подчёркивает тот факт, что электрическое и магнитное поля образуют единое целое.

М. у. описывают огромную область явлений. Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важнейшую роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы (См. Плазма) и проблема управляемых термоядерных реакций (См. Термоядерные реакции), Магнитная гидродинамика, Нелинейная оптика, конструирование ускорителей заряженных частиц (См. Ускорители заряженных частиц), астрофизика и т. д. М. у. неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, то есть когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля — фотонов — велика и в процессах участвует сравнительно небольшое число фотонов.

Лит.: Максвелл Дж. К., Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, перевод с английского, М., 1952; Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; Калашников С. Г., Электричество, М., 1956 (Общий курс физики, т. 2); Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, (перевод с английского], в. 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 5 изд., М., 1967 (Теоретическая физика, т. 2); их же, Электродинамика сплошных сред, М., 1959.

Г. Я. Мякишев.

МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ - основные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в произвольных средах и в вакууме. Уравнения Максвелла получены Дж. К. Максвеллом в 60-х гг. 19 в. в результате обобщения найденных из опыта законов электрических и магнитных явлений.

МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ

фундаментальные ур-ния классич. макроскопич. электродинамики, описывающие эл.-магн. явления в любой среде (и в вакууме). Сформулированы в 60-х гг. 19 в. Дж. Максвеллом на основе обобщения эмпирич. законов электрич. и магн. явлений и развития идеи англ. учёного М. Фарадея о том, что вз-ствия между электрически заряж. телами осуществляются посредством эл.-магн. поля. Совр. форма М. у. дана нем. физиком Г. Герцем и англ. физиком О. Хевисайдом.

М. у. связывают величины, характеризующие эл.-магн. поле, с его источниками, т. е. с распределением в пр-ве электрич. зарядов и токов. В вакууме эл.-магн. поле характеризуется напряжённостью электрич. поля Е и магн. индукцией В — векторными величинами, зависящими от пространств. координат и времени. Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение к-рых в пр-ве задаётся плотностью заряда r (величиной заряда в ед. объёма) и плотностью электрического тока j. Для описания эл.-магн. процессов в матер. среде, кроме Е и В, вводятся вспомогат. векторные величины, зависящие от состояния и св-в среды: электрич. индукция D и напряжённость магн. поля Н.

М. у. позволяют определить осн. хар-ки поля (E, В, D и Н) в каждой точке пр-ва в любой момент времени, если известны источники поля j и r как ф-ции координат и времени. М. у. могут быть записаны в интегр. или дифф. форме (ниже они приводятся в Гаусса системе единиц).

М. у. в и н т е г р а л ь н о й ф о р м е определяют не векторы E, В, D и Н в отд. точках пр-ва, а нек-рые интегр. величины, зависящие от распределения этих хар-к поля: циркуляцию векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и потоки векторов D и B через произвольные замкнутые поверхности.

Первое М. у. явл. обобщением на перем. поля эмпирического Био — Савара закона о возбуждении магн. поля электрич. токами. Максвелл высказал гипотезу, что магн. поле порождается не только токами, текущими в проводнике, но и перем. электрич. полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорц. скорости изменения электрич. поля во времени, была названа Максвеллом током смещения, он возбуждает магн. поле по тому же закону, что и ток проводимости. Полный ток, равный сумме тока смещения и тока проводимости, всегда явл. замкнутым. Первое М. у. имеет вид:

т. е. циркуляция вектора магн. напряжённости вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь jn — проекции плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds, являющейся частью поверхности S; (1/4p)(дDn/дt) — проекция плотности тока смещения на ту же нормаль; с—3
• 1010см/с — постоянная, равная скорости распространения эл.-магн. вз-ствий (скорость света) в вакууме.

Второе М. у. является матем. формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея и записывается в виде:

т. е. циркуляция вектора напряженности электрич. поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магн. индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь Bn — проекция на нормаль к площадке ds вектора магн. индукции В; знак «-» соответствует Ленца правилу для направления индукц. тока.

Третье М. у. выражает опытные данные об отсутствии магн. зарядов, аналогичных электрическим (магн. поле порождается только электрич. токами):

т. е. поток вектора магн. индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Четвёртое М. у. (обычно наз. Гаусса теоремой) представляет собой обобщение закона вз-ствия неподвижных электрич. зарядов — Кулона закона:

т. е. поток вектора электрич. индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрич. зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном поверхностью S).

Если считать, что векторы эл.-магн. поля (Е, В, D и Н) явл. непрерывными ф-циями координат, то, рассматривая циркуляцию Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов В и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных М. у- (1, а—г) перейти к системе дифференциальных М. у., характеризующих поле в каждой точке пр-ва:

Физ. смысл ур-ний (2) тот же, что ур-ний (1).

М. у. в форме (1) или (2) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать эл.-магн. процессы при наличии матер. среды. Их необходимо дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и j, к-рые не являются независимыми. Связь между ними определяется св-вами среды и её состоянием, причём D и 3 выражаются через Е, а В — через Н:

D=D(E), B=B(H),j=j(E). (3)

Эти ур-ния наз. ур-ниями состояния или материальными ур-ниями; они описывают эл.-магн. св-ва среды и для каждой конкретной среды имеют определ. форму. В вакууме D?Е и В?Н.

Совокупность ур-ний поля (2) и ур-ний состояния (3) образуют полную систему ур-ний.

Макроскопич. М. у. описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма вз-ствия эл.-магн. поля с заряж. ч-цами среды. М. у. могут быть получены из Лоренца — Максвелла уравнений для микроскопич. полей и определ. представлений о строении в-ва путём усреднения микрополей по малым пространственно-временным интервалам. Таким способом получаются как осн. ур-ния поля (2), так и конкретная форма ур-ний состояния (3), причём вид ур-ний поля не зависит от св-в среды.

Ур-ния состояния в общем случае очень сложны, т. к. векторы D, В и j в данной точке пр-ва в данный момент времени могут зависеть от полей E и H и If во всех точках среды во все предшествующие моменты времени. В нек-рых средах векторы D и В могут быть отличными от нуля при Е и Н равных нулю (сегнетоэлектрики и ферромагнетики). Однако для большинства изотропных сред, вплоть до весьма значит. полей, ур-ния состояния имеют простую линейную форму:

D=eE, B=mH, j=sE+jстр. (4)

Здесь e(х, у, z) — диэлектрическая проницаемость, a m(х, у, z) — магнитная проницаемость среды (для вакуума в системе СГС e=m=1), величина s(х, у, z) наз. удельной электропроводностью, j'стр — плотность т. н. сторонних токов, т. е. токов, поддерживаемых любыми силами, кроме см электрич. поля (напр., маги. полем, диффузией). В феноменологич. теории Максвелла макроскопич. характеристики эл.-магн. св-в среды e, m и s должны быть найдены экспериментально. В микроскопич. теории Лоренца — Максвелла они могут быть рассчитаны.

Проницаемости e и m фактически определяют тот вклад в эл.-магн. поле, к-рый вносят т. н. связанные заряды, входящие в состав электрически нейтр. атомов и молекул в-ва. При известных из опыта e, m и s можно рассчитать эл.-магн. поле в среде, не решая трудную вспомогат. задачу о распределении связанных зарядов и соответствующих им токов в в-ве. Плотность заряда r и плотность тока j в М. у.— это плотности свободных зарядов и токов, причём вспомогат. векторы Н и D вводятся так, чтобы циркуляция вектора Н определялась только движением свободных зарядов, а поток вектора D — плотностью распределения этих зарядов в пр-ве.

Если эл.-магн. поле рассматривается в двух граничащих средах, то на поверхности раздела векторы поля могут претерпевать разрывы (скачки); в этом случае ур-ния (2) должны быть дополнены граничными условиями:

Здесь jпов и rпов — плотности поверхностных тока и заряда, квадратные и круглые скобки — соотв. векторные и скалярные произведения векторов, n — единичный вектор нормали к поверхности раздела и направления от первой среды ко второй (1®2), а индексы относятся к разным сторонам границы раздела.

Осн. ур-ния для поля (2) линейны, ур-ния же состояния (3) в общем случае нелинейны. Обычно нелинейные эффекты обнаруживаются в достаточно сильных полях. В линейных средах (удовлетворяющих соотношениям (4)), и в частности в вакууме, М. у. линейны, так что для них справедлив суперпозиции принцип: при наложении полей они не оказывают влияния друг на друга.

Из М. у. вытекает ряд законов сохранения. В частности, из ур-ний (1, а) и (1, г) можно получить т. н. ур-ние непрерывности:

представляющее собой закон сохранения электрич. заряда: полный ток, протекающий за ед. времени через любую замкнутую поверхность S, равен изменению заряда внутри объёма V, ограниченного поверхностью S. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объёме V остаётся неизменным.

Из М. у. следует, что эл.-магн. поле обладает энергией и импульсом. Плотность энергии W (энергия поля в ед. объёма) равна:

Эл.-магн. энергия может перемещаться в пр-ве. Плотность потока энергии определяется т. н. вектором Пойнтинга

Направление вектора Пойнтинга перпендикулярно и E и H и совпадает с направлением распространения эл.-магн. энергии, а его величина равна энергии, переносимой в ед. времени через единичную поверхность, перпендикулярную П. Если эл.-магн. энергия не переходит в др. формы энергии, то, согласно М. у., изменение энергии в нек-ром объёме за ед. времени равно потоку эл.-магн. энергии через поверхность, ограничивающую этот объём. Если внутри объёма за счёт эл.-магн. энергии выделяется теплота, то закон сохранения энергии записывается в виде:

где Q — кол-во теплоты, выделяемой в ед. времени, Пn — проекция П на нормаль к бесконечно малой площадке ds.

Плотность импульса эл.-магн. поля g (импульс ед. объёма поля) связана с плотностью потока энергии соотношением:

Существование импульса эл.-магн. поля впервые было экспериментально обнаружено в опытах П. Н. Лебедева по измерению давления света (1899—1901).

Как видно из (7), (8) и (10), эл.-магн. поле всегда обладает энергией, а поток энергии и эл.-магн. импульс отличны от нуля лишь в случае, когда одновременно существуют и электрич. и магн. поля, причём Е и Н не параллельны друг другу.

М. у. приводят к фундам. выводу о конечности скорости распространения эл.-магн. вз-ствий. Это означает, что при изменении плотности заряда или тока, порождающих эл.-магн. поле, в нек-рой точке пр-ва на расстоянии R от них поле изменится спустя время t=R/c. Вследствие конечной скорости распространения эл.-магн. вз-ствий возможно существование электромагнитных волн, частным случаем к-рых (как впервые показал Максвелл) явл. световые волны.

Эл.-магн. явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, т. е. удовлетворяют относительности принципу. В соответствии с этим М. у. не меняют своей формы при переходе от одной инерц. системы отсчёта к другой (релятивистски инвариантны). Выполнение принципа относительности для эл.-магн. процессов оказалось несовместимым с классич. представлениями о пр-ве и времени, потребовало пересмотра этих представлений и привело к созданию спец. относительности теории (А. Эйнштейн, 1905). Форма М. у. остаётся неизменной при переходе к новой инерц. системе отсчёта, если пространств. координаты и время, векторы поля E, Н, В и D, плотность тока j и плотность заряда r изменяются в соответствии с Лоренца преобразованиями. Релятивистски инвариантная форма М. у. подчёркивает тот факт, что электрич. и магн. поля образуют единое целое.

М. у. описывают огромную область явлений. Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важную роль в развитии таких актуальных направлений совр. физики, как физика плазмы и проблема управляемого термоядерного синтеза, магнитная гидродинамика, нелинейная оптика, конструирование ускорителей заряженных частиц, астрофизика и т. д. М. у. неприменимы лишь при больших частотах эл.-магн. волн, когда становятся существенными квант. эффекты, т. е. когда энергия отд. квантов эл.-магн. ноля — фотонов — велика и в процессах участвует сравнительно небольшое число фотонов.

Ма́ксвелла уравне́ния

основные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в произвольных средах и в вакууме. Максвелла уравнения получены Дж. К. Максвеллом в 60-х гг. XIX в. в результате обобщения найденных из опыта законов электрических и магнитных явлений.

* * *

МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ, основные уравнения классической макроскопической электродинамики(см. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА), описывающие электромагнитные явления в произвольных средах и в вакууме. Уравнения Максвелла получены Дж. К. Максвеллом в 60-х гг. 19 в. в результате обобщения найденных из опыта законов электрических и магнитных явлений.

- уравнения электромагнитного поля в материальных средах; установлены в 60-х гг. 19 в. Дж. Максвеллом (J. Maxwell) на основе экспериментально найденных к тому времени законов электрических и магнитных явлений.

В классич. электродинамике для описания электромагнитного ноля в среде вводятся четыре векторных поля: напряженность электрич. поля Е, электрич. индукция D, напряженность магнитного поля Н н магнитная индукция В, к-рые являются непрерывными и дифференцируемыми функциями r радиус-вектора точки 3-мерного пространства и времени t. Эти поля определяются с точностью до постоянных множителей, позволяющих выбрать соответствующую систему физич. единиц измерения абсолютной величины этих полей.

М. у. представляют собой систему неоднородных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка для полей Е, D, Н, B, к-рая в т. н. абсолютной системе физич. единиц Гаусса имеет вид:

где неоднородные члены r(t, r) - заданное скалярное поле плотности электрич. заряда в среде и j(t, r) - векторное поле плотности электрич. тока (заряда, проходящего за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов) являются источниками ноля, а с=3*10¹⁰ см/сек - постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме. М. у. могут быть записаны также и в интегральной форме:

Поля E, D, H, В и j не являются независимыми, причем в согласии с экспериментальными фактами D и j зависят только от E, а В зависит только от Н, т. е'. имеют место следующие функциональные зависимости:

к-рые наз. уравнениями состояния, или материальными уравнениями сре-д ы. В рамках классической макроскопич. электродинамики уравнения состояния (3) должны быть заданы дополнительно (постулированы или определены но экспериментальным данным) и с их учетом система М. у. для двух независимых векторных полей E и Н становится замкнутой. Конкретный вид уравнений состояния (3) определяется электрическими и магнитными свойствами данной среды и ее состоянием. В общем случае в уравнениях состояния (3) векторные поля D, j и В в точке r в момент времени tмогут зависеть нелинейно от значении полей E и Н соответственно во всех точках среды (нелокальный случай) во все любые моменты времени, предшествующие согласно физич. принципу причинности - данному моменту t(случай среды с последействием или с памятью). Большинство имеющих практич. интерес сред характеризуется локальной линейной зависимостью D и j от Е и В от Н, и в этом случае М. у. оказываются линейными дифференциальными уравнениями, однако в приложениях встречаются и более сложные случаи (напр., в нелинейной оптике). Уравнения состояния (3) могут быть рассчитаны в принципе с помощью микроскопич. электродинамики, если учесть законы движения отдельных частиц среды и их индивидуальные микроскопич. характеристики (значения элсктрич. зарядов, масс). При этом значения макроскопич. полей E, H, D, В определяются как усредненные значения микроскопич. полей, создаваемых отдельными движущимися заряженными частицами среды, и для них справедливы М. у.

На поверхности раздела различных сред должны быть выполнены граничные условия

где j _пов - плотность поверхностного тока, - плотность поверхностного заряда, п - единичный вектор нормали к поверхности раздела, индексы ₁ и ₂ отмечают значения полей с разных сторон поверхности раздела.

Следствием М. у. является уравнение непрерывности

выражающее закон сохранения электрич. заряда.

М. у. инвариантны относительно преобразований Лоренца. Если в псевдоевклидовом пространстве 4-мерном пространстве-времени с координатами х ₁=х, х₂=у, x₃=z, x₄=ict ввести два антисимметричных 4-мерных тензора F_kl и G_kl(k, l=1, 2, 3, 4) с компонентами

а также 4-мерный вектор тока j_k, k=1, 2, 3, 4, пространственные компоненты к-рого j_l=i_x, j₂=i_y, j₃=i_z совпадают с компонентами тока j и четвертая' компонента пропорциональна плотности заряда, то М. у. (1) могут быть записаны в релятивистски ковариантнон форме:

Уравнения (5) представляют собой 4-мерную форму записи М. <у. (1б) и (1в), а уравнения (6) - 4-мерную форму записи М. у. (1а) и (1г).

Для электромагнитного поля в вакууме, по определению, и, следовательно, и электромагнитное поле описывается лишь одним тензором F_kl. Если ввести 4-мерный вектор электромагнитного потенциала А _k, k=1, 2, 3, 4, пространственные компоненты к-рого A₁=A_x, А ₂=А _у, A₃=A_z образуют т. н. 3-мерный вектор-потенциал A(t, r), а четвертая временная компонента A₄=ij пропорциональна скалярному потенциалу поля то компоненты антисимметричного тензора электромагнитного поля F_kl можно выразить через компоненты 4-мерного вектора электромагнитного потенциала А _k согласно соотношению

С учетом (7) уравнения (5) удовлетворяются тождественно, а уравнения (6) принимают вид

т. е. неоднородных волновых уравнений для компоненты A_k. Введение в рассмотрение потенциала A_k позволяет записать М. у. в простой форме (8), однако потенциал А _k определен неоднозначно, что отражает инвариантность М. у. в форме (8) относительно градиентных преобразований. Указанная неоднозначность в определении потенциала A_k может быть устранена (см. Градиентное преобразование).

Согласно (4) и (7) физически наблюдаемые поля Е и Н можно выразить через вектор-потенциал А и скалярный потенциал j:

В случае, когда электромагнитное поле в вакууме является свободным, т. е. отсутствуют источники, М. у. (1) и (8) становятся однородными, и из М. у. (1) и (8) можно получить независимые однородные волновые уравнения для электрического и магнитного поля

где - лапласиан и с - скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.

М. у. для электромагнитного поля применимы лишь в классич. теории, т. к. в случае, когда переменные электрическое и магнитное поля имеют очень высокие частоты и очень малые длины волн (сравнимые с длинами порядка размеров атомов), становятся существенными квантовые эффекты, и теория электромагнитного поля и его источников должна строиться на основе квантовой электродинамики.

Лит.:[1] М а к с в е л л Д ж. К., Избр. соч. по теории электромагнитного поля, пер. с англ., М., 1954; [2] Т а м м И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; [3] Л а н-д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 6 изд., М., 1973; [4] и х ж е, Электродинамика сплошных сред, М., 1957.