«Векторное поле»

область, в каждой точке Р которой задан вектор а(Р). Математически В. п. может быть определено в данной области G посредством вектор-функции a(Р) переменной точки Р этой области. К понятию В. п. приводит целый ряд физических явлений и процессов (например, векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют В. п.). Теория В. п. широко разработана и имеет разнообразные применения в различных областях естествознания (см. Векторное исчисление).

Лит.: Будак Б. М.. Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.

Э. Г. Позняк.

ВЕКТОРНОЕ поле - область, в каждой точке P которой задан вектор a(P). К понятию векторное поля приводят многие физические явления и процессы (напр., векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют векторное поле).

мат. field of vectors, vector field

vector field

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ

поле физическое, к-рое описывается ф-цией, являющейся в каждой точке пр-ва вектором (или четырёхмерным вектором). Пример — векторный потенциал в электродинамике. В квант. теории поля квантом В. п. служит ч-ца со спином 1 (напр., фотон, гипотетич. глюоны и промежуточные векторные бозоны). В. п. меняет знак при пространственной инверсии, т. е. ч-цы, соответствующие В. п., имеют отрицат. внутр. чётность (и наз. векторными; к ним относятся фотон, r-, w-, j-мезоны, y- и Y- частицы и др.).

ве́кторное по́ле

область, в каждой точке Р которой задан вектор а (Р). К понятию векторного поля приводят многие физические явления и процессы (например, векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют векторное поле).

* * *

ВЕ́КТОРНОЕ ПО́ЛЕ, область, в каждой точке P которой задан вектор a(P). К понятию векторное поля приводят многие физические явления и процессы (напр., векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют векторное поле).

на многообразии M- сечение касательного расслоения. Множество В. п. образует модуль над кольцом Fдифференцируемых функций на М.

Пример 1. Для карты многообразия Мопределяется i-е базисное В. п. д/дxⁱ по формуле

есть i-й базисный касательный вектор к Мв точке р, и любое В. п. однозначно представляется в виде

наз. компонентами В. п. Xв карте . В. п. является дифференцированием кольца F, вследствие чего множество В. п. образует относительно операции коммутирования (скобки Ли) алгебру Ли.

Пример 2. Для карты и функция определяется формулой

где - частная производная по наз. производной от по направлению X. Пример 3. Для карты и коммутатор (скобка Ли) [X, Y]В. п.

определяется формулой

он удовлетворяет соотношениям:

в частности

Каждое В. п. Xиндуцирует на Млокальный поток- семейство диффеоморфизмов окрестности U

такое, что для и

- интегральный путь В. п. X, т. е.

где - - В. п., касательное к отображению . И наоборот, В. п. Xассоциировано с локальным потоком - вариацией отображения ; при этом

Каждое В. п. определяет дифференцирование Ли LX тензорного поля типа со значениями в векторном пространстве (инфинитезимальное преобразование ), соответствующее локальному потоку частными случаями к-рого являются действие В. п. на

и скобка Ли

В. п. без особенностей порождает на Минтегрируемую одномерную дифференциальную систему и ассоциированную с ней Пфаффа систему.

Обобщением понятия В. п. на многообразии является В. п. вдоль отображения - сечение расслоения , индуцированного , а также тензорное поле типа - сечение ассоциированного с при помощи функтора расслоения .

Лит.:[1] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [2] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [3] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [4] Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., I960; [5] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; [6] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964. А. Ф. Щекутьев.

- термин, под к-рым обычно понимается функция точки нек-рого пространства X, значениями к-рой являются векторы, в том или ином смысле определенные для этого пространства.

В классическом векторном исчислении роль X играет подмножество евклидова пространства, а В. п. представляет собой направленные отрезки, приложенные в точках этого подмножества. Напр., совокупность касательных или нормальных вектеров к гладкой кривой (поверхности) - В. п. на ней.

Если X - абстрактно заданное дифференцируемое многообразие, то под В. п. понимается касательное В. п., т. е. функция, относящая каждой точке Xинвариантно сконструированный касательный вектор к X. В случае конечномерности XВ. п. равносильно определяется как совокупность одновалентных контра-вариантных тензоров, зависящих от точек.

В общем случае В. п. интерпретируется как определенная на Xфункция со значениями в векторном пространстве Р, тем или иным способом ассоциированного с X;ее отличие от произвольной вектор-функции состоит в том, что Ропределяется по отношению к X"внутренним образом", а не "надстройкой" над X. Впрочем, напр., иногда и сечение векторного расслоения с базой Xсчитается В. п. м. И. Войцеховский.

область, в каждой точке Р к-рой задан вектор а (Р). К понятию В. п. приводят мн. физ. явления и процессы (напр., векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют В. п.).

vector field

* * *

circuital field

campo vettoriale

ве́кторне по́ле

ве́кторне по́ле

область, в каждой точке Р к-рой задан вектор а (Р). К понятию В. п. приводят мн. физ. явления и процессы (напр., векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют В. п.)