«Модальная логика»

область логики, посвящённая изучению модальностей (См. Модальность), построению исчислений (См. Исчисление), в которых модальности применяются к высказываниям, наряду с логическими операциями (См. Логические операции), и сравнительному исследованию таких исчислений. «Модальные операторы» («возможно», «необходимо» и др.) могут относиться как к высказываниям (См. Высказывание)или Предикатам, так и к словам, выражающим какие-либо действия или поступки. Интерес к проблемам М. л. обусловлен прежде всего естественной связью, с одной стороны, между модальностями типа «необходимо» и понятием «логического закона» (т. е. тождественно истинного высказывания какой-либо логической системы), а с другой — между модальностями типа «возможно» и такими гносеологическими и общенаучными понятиями, как «(эффективно) осуществимо», «вычислимо» и т. п.

В классических системах М. л. (для которых справедлив Исключённого третьего принцип A V ⌉ A или закон снятия двойного отрицания ⌉ ⌉ А ⊃ А для модальностей имеют место соотношения двойственности, аналогичные «законам де Моргана» ⌉ (А V В) ≡ (⌉ А & ⌉ В) и ⌉ (А & В) ≡ (⌉ А V ⌉ В) алгебры логики и соответствующим эквивалентностям для Кванторов, связывающие операторы возможности и необходимости ☐ с Отрицанием ⌉:

☐A ≡ ⌉ ⌉ A и А ≡ ⌉ ☐ ⌉ A.

Поэтому в аксиоматических системах М. л. в качестве исходной вводят обычно одну модальную операцию (используя какую-либо из этих эквивалентностей в качестве определения другой операции). Аналогично вводятся и другие модальные операции (не входящие в число логических операций и не выразимые через них).

Системы М. л. могут быть интерпретированы в терминах многозначной логики (См. Многозначная логика) (простейшие системы — как трёхзначные: «истина», «ложь», «возможно»). Это обстоятельство, а также возможность применения М. л. к построению теории «правдоподобных» выводов указывают на её глубокое родство с вероятностной логикой (См. Вероятностная логика).

Кроме рассматривавшихся выше «абсолютных» модальностей, в М. л. приходится иметь дело с т. н. относительными, т. е. связанными с какими-либо условиями («А возможно, если В», и т. п.); формализация правил обращения с ними не вызывает дополнительных трудностей и проводится с помощью аппарата ограниченных кванторов (с использованием предикатов, выражающих ограничительные условия, и логические операции материальной импликации).

Ю. А. Гастев.

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА - логическая теория модальностей (модальных операторов), применяемых к высказываниям или предикатам; играет важную роль в логической семантике.

modal logic

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА

— раздел логики, в котором исследуются логические связи модальных высказываний, т.е. высказываний, включающих модальности. Мл. слагается из ряда направлений, каждое из которых занимается модальными высказываниями определенного типа.

В современной М.л. изучаются следующие основные группы модальных понятий:

логические модальности (абсолютные: «логически необходимо», «логически случайно», «логически возможно», «логически невозможно»; сравнительные: «логически влечет», «есть логическое следствие»);

физические (онтологические, каузальные) модальности (абсолютные: «физически необходимо», «физически случайно», «физически возможно», «физически невозможно»; сравнительные: «есть причина», «есть следствие», «не является ни причиной, ни следствием»);

эпистемические (теоретико-познавательные) модальности (относящиеся к знанию: «доказуемо», «опровержимо», «неразрешимо»; относящиеся к убеждению: «убежден», «сомневается», «отвергает», «допускает»; связанные с истинностной характеристикой, абсолютные: «истинно», «ложно», «неопределенно» и сравнительные: «более вероятно», «менее вероятно», «равно вероятно»);

деонтические (нормативные) модальности («обязательно», «разрешено», «запрещено»);

аксиологические (оценочные) модальности (абсолютные: «хорошо», «аксиологически безразлично», «плохо»; сравнительные: «лучше», «равноценно», «хуже»);

временные (абсолютные: «было», «есть», «будет»; сравнительные: «раньше», «одновременно», «позже»).

Логические модальности изучались еще Аристотелем и средневековыми логиками. Детальное исследова-ние др. типов модальностей началось только в 1950-е гг., хотя первые упоминания о них относятся еще к поздней античности и Средним векам (см. ДЕОНТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ), (см. ВРЕМЕНИ ЛОГИКА ), (см. ИЗМЕНЕНИЯ ЛОГИКА ), (см. ОЦЕНОК ЛОГИКА ), (см. ПРИЧИННОСТИ ЛОГИКА ), (см. ЭПИСТЕМИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ).

Модальные понятия разных типов имеют общие формальные свойства. Так, независимо от того, к какой группе относятся эти понятия, они определяются друг через друга по одной и той же схеме. Нечто возможно, если противоположное не является необходимым; разрешено, если противоположное не обязательно; допустимо, если нет убеждения в противоположном, и т.п. Случайно то, что не является ни необходимым, ни невозможным; безразлично то, что не обязательно и не запрещено; неразрешимо то, что недоказуемо и неопровержимо, и т.п.

Сравнительные модальные понятия разных групп также определяются по одной и той же схеме: «первое лучше второго» равносильно «второе хуже первого», «первое раньше второго» равносильно «второе позже первого», «первое причина второго» равносильно «второе следствие первого» и т.п.

В каждой ветви М.л. доказуема своя версия принципа модальной непротиворечивости, являющегося модальным аналогом противоречия закона: высказывание не может быть и логически необходимым, и логически невозможным; действие не может быть и обязательным, и запрещенным; объект не может быть и хорошим, и плохим, и т.д.

В каждой ветви М.л. есть также своя версия при н -ципа модальной пол ноты, являющегося модальным аналогом закона исключенного третьего. В теории физических модальностей принцип полноты утверждает, что всякое событие является или необходимым, или случайным, или невозможным; в деонтической логике — что всякое действие или обязательно, или нормативно безразлично, или запрещено; в логике оценок — что всякий объект является или хорошим, или оценочно безразличным, или плохим, и т.д.

Модальные понятия, относящиеся к разным группам, имеют разное содержание. При сопоставлении таких понятий (напр., «необходимо», «доказуемо», «убежден», «обязательно», «хорошо», «всегда») складывается впечатление, что они не имеют ничего общего. Однако М.л. показывает, что это не так. Модальные понятия разных групп выполняют одну и ту же функцию: они уточняют устанавливаемую в высказывании связь, конкретизируют ее. Правила их употребления определяются только этой функцией и не зависят от содержания высказываний. Поэтому данные правила являются едиными для всех групп и имеют чисто формальный характер.

В последние десятилетия М.л. бурно разрастается, включая в свою орбиту все новые группы модальных понятий. Существенно усовершенствованы способы ее обоснования. Это придало М.л. новый динамизм и поставило ее в центр современных логических исследований.

мода́льная ло́гика

логическая теория модальностей (модальных операторов), применяемых к высказываниям или предикатам; играет важную роль в логической семантике.

* * *

МОДА́ЛЬНАЯ ЛО́ГИКА, логическая теория модальностей(см. МОДАЛЬНОСТЬ) (модальных операторов), применяемых к высказываниям или предикатам; играет важную роль в логической семантике.

- область логики, в к-рой наряду с обычными высказываниями рассматриваются модальные высказывания, т. е. высказывания типа "необходимо, что.,.", "возможно, что..." и т. п. В математич. логике рассматриваются различные формальные системы М. л., выявляется взаимосвязь между этими системами, изучаются их интерпретации.

Элементы М. л. имелись по существу еще у Аристотеля (4 в. до н. э.), а от него перешли в классич. философию. Впервые М. л. была формализована К. Льюисом [1], к-рый построил пять пропозициональных систем М. л., получивших в литературе обозначения S1-S5 (их формулировки приведены ниже). Затем были построены и исследованы другие системы М. л. Большое разнообразие систем М. л. объясняется тем, что понятия "возможно" и "необходимо" можно уточнять различными способами и, кроме того, по-разному трактовать сложные модальности типа, "необходимо возможно" и "взаимоотношения" модальностей с логич. связками. Большинство изучавшихся систем М. л. опирается на классич. логику, однако рассматриваются и системы, основанные на интуиционистской логике (см., напр., [6]).

Ниже описывается несколько наиболее хорошо изученных пропозициональных систем М. л. Язык каждой из этих систем получается из языка классич. исчисления высказываний Р добавлением новых одноместных связок (модальных операторов) (необходимо) и (возможно). Поскольку почти во всех системах имеет место соотношение

то в качестве исходного берется один модальный оператор, напр. , а другой определяется через него с помощью соотношения (*).

Система S1. Схемы аксиом:

1) все формулы вида , где - выводимая в Р формула,

2) 3) Правила вывода:

I)

II)

III)

Система К. Схемы аксиом:

1) все схемы аксиом исчисления высказываний Р,

2)

Правила вывода: модус поненс и A/яA(я-введение).

Система Т:

Система В:

Система S4:

Система S5:

Среди вышеупомянутых систем важное значение имеет S4, т. к. в ней интерпретируется интуционист-ское исчисление высказываний I, т. е. по всякой пропозициональной (немодальной) формуле Аможно построить такую формулу модальной логики, что

В связи с этим особый интерес представляет система Гжегорчика (см. [5]):

для к-рой верна теорема о переводе: для любого множества схем аксиом Г и любой формулы А

где причем G - самая сильная система с таким свойством. Эта теорема позволяет переносить нек-рые свойства (напр., полноту или разрешимость) с расширений системы S4 (или G) на промежуточные логики.

Для каждой пропозициональной системы М. л. S можно рассмотреть соответствующую предикатную систему, к-рая получается добавлением к языку системы S предметных переменных, предикатных символов и кванторов (или одного из них). Также добавляются обычные схемы аксиом и правила вывода для кванторов. Кроме того, иногда добавляют и другие аксиомы, описывающие действие модальных операторов на кванторы, напр. т. н. формулу Баркан:

Алгебраич. интерпретация систем М. л. задается нек-рой алгеброй (называемой также матрицей)

где М- множество истинностных значений, D- множество выделенных истинностных значений, - операции на М, соответствующие связкам . Формула наз. общезначимой на алгебре , если при всякой оценке ее пропозициональных переменных элементами Мона принимает выделенное значение. Система М. л. S наз. полной относительно класса алгебр , если всякая формула выводима в S тогда и только тогда, когда она общезначима на всякой алгебре из . Напр., система S4 полна относительно класса конечных т. н. топологических булевых алгебр (см. [3]). Вообще, система S наз. финитно аппроксимируемой, если она полна относительно конечных алгебр. Если система конечно аксиоматизируема и финитно аппроксимируема, то она разрешима, т. е. для нее алгоритмически разрешима проблема распознавания выводимости. Матрица наз. характеристической, или адекватной, для системы S, если S полна относительно . Никакая из упомянутых выше пропозициональных систем М. л. не имеет конечной адекватной матрицы, но каждая из этих систем финитно аппроксимируема и поэтому разрешима. С другой стороны, всякое расширение системы S5 имеет конечную адекватную матрицу с одним выделенным значением. Свойством финитной аппроксимируемости обладают также все расширения системы

Важным инструментом изучения М. л. являются Крипке модели, имеющие вид (), где W- множество "миров", "ситуаций", R- нек-рое отношение на - оценка пропозициональных переменных подмножествами W. Для отношение можно трактовать как "мир t возможен в мире s". Пару (W, R )наз. структурой Крипке, или остовом (встречается также термин шкала). Формула Аназ. общезначимой на остове (W, R), если для всякой оценки формула Аистинна в модели Крипке . Система S наз. полной по Крипке, если всякая не выводимая в S формула опровержима на нек-рой структуре Крипке, на к-рой общезначимы все выводимые в S формулы. Напр., система Т полна относительно структур (W, R), где R- рефлексивное отношение; S4 полна относительно структур с рефлексивным и транзитивным отношением. Среди конечно аксиоматизируемых расширений системы S4 существуют такие, к-рые не полны по Крипке (см. [7]).

Для предикатных систем М. л. модели Крипке имеют вид - универсум мира - интерпретация предикатных символов в - оценка, сопоставляющая каждой предметной переменной нек-рый элемент множества Для систем, содержащих формулу Баркан, надо также потребовать, чтобы

Модели Крипке имеют, как правило, более наглядную структуру, чем алгебраич. модели, поэтому часто они удобнее для изучения различных систем М. л.

Лит.;[1] Lewis С. I., LangfordC. H., Symbolic Logic, 2 ed., N. Y., 1959; [2] Фейс Р., Модальная логика, [пер. с англ.], М., 1974; [3] Расева Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972; [4] Минц Г. <Е., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1968, т. 98, с. 88-111; [5] Grzegоrсzуk A., "Fundam. math.", 1967, t. 60, № 2, p. 223-31; [6] Вull R. A., "Notre Dame J. Form. Logic", 1965, t. 6, p. 142-46; [7] Fine K., "Theoria", 1974, v. 40, pt 1, p. 23-29; [8] Gabbay D. M., "Ann. Math. Log.", 1975, v. 8, № 3,p. 237- 95.

С. К. Соболев.

modal logic

мода́льна ло́гіка

мода́льна ло́гіка