«Лоренца - Максвелла уравнения»

Лоренца уравнения, фундаментальные уравнения классической электродинамики (См. Электродинамика), определяющие микроскопические электромагнитные поля, создаваемые отдельными заряженными частицами. Л. — М. у. лежат в основе электронной теории (микроскопической электродинамики), построенной Х. А. Лоренцомв конце 19 — начале 20 вв. В этой теории вещество (среда) рассматривается как совокупность электрически заряженных частиц (электронов и атомных ядер), движущихся в вакууме.

В Л. — М. у. электромагнитное поле описывается двумя векторами: напряжённостями микроскопических полей — электрического е и магнитногоh. Все электрические токи в электронной теории — чисто конвекционные, т. е. обусловлены движением заряженных частиц. Плотность тока j =ρυ, где ρ — плотность заряда, а υ — его скорость.

Л. — М. у. были получены в результате обобщения макроскопических Максвелла уравнений (См. Максвелла уравнения). В дифференциальной форме в абсолютной системе единиц Гаусса они имеют вид:

rot h =

rot е =

div h = 0

div е = 4πρ

(с — скорость света в вакууме).

Согласно электронной теории, уравнения (1) точно описывают поля в любой точке пространства (в том числе межатомные и внутриатомные поля и даже поля внутри электрона) в любой момент времени. В вакууме они совпадают с уравнениями Максвелла.

Микроскопические напряжённости полейе и h очень быстро меняются в пространстве и времени и непосредственно не приспособлены для описания электромагнитных процессов в системах, содержащих большое число заряженных частиц (то есть в макроскопических материальных телах). А именно такие макроскопические процессы представляют интерес, например, для электротехники и радиотехники. Так, при токе в 1 а через поперечное сечение проводника в 1 сек проходит около 10¹⁹ электронов. Проследить за движением всех этих частиц и вычислить создаваемые ими поля невозможно. Поэтому прибегают к статистическим методам, которые позволяют на основе определённых модельных представлений о строении вещества установить связь между средними значениями напряжённостей электрических и магнитных полей и усреднёнными значениями плотностей заряда и тока.

Усреднение микроскопических величин производится по пространственным и временным интервалам, большим по сравнению с микроскопическими интервалами (порядка размеров атомов и времени обращения электронов вокруг ядра), но малым по сравнению с интервалами, на которых макроскопические характеристики электромагнитного поля заметно изменяются (например, по сравнению с длиной электромагнитной волны и её периодом). Подобные интервалы называются «физически бесконечно малыми».

Усреднение Л. — М. у. приводит к уравнениям Максвелла. При этом оказывается, что среднее значение напряжённости микроскопического электрического поля e̅ равно напряжённости поля в теории Максвелла: e̅= Е, а среднее значение напряжённости микроскопического магнитного поля h̅ — вектору магнитной индукции:h̅ =В.

В теории Лоренца все заряды разделяются на свободные и связанные (входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул). Можно показать, что плотность связанных зарядов определяется вектором поляризации Р (электрическим дипольным моментом единицы объёма среды):

ρ_связ. = - divР (2)

а плотность тока связанных зарядов, кроме вектора поляризации, зависит также от намагниченности (См. Намагниченность) I (магнитного момента единицы объёма среды):

j_связ. = I. (3)

Векторы Р и I характеризуют электромагнитное состояние среды. Вводя два вспомогательных вектора — вектор электрической индукции

D = E + 4πP (4)

и вектор напряжённости магнитного поля

H = B - 4πI(5)

получают макроскопические уравнения Максвелла для электромагнитного поля в веществе в обычной форме.

Помимо уравнений (1) для микроскопических полей, к основным уравнениям электронной теории следует добавить выражение для силы, действующей на заряженные частицы в электромагнитном поле. Объёмная плотность этой силы (силы Лоренца) равна:

Усреднённое значение лоренцовых сил, действующих на составляющие тело заряженные частицы, определяет макроскопическую силу, которая действует на тело в электромагнитном поле.

Электронная теория Лоренца позволила выяснить физический смысл основных постоянных, входящих в уравнения Максвелла и характеризующих электрические и магнитные свойства вещества. На её основе были предсказаны или объяснены некоторые важные электрические и оптические явления (нормальный Зеемана эффект, дисперсия света, свойства металлов и другие).

Законы классической электронной теории перестают выполняться на очень малых пространственно-временных интервалах. В этом случае справедливы законы квантовой теории электромагнитных процессов — квантовой электродинамики (См. Квантовая электродинамика). Основой для квантового обобщения теории электромагнитных процессов являются Л. — М. у.

Лит.: Лорентц Г. А., Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения, пер. с английского, 2 издание, М., 1953; Беккер Р., Электронная теория, перевод с немецкого, Л. — М., 1936; Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Теория поля, М., 1967 (Теоретическая физика, том 2).

Г. Я. Мякишев.

ЛОРЕНЦА - МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ

- фундам. ур-ния классич. электродинамики, определяющие микроскопич. эл.-магн. поля, создаваемые отдельными заряж. частицами. Л.-М. у. лежат в основе электронной теории (классич. микроскопич. электродинамики), построенной X. А. Лоренцем в кон. 19 - нач. 20 вв. В этой теории среда рассматривается как совокупность заряж. частиц (электронов и атомных ядер), движущихся в вакууме. Основной постулат теории X. А. Лоренца состоит в предположении, что ур-ния классич. электродинамики (Максвелла уравнения )точно описывают поля в любой точке пространства (в т. ч. межатомные и внутриатомные поля) в любой момент времени t.

В Л.-М. у. эл.-магн. поле описывается двумя векторами: напряжённостями микроскопич. полей - электрич. е и магн. Л, иногда обозначаемыми также и . Все электрич. токи (за исключением тока смещения) в электронной теории - чисто конвекционные токи, т. е. обусловлены движением заряж. частиц. Плотность тока , где r- плотность заряда, - его скорость.

В дифференц. форме в Гаусса системе единиц Л.- М. у. имеют вид

Микроскопич. напряжённости е и h очень быстро меняются во времени и пространстве вблизи элементарных заряж. частиц и не могут быть измерены классич. измерит, приборами. Для описания макроскопич. процессов прибегают к статистич. методам, к-рые позволяют на основе определённых модельных представлений о строении вещества установить связь между ср. значениями напряжённостей электрич. и магн. полей и усреднёнными значениями плотностей зарядов и токов.

Усреднение микроскопич. величин производится по пространств. и временным интервалам, большим по сравнению с микроскопич. интервалами (порядка размера атомов и времени обращения электронов вокруг ядра), но малым по сравнению с интервалами, на к-рых макроскопич. характеристики эл.-магн. поля заметно меняются (напр., по сравнению с длиной эл.-магн. волны и её периодом). Подобные интервалы наз. физически бесконечно малыми.

Усреднение Л.-М. у. приводит к ур-ниям Максвелла. При этом оказывается, что ср. значение напряжённости электрич. микроскопич. поля е совпадает с напряжённостью электрич. поля Е макроскопич. электродинамики:, а ср. значение напряжённости микроскопич. магн. поля h совпадает с вектором магн. индукции В макроскопич. электродинамики:

В теории Лоренца все заряды разделяются на свободные и связанные (входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул). Можно показать, что макроскопич. плотность связанных зарядов определяется вектором электрич. поляризации Р (электрич. дипольным моментом единицы объёма среды):

а макроскопич. плотность тока связанных зарядов, креме поляризации Р, зависит также от намагниченности М (магн. момента единицы объёма среды):

Векторы Р и М являются макроскопич. характеристиками эл.-магн. состояния среды. Вводя два вспомогат. вектора- вектор электрич. индукции

и вектор напряжённости магн. поля

получают макроскопич. ур-ния Максвелла для эл.-магн. поля в веществе в обычной форме, с плотностью свободных зарядов и связанной с ними плотностью электрич. тока в качестве источников.

Для построения самосогласованной электронной теории Л.-М. у. (1) должны быть дополнены выражением для силы, действующей на заряж. частицы в эл.-магн. поле. Объёмная плотность этой силы ( Лоренца силы )равна

Сумма усреднённых значений Лоренца сил, действующих на составляющие тело заряж. частицы, определяет макроскопич. силу, действующую на тело в эл.-магн. поле.

Ур-ния (1) и (6) позволяют объединить ур-ния электродинамики и механики. Напр., в простейшем случае одной частицы, движущейся с нерелятивистской скоростью, ур-ния (1) следует дополнить ур-нием движения:

где - радиус-вектор центра тяжести заряж. частицы с массой т и зарядом. Эта система ур-ний ещё не является замкнутой, т. к. остаётся открытым вопрос о модели частицы, к-рая необходима для установления зависимости между скоростью центра тяжести частицы и полем скоростей внутри частицы относительно её центра тяжести: . Вектор не определён и требует дополнит. сведений о структуре частицы. Для модели частицы в виде твёрдого, равномерно заряженного шарика радиуса а действующую силу можно представить в виде ряда

Первый член этого ряда имеет форму произведения ускорения на постоянный коэф., к-рый может быть истолкован как дополнит. масса частицы, обусловленная её зарядом, т. е. как эл.-магн. поправка к массе частицы:

где - эл.-статич. энергия равномерно заряженного по объёму шарика радиуса а. Второй член ряда (8) является не зависящей от модели частицы силой радиац. трения.

Существуют два важных результата, вытекающих из Л.-М. у. и не требующих конкретизации модели заряж. частиц.

Закон сохранения энергии электромагнитного поля:

где - плотность энергии эл.-магн. поля, - Пойнтинга вектор. Закон сохранения импульса электромагнитного поля:

где Т - Максвелла тензор натяжений,

В модели точечных заряж. частиц, подобных материальным точкам классич. механики, Л.-М. у. вместе с ур-нием движения зарядов приобретают вид

где - дельта-функция Дирака, и - координата и скорость i -й заряж. точки. Эта система ур-ний, однако, не вполне корректна, т. к. в правой части ур-ния движения частиц содержится величина, к-рая в точке нахождения заряж. частицы фактически принимает бесконечное значение. Это не удивительно, поскольку эл.-статич. энергия точечного заряда бесконечна. Поэтому в последнем из ур-ний (11) приходится исключать действие поля данной частицы на саму частицу (т. е. суммировать только по ). Член с можно перенести в левую часть и считать, что соответствующая ему бесконечная эл.-магн. масса вместе с "механич." массой дают наблюдаемую полную конечную массу частицы (эта идея в квантовой теории поля принимает форму т. н. перенормировки).

Подобно системе ур-ний Максвелла, Л.-М. у. допускают релятивистски ковариантную запись, если ввести соответствующие тензоры эл.-магн. микрополя и 4-вектор микроплотности тока.

В квантовой электродинамике Л.-М. у.- основа для квантового обобщения эл.-магн. процессов. Здесь е и Л становятся операторами, а r и pv выражаются через операторы полей частиц, взаимодействующих с эл.-магн. полем (напр., электронов). Получаемые при этом квантовые Л.-М. у. справедливы не как точные ур-ния, связывающие операторы эл.-магн. поля и частиц между собой, а как ур-ния для результатов действия этих операторов на волновые ф-ции реально осуществляющихся состояний системы.

Лит.: Лоренц Г. А., Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения, пер. с англ., 2 изд., М., 1956; Беккер Р., Электронная теория, пер. о нем., Л.- М., 1936; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 7 изд., М., 1988. Е. В. Суворов.