«Случайная функция»

Случайная функция в энциклопедиях

Источники

Большая Советская энциклопедия

функция произвольного аргумента t (заданная на множестве Т его значений и сама принимающая или числовые значения или, более общо, значения из какого-то векторного пространства) такая, что её значения определяются с помощью некоторого испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причём для них существует определённое распределение вероятностей. Если множество Т конечно, то С. ф. представляет собой конечный набор случайных величин (См. Случайная величина), который можно рассматривать как одну векторную случайную величину. Из числа С. ф. с бесконечным Т наиболее изучен важнейший частный случай, когда t принимает числовые значения и является временем; соответствующая С. ф. X(t) тогда называется случайным процессом (См. Случайный процесс) (а если время t пробегает лишь целочисленные значения, то также и случайной последовательностью, или временным рядом). Если же значениями аргумента t являются точки из некоторой области многомерного пространства, то С. ф. называется случайным полем. Типичными примерами С. ф., отличных от случайных процессов, являются поля скорости, давления и температуры турбулентного течения жидкости или газа, а также значения высоты z взволнованной морской поверхности или поверхности какой-либо искусственной шероховатой пластинки.

Математическая теория С. ф. совпадает с теорией распределений вероятностей в функциональном пространстве значений функции X(t), эти распределения могут задаваться набором конечномерных распределений вероятностей для совокупностей случайных величин X(t₁), X(t₂),..., X(t_n), отвечающих всевозможным конечным подмножествам (t₁, t₂,..., t_n) точек множества Т, или же характеристическим функционалом С. ф. X(t), представляющим собой математическое ожидание случайной величины il[X (t)], где l[X(t)]— линейный функционал от Х (t) общего вида. Значительное развитие получила теория однородных случайных полей, являющихся частным классом С. ф., обобщающим класс стационарных случайных процессов (См. Стационарный случайный процесс).

Лит.: Выбросы случайных полей Сб. ст. М., 1972; Yaglom А. М., Second-order homogeneous random fields, в кн.: Proceedings 4th Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, v. 2, Berk — Ins Aug., 1961; Whittle P., Stochastic processes in several dimensions, «Bulletin of the Institute of Statistics», 1963, v. 40.

Большой энциклопедический словарь

СЛУЧАЙНАЯ функция - функция произвольного аргумента такая, что ее значения определяются случайным исходом некоторого испытания, причем для них существует определенное распределение вероятностей. Понятие случайной функции весьма близко понятию случайного процесса.

Большой англо-русский и русско-английский словарь

random function

Англо-русский словарь технических терминов

random function

Физическая энциклопедия

СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ

на множестве Т - семейство случайныхвеличин , помеченных элементами множества Т (наз. областью определенияС. ф.) и заданных на одном и том же вероятностном пространстве }.Напр., при n-кратном бросании монеты, когда пространство состоит из 2ⁿ последовательностей , где = 0 или 1 [выпадение решки (0) или герба (1) при А-м бросании], можно ввестиС. ф. собластью определения Т = {1, 2,...,п}, где -k-я координата в последовательности w; при броуновском движениичастицы в течение промежутка времени Т= [0, t_a], когда пространство образовано всеми возможными её траекториями в качестве С. ф. можно выбрать семейство значений абсцисс x(t )точек r(t )во все моменты времени. <В случаях, когда область определения Т совпадает с числовой осью (илиотрезком числовой оси), множеством целых чисел, многомерным пространством R^v(v > 1) или областью в нём, С. ф. называют соответственно случайным процессом, случайной последовательностью (или временнымрядом), случайным полем. Числовую ф-цию на множестве Т. получающуюся при фиксировании к.-л. случая называют реализацией U. ф. (или её выборочной ф у н к ц и е й).

Для любого конечного набора элементов определена совместная ф-ция распределения вероятностей значений набораслучайных величин

Совокупность всех таких ф-ций для всевозможных наборов элементов из Т наз. семейством конечномерных распределений С. ф..Считается, что вся информация о стохастич. свойствах С. ф. целиком заключенав семействе её конечномерных распределений, т. е. две разл. С. ф.и (заданные на одном и том же или на разных вероятностных пространствах),у к-рых семейства конечномерных распределений совпадают для всех наборов {t₁,....t_n} и значений {x₁,...,x_n},с вероятностной точки зрения эквивалентны.

Лит.: Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайныхпроцессов, 2 изд., М., 1977. Р. А. Минлос.

Энциклопедический словарь

случа́йная фу́нкция

функция произвольного аргумента, такая, что её значения определяются случайным исходом некоторого испытания, причём для них существует определенное распределение вероятностей. Понятие случайной функции весьма близко понятию случайного процесса.

* * *
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ

СЛУЧА́ЙНАЯ ФУ́НКЦИЯ, функция произвольного аргумента такая, что ее значения определяются случайным исходом некоторого испытания, причем для них существует определенное распределение вероятностей. Понятие случайной функции весьма близко понятию случайного процесса.

Геологическая энциклопедия

— функция 2-х аргументов X(t) = X(ω,t); — множество элементарных событий, — произвольное множество. Если в — вещественное множество и параметр t интерпретировать как время, то X(t) называется случайным процессом. Аппарат С. ф. широко используется при теоретических изучениях геохим. процессов, при сопоставлении разрезов немых толщ.

Математическая энциклопедия

- функция произвольного аргумента t(заданная на множестве Тего значений и принимающая числовые значения или, более общо, значения из какого-то векторного пространства) такая, что ее значения определяются с помощью нек-ро-го испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причем для них существует определенное распределение вероятностей. В теории вероятностей основное внимание обычно уделяется числовым (т. е. скалярным) С. ф. X(t);векторные же С. ф. X(t)можно рассматривать как совокупность скалярных функций где пробегает конечное или счетное множество Аномеров компонент вектора X, т. е. как числовую С. <ф., заданную на новом множестве

Если множество Тконечно, то С. ф. X(t)на Тпредставляет собой конечный набор случайных величин, к-рый можно считать одной многомерной (векторной) случайной величиной, характеризуемой многомерной функцией распределения. Из числа С. ф. с бесконечным . наиболее изучен частный случай, когда tпринимает числовые (действительные) значения; в этом случае чаще всего tявляется временем, а С. ф. X(t) наз. случайным процессом (если же время . пробегает лишь целочисленные значения, то также и случайной последовательностью, или временным рядом). Если значениями аргумента tявляются точки нек-рого многомерного многообразия (напр., k-мерного евклидова пространства R^k), то С. ф. X(t)наз. случайным полем.

Распределение вероятностей значений С. ф. X(t), определенной на бесконечном множестве Т, можно охарактеризовать совокупностью конечномерных распределений вероятностей для групп случайных величин отвечающих всевозможным

конечным подмножествам элементов Т, т. е. совокупностью соответствующих конечномерных функций распределения удовлетворяющих следующим условиям согласованности:

где i₁,..., i_n- произвольная перестановка индексов 1,..., n. Такое задание распределения вероятностей С. ф. X(t)достаточно во всех случаях, когда интересуются лишь событиями, зависящими от значений X(t)на конечных множествах значений аргумента t. Однако такое задание С. ф. не позволяет определить вероятности свойств С. ф., зависящих от ее значений на непрерывном множестве значений t, типа вероятности непрерывности или дифференцируемости С. ф. или вероятности того, что С. ф. X(t)на непрерывном множестве значений tбудет удовлетворять неравенству X(t)<a (см. Сепарабельный процесс).

Более общее задание С. ф. связано с ее описанием как совокупности случайных величин заданных на одном и том же вероятностном пространстве (где - непустое множество точек - выделенная алгебра подмножеств а Р - заданная а вероятностная мера) и отвечающих всевозможным точкам tмножества Т. При таком подходе под С. ф. на множестве Тследует понимать функцию двух переменных и являющуюся A-измеримой функцией при каждом фиксированном значении t(т. е. при фиксированном . обращающуюся в случайную величину, определенную на вероятностном пространстве Фиксируя значение аргумента функции получают числовую функцию на Т, называемую реализацией (или выборочной функцией, или, если t- это время, траекторией) С. ф. X(t); -алгебра и мера Р при этом индуцируют -алгебру подмножеств и определенную на ной вероятностную меру в функциональном пространстве реализацией x(t), задание к-рой также можно считать эквивалентным заданию С. ф. Задание С. ф. как вероятностной меры, определенной на -алгебре подмножеств функционального пространства всевозможных реализаций x(t), можно рассматривать как частный случай общего задания С. ф. как функции двух переменных (где принадлежит вероятностному пространству соответствующий условию, что т. е. что элементарные события (точки исходного вероятностного пространства) с самого начала отождествляются с реализациями х(t)С. ф. X(t);с другой стороны, можно также показать, что к такому заданию С. ф. с помощью указания вероятностной меры на сводятся и все другие способы задания С. ф. X(t). В частности, задание совокупности всевозможных конечномерных функций распределения удовлетворяющих условиям согласованности (1) и (2), в силу фундаментальной теоремы Колмогорова о согласованных распределениях (см. Вероятностное пространство), определяет вероятностную меру на -алгебре подмножеств функционального пространства порожденной совокупностью цилиндрич. множеств вида где п - произвольное целое положительное число, а В" - произвольное борелевское множество n-мерного пространства векторов
Лит. см. при ст. Случайный процесс.

А. М. Яглом.

Русско-английский политехнический словарь

random function

* * *

random function

Dictionnaire technique russo-italien

funzione aleatoria [casuale]

Русско-украинский политехнический словарь

випадко́ва фу́нкція

Русско-украинский политехнический словарь

випадко́ва фу́нкція

Естествознание. Энциклопедический словарь

функция произвольного аргумента, такая, что её значения определяются случайным исходом нек-рого испытания, причём для них существует определ. распределение вероятностей. Понятие С. ф. весьма близко понятию случайного процесса.