«Функционал»

функциона́л

математическое понятие, возникшее в вариационном исчислении для обозначения переменной величины, заданной на множестве функций, то есть зависящей от выбора одной или нескольких функций. Например, длина дуги кривой, соединяющей две фиксированные точки, будет функционалом, так как величина длины дуги зависит от выбора функции, график которой соединяет эти точки.

* * *

ФУНКЦИОНА́Л, математическое понятие, возникшее в вариационном исчислении для обозначения переменной величины, заданной на множестве функций, т. е. зависящей от выбора одной или нескольких функций. Напр., длина дуги кривой, соединяющей две фиксированные точки, будет функционалом, т. к. величина длины дуги зависит от выбора функции, график которой соединяет эти точки.

(от лат.functio — исполнение, осуществление) — обобщение понятия функции, первоначально возникшего в вариационном исчислении, где обозначало переменную величину, зависящую от функции (линии) или от нескольких линий, т. е числовую функцию. Точное математические определение таково — отображение множества функций на множество точек.

от марковского процесса - случайная величина или случайная функция, зависящая измеримым образом от траектории марковского процесса; условие измеримости варьируется в зависимости от конкретной ситуации. В общей теории марковских процессов принимается следующее определение Ф. Пусть в измеримом пространстве задан необрывающийся однородный марковский процесс с операторами временного сдвига и пусть -наименьшая из -алгебр в пространстве элементарных событий, содержащих любое событие вида где - пересечение всех пополнений по всевозможным мерам Случайная функция наз. функционалом от марковского процесса Х, если при каждом величина измерима относительно -алгебры

Особый интерес представляют мультипликативные и аддитивные Ф. от марковских процессов. Первые из них выделяются условием вторые - условием причем функцию считают непрерывной справа на (с другой стороны, иногда приходится предполагать эти условия выполняющимися лишь Р _х -почти наверное для любых фиксированных Соответствующие формулировки принимаются в случае обрывающихся и неоднородных процессов. Примеры аддитивных Ф. от марковского процесса можно получить, приравняв при или к или к сумме скачков случайной функции f(x_s )при где f(х) - ограниченная и измеримая относительно функция (второй и третий примеры корректны лишь при нек-рых дополнительных условиях). Переход от любого аддитивного Ф. к ехр доставляет пример мультипликативного Ф. В случае стандартного марковского процесса интересным и важным примером мультипликативного Ф. служит случайная функция, равная 1 при и 0 при где -момент первого выхода Xиз нек-рого множества

С мультипликативными Ф., подчиненными условию связано одно естественное преобразование марковского процесса -переход к подпроцессу. По переходной функции Р(t, х, В )процесса строят новую

причем может оказаться, что в нек-рых точках Новой переходной функции в соответствует нек-рый марковский процесс к-рый вместе с исходным можно реализовать на одном и том же пространстве элементарных событий с одними и теми же мерами причем так, что при и что -алгебра является следом -алгебры в множестве Процесс наз. подпроцессом марковского процесса X, получаемым в результате лубивания

- отображение f произвольного множества Xв множество действительных или комплексных чисел. Если Xнаделено структурой векторного пространства, топологического пространства, упорядоченного множества, то возникают соответственно важные классы линейных, непрерывных, монотонных Ф.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981.

В. И. Соболев.

матем. понятие, означавшее первоначально (в вариац. исчислении) перем. величину, зависящую от выбора одной или неск. ф-ций (линий). В более общем смысле Ф. - оператор, отображающий бесконечномерное пространство в множество действит. или комплексных чисел.

функциона́л м.

functional

м. матем.

funzionale m

- векторный функционал

- непрерывный функционал

матем.

функціона́л

- аддитивный функционал

- свободный функционал

матем.

функціона́л

- аддитивный функционал

- свободный функционал

матем. понятие, возникшее в вариационном исчислении для обозначения переменной величины, заданной на множестве функций, т. е. зависящей от выбора одной или неск. функций. напр., длина дуги кривой, соединяющей две фиксированные точки, будет Ф., т. к. величина длины дуги зависит от выбора функции, график к-рой соединяет эти точки.