«Формализованный язык»

1) в широком смысле – любая совокупность некоторым образом специализированных языковых средств с (более или менее) точно фиксированными правилами образования «выражений» (синтаксис Ф. я.) и приписывания этим выражениям определённого смысла (семантика). В таком употреблении термин «Ф. я.» не предполагает, вообще говоря, никаких специальных ограничений ни на синтаксическую структуру, ни на семантические правила, ни на назначение такого языка. Например, выражения «Н₂О», «вода», «eau», «water», «Wasser», «vesi» и т.д. можно, в принципе, в равной мере считать элементами «Ф. я. химии».

2) Под Ф. я. в логике понимают интерпретированное Исчисление, т. е. некоторую формальную систему вместе с её интерпретацией (См. Интерпретация). Использование Ф. я. – характерная особенность математической логики (См. Логика), которую часто и определяют как «предмет формальной логики, изучаемый посредством построения формализованных языков». Следует, впрочем, заметить, что такого рода «определения» отнюдь не являются неотъемлемым атрибутом изложении математической логики: понятие Ф. я. не только не входит (как правило) в предметные логико-математические языки, но не является, строго говоря, и элементом никакого конкретного Метаязыка, будучи скорее удобным рабочим термином для предварительных эвристических пояснений предмета этой науки.

Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, Введение (§§ 00–09).

formalized language

ФОРМАЛИЗО́ВАННЫЙ ЯЗЫК

1) В широком смысле – любая совокупность нек-рым образом специализированных языковых средств с (более или менее) точно фиксиров. правилами образования "выражений" (с и н т а к с и с Ф. я.) и приписывания этим выражениям определ. смысла (с е м а н т и к а). В таком употреблении термин "Ф. я." не предполагает, вообще говоря, никаких спец. ограничений ни на синтаксич. структуру, ни на семантич. правила, ни на назначение такого языка. В частности, Ф. я. может как включать дедуктивные элементы (т.е. служить способом выражения умозаключений, предназначаемых для доказательства или вывода нек-рых утверждений), так и не включать таковых (т.е. быть именно и только "языком" как таковым). При таком широком словоупотреблении между "формализованными" и "неформализованными" языками нет четкой границы, они представляют собой не столько два "разных языка", сколько различные способы описания одной и той же "языковой субстанции". Напр., выражения "Н2О", "вода", "eau", "water", "Wasser", "vesi" и т.д. можно, в принципе, в равной мере считать элементами "Ф. я. химии", и обычный выбор в качестве стандартного именно первого из них определяется не какой-то его особой "формальностью", а тем удобным обстоятельством, что лишь оно (как, впрочем, и более громоздкие выражения вида "вещество, молекула к-рого состоит из двух молекул водорода и одной молекулы кислорода") имеет четкую структуру, "подсказывающую" способ его образования из нек-рых "элементарных" языковых символов (знаков химич. элементов, скобок, точек и цифр), что играет решающую роль при построении простой и обозримой семантики этого языка. Такого же рода соображения определяют, по существу, и выбор стандартных "Ф. я. математики" и т.п. Структурная организованность таких "математизированных" Ф. я. чрезвычайно важна для задач (математической) логики, где термин "Ф. я." употребляется в следующем, более узком смысле.

2) Под Ф. я. в логике понимают интерпретированное исчисление, т.е. нек-рую формальную систему вместе с ее интерпретацией. Именно ввиду наличия интерпретации как неотъемлемого элемента Ф. я. для обозначения этого понятия часто употребляют (синонимичный) термин "семантич. система" (в отличие от "синтаксич. систем" – неинтерпретированных исчислений).

Использование Ф. я.– характерная особенность матем. логики, к-рую часто и определяют как "предмет формальной логики, изучаемый посредством построения формализованных языков". Следует, впрочем, заметить, что такого рода "определения" отнюдь не являются неотъемлемым атрибутом изложений математич. логики: понятие Ф. я. не только не входит (как правило) в предметные логико-математич. языки, но не является, строго говоря, и элементом никакого конкретного метаязыка, будучи, скорее, удобным рабочим термином для предварительных эвристич. пояснений предмета этой науки. Напр., в таких классич. изложениях математич. логики, как "Введение в метаматематику" С. К. Клини (пер. с англ., М., 1957) или "Grundlagen der Mathematik" Д. Гильберта и П. Бернайса (В., 1934–39), этим понятием (по крайней мере в явном виде) вообще не пользуются (хотя и следуют, конечно, воплощенным в нем идеям и представлениям).

Лит.: Черч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, введение (§ 00–09); Tarski Α., Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, "Studia Philos.", 1935, Bd 1, S. 261–405; Carnap R.. Introduction to semantics and formalization of logic, L., 1959.

Ю. Гастев. Москва.

искусственный язык, для к-рого имеется точное формальное определение класса выражений языка и достаточно строгое объяснение значения или смысла этих выражений. Обычно выражения Ф. я. представляют собой формальные комбинации исходных символов, образующиеся по определенным правилам образования выражений данного языка. Описание выражений Ф. я. и связей между ними составляет синтаксис языка. Выявление смысла выражений относится к семантике языка. Таким образом, задать Ф. я.- это значит построить его синтаксис и указать семантику. В формулировках синтаксич. понятий Ф. я. не разрешается использовать семантич. понятия. Все синтаксич. определения должны быть понятны лицу, незнакомому с семантикой языка. Это основное требование, отличающее Ф. я. от естественных, ведет к отделению синтаксиса от семантики и к появлению языков с одинаковым синтаксисом, но разными семантиками. Часто иод Ф. я. понимают только его синтаксис, а возможные семантики наз. интерпретациями языка.

Достигаемая в Ф. я. четкая фиксация языковых средств выражения позволяет устранить неявные ссылки на интуитивную очевидность, неизбежные при неформальном аксиоматич. построении теории (см. Неформальный аксиоматический метод). Формализация языка создает основу для формализации дедуктивных средств исследуемой математич. теории. Понятие Ф. я. лежит в основе гильбертовского понятия формальной системы.

Иногда в понятие Ф. я. включают не только его синтаксис и семантику, но и точную фиксацию допустимых дедуктивных средств получения верных предложений Ф. я. (т. с. включают аксиомы и правила вывода). Конкретные примеры Ф. я. приведены в статьях Аксиоматическая теория множеств, Арифметика формальная, Предикатов исчисление, Типов теория.

С семантич. точки зрения выделяют следующие виды языковых выражений: переменные, термы, формулы. Каждой переменной сопоставляется (при семантич. истолковании) нек-рая область ее допустимых значений - область изменения переменной. Если у всех переменных область изменения оказывается одной и той же, то язык наз. односортным. В противном случае - многосортным. В многосортном языке должны быть синтаксич. правила образования сортов, наз. также типами. Каждая переменная такого языка имеет вполне определенный тип. Семантич. правила должны сопоставлять каждому типу нек-рую область Переменные, имеющие тип лпробегают