«Чебышева многочлены»

1) Ч. м. 1-го рода — специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n =0, 1, 2,... определяются формулой:

В частности, Т₀ = 1; T₁ = х;T₂ =2x² ―1; T₃ = 4x³ ― 3x;T₄ =8x⁴―8x² + 1. Ч. м. T_n (x) ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 — x²)^―1/2. Дифференциальное уравнение:

(1 — x²)у" — ху + n²у =0.

Рекуррентная формула: T_n+1(x)= 2xTn (х)-T_n―1(x).

Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов (См. Якоби многочлены)P_n ^(αβ)(x):

2) Ч. м. 2-го рода U_n (x) — ортогональная на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 —x²)^1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:

(1 — x²) U_n―1(х) = xTn(х)―T_n+1(х).

Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2—3, М.—Л., 1947—48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.

ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ - специальная система многочленов, ортогональных с весом (Чебышева многочлен 1-го рода) или с весом (Чебышева многочлен 2-го рода) на отрезке ЧЕБЫШЕВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММ - плоский 4-звенный шарнирный механизм для воспроизведения движения некоторой точки звена по прямой линии без применения направляющих. Предложен в 1868 П. Л. Чебышевым.

Чебыше́ва многочле́ны

специальная система многочленов, ортогональных с весом [-1; 1] (см. Ортогональная система функций). Введены в 1854 П. Л. Чебышевым.

* * *

ЧЕБЫШЕ́ВА МНОГОЧЛЕ́НЫ, специальная система многочленов, ортогональных с весом (Чебышева многочлен 1-го рода) или с весом (Чебышева многочлен 2-го рода) на отрезке [-1; 1] (см. Ортогональная система функций(см. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ)). Введены в 1854 П. Л. Чебышевым.

первого рода - многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией

Для стандартизованных Ч. м. справедливы формула

и рекуррентное соотношение

с помощью к-рых находят последовательно

T₀ (x) = 1, T₁(x) = x, Т₂ (х)=2х ^2-1,

T₃(x) = 4x³ - З х, T₄(x) = 8x⁴ - 8x² + 1,

Т ₅ (х)= 16x⁵ - 20x³ + 5 х,....

Ортонормированные Ч. м.:

Старший коэффициент многочлена Т _n (х) при равен 2ⁿ-1. Поэтому Ч. п. с единичным старшим коэффициентом определяются формулой

Нули многочлена Т _п(x), определяемые равенством

часто применяются в качество узлов интерполяционных и квадратурных формул. Многочлен Т _п (х)является решением дифференциального уравнения

Многочлен наименее отклоняется от нуля на отрезке [-1, 1], т. е. для всякого другого многочлена степени пс единичным старшим коэффициентом выполняется условие

С другой стороны, для всякого многочлена Q_n(x) степени не выше и, удовлетворяющего условию

при любом имеет место неравенство

Если функция f(x)непрерывна на отрезке [-1, 1] и ее модуль непрерывности удовлетворяет условию Дини

то эта функция разлагается в ряд Фурье - Чебышева сходящийся равномерно на отрезке [-1, 1]. Коэффициенты этого ряда определяются по формуле

Если же функция f(х)непрерывно дифференцируема рраз на отрезке [-1, 1], причем ее р-я производная f ^(Р) (х) удовлетворяет условию Липшица порядка т. е. то имеет место неравенство

где постоянная с ₁ не зависит от пи х.

Ч. м. второго рода определяются равенством

Эти многочлены ортогональны на отрезке [-1, 1] с весовой функцией

Для всякого многочлена с единичным старшим коэффициентом справедливо неравенство

Ч. м. были введены в 1854 П. Л. Чебышевым (см. [1]).

Обе системы Ч. м. являются частными случаями ультрасферических многочленов и Якоба многочленов.

Лит.:[1] Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2, М.- Л., 1947, с. 23-51; [2] Сегё Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.

П. К. Суетин.

спец. система многочленов, ортогональных с весом 1/корень из (1-х²) (Ч.м. 1-го рода) или с весом корень из (1-х²) (Ч.м. 2-го рода) на отрезке [-1; 1] (см. Ортогональная система функций). Введены в 1854 П. Л. Чебышевым.