«Лапласа уравнение»

дифференциальное уравнение с частными производными

где х, у, z — независимые переменные, а u = u(x, y, z) — искомая функция. Это уравнение названо по имени П. Лапласа, рассмотревшего его в работах по теории тяготения (1782). К Л. у. приводит ряд задач физики и техники. Л. у. удовлетворяют температура при стационарных процессах, потенциал электростатического поля в точках пространства, свободных от зарядов, потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и т. п. Функции, удовлетворяющие Л. у., называются гармоническими функциями (См. Гармонические функции). О постановке задач для Л. у. см. в ст. Краевые задачи.

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ - дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядкагде, x, y, z - независимые переменные, ?(x, y, z) - искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом (1782). К уравнению Лапласа приводят многие задачи математической физики (напр., распределение температур в стационарном процессе).

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ

дифференциальное ур-ние с частными производными

где u(х, у, z) — ф-ция независимых переменных х, у, z. Названо по имени франц. учёного П. Лапласа, применившего его в работах по тяготению (1782). К Л. у. приводят мн. задачи физики и механики, в к-рых физ. величина явл. ф-цией только координат точки. Так, Л. у. описывает потенциал сил тяготения в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатич. поля — в области, не содержащей зарядов, темп-ру при стационарных процессах и т. д. Ф-ции, являющиеся решениями Л. у., наз. гармоническими. Л. у.— частный случай Пуассона уравнения. Оператор наз. оператором Лапласа.

Лапла́са уравне́ние

дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка.Где х, у, z — независимые переменные, φ(х, у, z) — искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом (1782). К Лапласа уравнению приводят многие задачи математической физики (например, распределение температур в стационарном процессе).

* * *

ЛАПЛА́СА УРАВНЕ́НИЕ, дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка

где, x, y, z — независимые переменные, j(x, y, z) — искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом (1782). К уравнению Лапласа приводят многие задачи математической физики (напр., распределение температур в стационарном процессе).

- однородное дифференциальное уравнение с частными производными вида

где - функция от пдействительных переменных. Левая часть Л. у. наз. Лапласа оператором от функции и. Регулярные решения Л. у. класса С ² в нек-рой области Dевклидова пространства т. е. решения, имеющие непрерывные частные производные до 2-го порядка в D, наз. гармоническими функциями в D. Л. у. является основным представителем дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка эллиптич. типа, на к-ром вырабатывались и вырабатываются основные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений.

Пусть v - потенциальное векторное поле в D, т. е. v=-grad и, где м=и(х ₁, х ₂,..., хД) - потенциал. Так как

то физич. смысл Л. у. состоит в том, что оно выполняется для потенциала любого такого поля в областях D, свободных от источников поля. Напр., Л. у. удовлетворяет гравитационный потенциал сил тяготения в областях, свободных от притягивающих масс, потенциал электростатич. поля в областях, свободных от зарядов, и т. д. Таким образом, Л. у. выражает закон сохранения для потенциального поля. С этой точки зрения форма (1) Л. у. получается при выборе декартовой прямоугольной системы координат; в других системах координат оператор Лапласа и Л. <у. принимают другой вид. При наличии источников поля в правой части ().появляется функция, пропорциональная плотности источников, и Л. у. переходит в Пуассона уравнение. Л. у. возникает и во многих других вопросах математич. физики, в к-рых рассматриваются стационарные поля, напр, при изучении стационарного распределения температур, статических задач теории упругости и др.

Основными для Л. у. являются следующие краевые задачи теории потенциала: 1) Дирихле задача, или первая краевая задача, когда ищется гармонич. функция, принимающая на границе области дD заданные непрерывные значения; 2) Неймана задача, или вторая краевая задача, когда ищется гармонич. функция итакая, что ее нормальная производная дu/дп принимает на дD заданные непрерывные значения; 3) смешанная задача, когда ищется гармонич. функция и, удовлетворяющая на границе линейному соотношению

В случае n=2 Л. у. тесно связано с теорией аналитич. функций комплексного переменного z=x₁+ix₂, характеризующихся тем, что их действительная и мнимая части являются сопряженными гармонич. функциями.

Л. у. встречается у Л. Эйлера и Ж. Д'Аламбера (см. [1], [2]) в связи с задачами гидромеханики и первоначальным рассмотрением функций комплексного переменного. Однако широкую известность оно получило после появления работ П. Лапласа (см. [3], [4]) по теории гравитационного потенциала и небесной механике.

Уравнение (1) иногда наз. скалярным Л. у. в отличие от в е к т о р н о г о Л. у.

В случае, напр., векторного поля заданного в прямоугольной декартовой системе координат пространства векторное Л. у. (2) равносильно трем скалярным Л. у. для каждой из компонент В других системах координат векторное Л. у. равносильно системе трех уравнений с частными производными 2-го порядка относительно компонент векторного поля v, получающейся из (2) после выполнения указанных там операций векторного анализа в соответствующих координатах (см. [7]).

Лит.:[1] Е u l е r L., "Novi Commentarii Acad. Sci. Petropolitanae", 1761, t. 6; [2] D'A 1 e m b e r t J. le R о n d, Opuscules mathematiques, t. 1, P., 1761; [3] L a p 1 а с e P. S., "Mem. Acad. Paris (1782)", 1785; [4] e г о же, TraitcS lie mecanique celeste, t. 2, P., 1799; [5] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [6] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [7] Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 2, М., 1960. Е. Д. Соломенцев.

численные методы решения - методы, заменяющие исходную краевую задачу дискретной задачей, содержащей конечное число N неизвестных, нахождение к-рых с соответствующей точностью позволяет определить решение исходной задачи с заданной точностью зависит от и стремится к при

Л. у. в случае dпространственных переменных имеет вид

и является однородным уравнением Пуассона. Краевые задачи для уравнения Лапласа являются частными случаями краевых задач для уравнения Пуассона и более общих уравнений эллиптич. типа (см. [1]), а численные методы решения краевых задач для уравнений эллиптич. типа (см. [2]) содержат в себе многие численные методы для уравнения Лапласа. Специфика Л. у. позволяет конструировать и использовать методы, обладающие существенно лучшими характеристиками, чем методы для более общих уравнений, хотя на практике часто этим возможностям предпочитают простоту реализации метода на ЭВМ.

Основными численными методами для уравнений эллиптич. типа являются: вариационно-разностные методы (проекционно-разностные, методы конечных элементов) и разностные методы (методы сеток). Оба класса методов связаны с аппроксимацией исходной области нек-рой сеточной областью содержащей Nузлов сетки, и построением системы алгебраич. уравнений

относительно значений функции, определяемой в этих узлах. В вариационно-разностных методах, являющихся специальными случаями вариационных и проекционных методов, используется идея аппроксимации рассматриваемого пространства функций, содержащего решение исходной задачи, нек-рыми специальными конечномерными подпространствами с заданными базисными функциями, а в системе (*) вектор состоит из коэффициентов разложения получаемой аппроксимации искомого решения по выбранному базису. В предположении, что решение исходной задачи в ограниченной области W на плоскости имеет вид

где - пространство Соболева, а функции заданы и отражают асимптотич. поведение и(х).вблизи особых точек (угловых точек границы, точек перемены типа граничного условия), для многих типов областей и смешанных краевых задач эти методы позволяют, напр., найти решение u(х).с точностью e в при затрате арифметич. действий (см. [3]), а в ряде более частных случаев оценки вычислительной работы уменьшаются до

В разностных методах обычно используется в той или иной форме аппроксимация производных разностями, и в системе (*) вектор состоит из компонент, апплоксимирующих значения решения в узлах сетки Наиболее изучены характеристики упомянутых методов для краевых задач в ограниченных областях W на плоскости. Напр., для условия Дирихле где Г - граница W и j(s) - достаточно гладкие, можно на основе улучшения дифференциальных свойств решения Л. у. по мере удаления от Г так построить систему (*), что число Nпо порядку равно числу N _Г точек на Г, используемых для задания j(s) с точностью e, а u_N может быть найдено с точностьюe при затрате арифметич. действий и дает возможность найти решение исходной задачи с точностью e в любой фиксированной точке из строго внутренней подобласти при затрате конечного числа действий (см. [4]). Методы такого типа являются асимптотически оптимальными; в случае же использования, напр., более простых методов с прямоугольной сеткой, обладающих точностью затраты на нахождение и _N с точностью e составляют (см. [4]). Наиболее детально изучены оценки погрешности метода сеток для Л. у. (см. [4], [5]); при наличии особых точек на Г целесообразно использовать специальную структуру сеток вблизи этих точек (см. [6]). Часто используются и разностные методы, основанные на аппроксимации нек-рых интегральных характеристик для Л. у. (см. [7] - [9]).

Относительно редко применяется метод коллокаций, в к-ром система (*) получается как следствие выполнения исходного уравнения в узлах сетки и предположения, что приближение к решению исходной задачи ищется в нек-ром конечномерном подпространстве. Специальный класс численных методов решения краевых зад-ач для Л. у. основан на сведении этих задач к сингулярным интегральным уравнениям (см. [1]) и последующему решению полученных интегральных уравнений численными методами (см. [10], [11]).

Лит.:[1] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [2] М а р ч у к Г. И., Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980; [3] Дьяконов Е. Г., в сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике, Новосиб., 1978, с. 149-64; [4] Б а х в а л о в Н. С., в сб.: Международный конгресс математиков в Ницце. 1970, М., 1972, с. 27-33; [5] Волков Е. А., "Ж. вычислит. матем. и матем. физики", 1969, т. 9, № 3, с. 573-84; [6] е г о же "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1979, т. 150, с. 67-98; [7] Л ю с т е р н и к Л. А.."Успехи матем. наук", 1954, т. 9, в. 2, с. 3-66; [8] Самарский А. А., Ф р я з и н о в И. В., "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 6, с. 167-97; [9] Волков Е. А., "Докл. АН СССР", 1978, т. 238, Л" 5, с. 1036-39; [10] Партон В. 3., П е р л и н Б. И., Интегральные уравнения теории упругости, М., 1977; [11] Иванов В. В., в сб.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, М., 1972, с. 209-19. Е. Г. Дьяконов.

дифференц. ур-ние с частными производными 2-го порядка

где х, у, г - независимые переменные, и (х, у, г) - искомая ф-ция. К Л. у. приводит ряд задач физики и техники; ему удовлетворяют, напр., установившаяся темп-pa, электрич. потенциал внутри однородного тела, потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс.

дифференц. ур-ние с частными производными 2-го порядка

где х, у, z - независимые переменные, ф(х, у, z) - искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом в 1782. К Л. у. приводят мн. задачи матем. физики (напр., распределение темп-р в стационарном процессе).