Большая Советская энциклопедия
специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0,1,2...
Я. м. Pn(α,β)(х) могут быть определены формулой:
Я. м. ортогональны на отрезке [—1,1] относительно веса (1—х)α (1 + х)β (см. Ортогональные многочлены). Введены К. Якоби (опубликовано в 1859). Частными случаями Я. м. являются многочлены Лежандра (при α = β = 0), многочлены Чебышева первого рода (при α = β =—1/2) и второго рода (при α = β = 1/2), ультрасферические многочлены (при α = β). В свою очередь Я. м. являются частным случаем гипергеометрической функции (См. Гипергеометрические функции). Дифференциальное уравнение для у = Pn(α,β)(х):
.
Математическая энциклопедия
многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией
Стандартизованные Я. м. определяются Рoдрига фoрмулой
а ортонормированные Я. м. имеют вид
Многочлен 
удовлетворяет дифференциальному уравнению
При 
и 
для ортонормированных Я. м. имеет место весовая оценка
где постоянная с 1 не зависит от пи х. А в точках 
последовательность 
возрастает со скоростью 
и 
соответственно.
Ряды Фурье по Я. м. внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье. А в окрестности концов отрезка ортогональности свойства рядов Фурье - Якоби иные, ибо в точках 
ортонормированные Я. м. возрастают неограниченно. Равномерная сходимость ряда Фурье - Якоби на всем отрезке [-1, 1] имеет место, если функция f(x) непрерывно дифференцируема рраз на этом отрезке и 
причем
где
При этих условиях выполняется неравенство
где постоянная с 2 не зависит от пи х. С другой стороны, для остатка ряда Фурье - Якоби при 
и 
справедлива весовая оценка
где 
постоянная с 3 не зависит от пи х,a En(f) - наилучшее равномерное приближение непрерывной функции f(x)на отрезке [-1, 1] многочленами порядка не выше п.
Я. м. были введены К. Якоби [1] в связи с решением гипергеометрич. уравнения. Частными случаями Я. м. являются Лежандра многочлены (при 
Чебышева многочлены1-го рода (при 
Чебышева многочлены 2-го рола (при 
улътрасферические многочлены (при 
См. также ст. Классические ортогональные многочлены.
Лит.:[1] Jасоbi С., лJ. reine und angew. Math.