«Гомотетия»

(от Гомо... и греч. thetós — расположенный)

(математическая), преобразование, в котором каждой точке М (плоскости или пространства) ставится в соответствие точка M', лежащая на OM,О — фиксированная точка (рис. 1), называемая центром Г., причём отношение OM':OM = λ одно и то же для всех точек М, отличных от О (при этом отношение OM' : OM считается положительным, если точки M' и Млежат по одну сторону от О, и отрицательным в противном случае). Число λ называется коэффициентом Г. При λСимметрия) относительно точки О. При Г. прямая переходит в прямую, сохраняется параллельность прямых и плоскостей, сохраняются углы (линейные и двугранные); каждая фигура переходит в фигуру, ей подобную (рис. 2), верно и обратное утверждение. Г. может быть определена как аффинное преобразование (См. Аффинные преобразования), при котором прямые, соединяющие соответственные точки, проходят через одну точку (центр Г. ). Г. применяется для увеличения изображений (проекционный фонарь, кино).

Рис. 1 к ст. Гомотетия.

Рис. 2 к ст. Гомотетия.

ГОМОТЕТИЯ (от гомо... и греч. thetos - расположенный) (преобразование подобия) - преобразование плоскости или пространства, при котором каждой точке М ставится в соответствие точка М , лежащая на ОМ, О - фиксированная точка, причем отношение ОМ : ОМ = k (коэффициент гомотетии) одно и то же для всех точек М, отличных от О. При гомотетии каждая фигура переходит в подобную (см. Подобие).

dilation, homothety

f.homothety, homothetic transformation, dilation

гомоте́тия

(от гомо... и греч. thetós — расположенный) (преобразование подобия), преобразование плоскости или пространства, при котором каждой точке М ставится в соответствие точка М\', лежащая на ОМ, О — фиксированная точка, причём отношение ОМ\' : ОМ = k (коэффициент гомотетии) одно и то же для всех точек М, отличных от О. При гомотетии каждая фигура переходит в подобную (см Подобие).

* * *

ГОМОТЕ́ТИЯ (от гомо...(см. ГОМО... (часть сложных слов)) и греч. thetos — расположенный) (преобразование подобия), преобразование плоскости или пространства, при котором каждой точке М ставится в соответствие точка М", лежащая на ОМ, О — фиксированная точка, причем отношение ОМ": ОМ = k (коэффициент гомотетии) одно и то же для всех точек М, отличных от О. При гомотетии каждая фигура переходит в подобную (см. Подобие(см. ПОДОБИЕ)).

- преобразование евклидова пространства относительно пек-рой точки О, ставящее в соответствие каждой точке Мточку М', лежащую на прямой ОМ, по правилу

где k - постоянное, отличное от нуля число, наз. коэффициентом Г. Точка Оназ. центром Г. При k>0 точки М и М' лежат на одном луче, при k<0 - по разные стороны от центра. Точке Осоответствует сама эта точка. Г. есть частный случай подобия. Две фигуры наз. гомотетичным и (а также подобными и подобно расположенными, или перспективно-подобным и), если каждая состоит из точек, получаемых преобразованием Г. из другой фигуры относительно нек-рого центра Г.

Простейшие свойства Г.: Г. есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства в себя с одной неподвижной точкой. При k= 1 Г. есть тождественное преобразование. Г. переводит прямую (плоскость), проходящую через центр Г., в себя, прямую (плоскость), не проходящую через центр,- в прямую (плоскость), ей параллельную; углы между прямыми (плоскостями) при Г. сохраняются. Отрезки при Г. переходят в параллельные им отрезки с длиной, уменьшенной или увеличенной в|k| раз, т. е. Г. есть сжатие (растяжение) евклидова пространства к точке О. Всякая сфера при Г. преобразуется в сферу, причем центр одной переходит в центр другой.

Г. задается чаще всего (геометрически) центром Г. и парой соответственных точек или двумя парами соответственных точек. Г. есть аффинное преобразование, имеющее одну (и только одну) двойную точку.

В га-мерных евклидовых пространствах Г. оставляет инвариантными каждую из совокупностей fe-мерпых плоскостей пространства.

Аналогично определяется Г. в псевдоевклидовых пространствах. Г. в римановых пространствах и в псевдо-римановых пространствах определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя. Совокупность Г. составляет группу преобразований Ли, причем r-членная группа Г. риманова пространства содержит -членную Нормальную подгруппу движений. И. П. Егоров

(от голо... и греч. thetos - расположенный), преобразование подобия, - преобразование плоскости или пространства, при к-ром каждой точке М ставится в соответствие точка М', лежащая на ОМ (где О - фиксированная точка), причём отношение ОМ': ОМ = k (коэфф. Г.) - одно и то же для всех точек М. отличных от О. При Г. каждая фигура переходит в подобную (см. Подобие). Г. применяют для увеличения или уменьшения изображений (проектор, киноустановка).

гомоте́тия ж.

homothetic transformation, transformation of similitude; dilation, dilatation

* * *

homotopy

ж. матем.

omotetia f

- обратная гомотетия

матем.

гомоте́тія

- обратная гомотетия

матем.

гомоте́тія

- обратная гомотетия

(от гомо... и греч. thetоs - расположенный) (преобразование подобия), преобразование плоскости или пространства, при к-ром каждой точке М ставится в соответствие точка М', лежащая па ОМ, О - фиксированная точка, причём отношение OM':OM = k (коэф. Г.) одно и то же для всех точек М, отличных от О. При Г. каждая фигура переходит в подобную (см. Подобие).