«Проекционный оператор»

(математический)

Оператор в n-мерном евклидовом или бесконечномерном гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство), ставящий в соответствие каждому вектору х его проекцию на некоторое фиксированное подпространство. Например, если Н — пространство суммируемых со своим квадратом функций f(t) на отрезке [а,b] и x(t)— характеристическая функция некоторого отрезка [с, d],лежащего внутри [а,b], то отображение f(t)→X(t) f(t) представляет собой П. о., проектирующий всё Н на подпространство функций, равных нулю вне [с, d].Всякий П. о. Р является самосопряжённым и удовлетворяет условию P² =Р.Обратно, если оператор Р — самосопряжённый и P² =Р, то Р есть П. о. Понятие П. о. играет важную роль в спектральном анализе (См. Спектральный анализ) линейных операторов в гильбертовом пространстве.

ПРОЕКЦИОННЫЙ ОПЕРАТОР

(действующий на векторном пространстве L)- оператор Р, определённый на всём L, такой, что =Р. Если L - гильбертово пространство [пространство ф-ций на множестве интегрируемых с квадратом по мере ], тогда L представимо в виде прямой суммы двух ортогональных друг другу подпространств: причём P действует тождественно на всех векторах и обращает в нуль все векторы Т. о., оператор P проецирует любой вектор где на подпространство

Примеры П. о. в физике - операторы, проецирующие на собств. подпространства, отвечающие к.-л. собств. значениям самосопряжённого оператора А спектральные П. о. (см. Собственные функции). Метод П. о. широко применяется в матем. аппарате физики.

На множестве всех П. о. можно определить групповые операции сложения и умножения. Обозначим через П. о. на подпространство Тогда выполнены свойства: т. е. различные П. о. коммутируют между собой, и их произведение - опять П. о.; если = {0}, то т. е. в этом случае сумма П. о. снова даёт П. о.: = I, т. е.будет обратным элементом

по сложению. Л. O. Чехов.