«Непараметрические методы»

в математической статистике, методы непосредственной оценки теоретического распределения вероятностей и тех или иных его общих свойств (симметрии и т.п.) по результатам наблюдений. Название Н. м. подчёркивает их отличие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретическое распределение принадлежит какому-либо семейству, зависящему от конечного числа параметров (например, семейству нормальных распределений (См. Нормальное распределение)), и которые позволяют по результатам наблюдений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те или иные гипотезы относительно их значений. Разработка Н. м. является в значительной степени заслугой советских учёных.

В качестве примера Н. м. можно привести найденный А. Н. Колмогоровымспособ проверки согласованности теоретических и эмпирических распределений (так называемый критерий Колмогорова). Пусть результаты n независимых наблюдений некоторой величины имеют функцию распределения F(x) и пусть F_n (x) обозначает эмпирическую функцию распределения (см. Вариационный ряд), построенную по этим n наблюдениям, a D_n —наибольшее по абсолютной величине значение разности F_n (x)— F(x). Случайная величина

имеет в случае непрерывности F(x) функцию распределения K_n (λ), не зависящую от F(x) и стремящуюся при безграничном возрастании n к пределу

Отсюда при достаточно больших n, для вероятности p_n,_λ. Неравенства

получается приближённое выражение

p_n,λ — 1 - К (λ). (*)

Функция К(λ) табулирована. Её значения для некоторых А приведены в табл.

Таблица функции К(λ)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

| λ      | 0,57     | 0,71       | 0,83    | 1,02    | 1,36    | 1,63    |

|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| К (λ)         | 0,10     | 0,30       | 0,50    | 0,75    | 0,95    | 0,99    |

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Равенство (*) следующим образом используется для проверки гипотезы о том, что наблюдаемая случайная величина имеет функцию распределения F(x):сначала по результатам наблюдений находят значение величины D_n, а затем по формуле (*) вычисляют вероятность получения отклонения F_n от F, большего или равного наблюдённому. Если указанная вероятность достаточно мала, то в соответствии с общими принципами проверки статистических гипотез (см. Статистическая проверка гипотез) проверяемую гипотезу отвергают. В противном случае считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипотезе. Аналогично проверяется гипотеза о том, получены ли две независимые выборки, объёма n₁ и n₂ соответственно, из одной и той же генеральной совокупности с непрерывным законом распределения. При этом вместо формулы (*) пользуются тем, что вероятность неравенства

как это было установлено Н. В. Смирновым, имеет пределом К(λ), здесь D_n1, _n2есть наибольшее по абсолютной величине значение разности F_n1(х)— F_n2(х).

Другим примером Н. м. могут служить методы проверки гипотезы о том, что теоретическое распределение принадлежит к семейству нормальных распределений. Отметим здесь лишь один из этих методов — так называемый метод выпрямленной диаграммы. Этот метод основывается на следующем замечании. Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами α и σ, то

где Ф^-1 — функция, обратная нормальной:

Т. о., график функции у = Ф^-1[F(x)]будет в этом случае прямой линией, а график функции у=Ф^-1[F_n (x)] — ломаной линией, близкой к этой прямой (см. рис.). Степень близости и служит критерием для проверки гипотезы нормальности распределения F(x).

Лит.: Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1968.

Ю. В. Прохоров.

Рис. к ст. Непараметрические методы.

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

- совокупность приёмов и методов матем. статистики, основанных на непараметрич. представлении ф-ции распределения. Н. м. особенно эффективны в задачах анализа эксперим. данных на стадии разведочного анализа (см. Анализ данных), они имеют преимущество перед пара-метрич. методами, т. к. используют лишь непрерывность ф-ции распределения. В эксперим. физике Н. м. применяют для оценивания плотности вероятности и проверки статистических гипотез.

Оценивание плотности вероятности. Пусть имеется ряд наблюдений {х _i}, i= 1,..., N, т. е. последовательность независимых, одинаково распределённых случайных величин с неизвестной ф-цией плотности вероятности р(х), и требуется построить непараметрич. оценку для р(х). Обычно применяемый метод непараметрич. оценивания - построение гистограмм. Числовую ось, на к-рой определены x_i, делят на ряд областей r_j, j =1,..., К, а задают константой в каждой области r_j, причём

где k(N)- коэф. нормировки, g_j(x) - индикаторная ф-ция каждой области r_j:

Тогда оценка плотности вероятности определяется выражением

Если на отрезке числовой оси, на к-ром определён ряд наблюдений {x_i}, i = 1,..., N, задать набор ортогональных ф-ций {y_j(x)}, j =1,..., М,

d_jl - символ Кронекера, то с помощью этого набора также можно определить непараметрич. оценку ф-ции плотности вероятности р(х):

где

Хотя эти методы довольно популярны и просты, результаты являются несостоятельными оценками, т. е. при Nони не стремятся к р(х).

Из состоятельных Н. м. оценивания ф-ции плотности вероятности следует отметить метод ближайших соседей. Пусть имеются случайные числа x₁ <= х₂ <=... <=x_N и надо оценить их плотность вероятности в точке х. Задают целое число R(1 < R< N )и находят такой отрезок с центром в точке х, чтобы он содержал R чисел х _i. Тогда оценкой плотности вероятности в точке х будет = R/Nh, где h - длина найденного отрезка. В отличие от метода гистограмм, плотность вероятности здесь оценивают не по разному кол-ву случайных чисел, попавших в неперекрывающиеся отрезки фиксиров. длины, а по фиксиров. кол-ву случайных чисел, попавших в перекрывающиеся отрезки разной длины. Ошибка оценки в этом методе равна d ~ /R, т. е. относит. ошибка d/р(х )постоянна и не зависит от х (если только х не слишком близко к х₁ или x_N), в отличие от оценки по гистограмме.

Проверка гипотез. При параметрич. проверке гипотез предполагают, что плотность распределения р(х )является членом параметризов. семейства р(х|а). Задача состоит в том, чтобы принять или отвергнуть гипотезу, что а имеет заранее известное значение, или выбрать значение из нескольких возможных значений.

При непараметрич. проверке гипотез ф-ции распределения этих гипотез не принадлежат параметрич. семейству. Для них предполагают выполненными лишь качественные свойства типа непрерывности и т. п., поэтому усложняется выбор критериев проверки гипотез.

Обычно непараметрич. проверку гипотез используют в след. задачах: 1) имеется набор независимых случайных величин {х _п}, п =1,..., N с неизвестной ф-цией распределения F(x), нужно проверить гипотезу H₀: F(x) = F₀(x), где F₀( х)- нек-рая заданная ф-ция распределения (задача сравнения результатов эксперимента с теоретич. моделью); 2) имеются два набора независимых случайных величин {х _п}, п =1,..., N и {y _т}, т =1,..., М с ф-циями распределения F(x )и G(x), нужно проверить гипотезу Н₀: F(x) = G(x).

При гистограммном способе представления данных обычно используют следующие статистические критерии, проверки гипотез. Пусть N случайных величин х _п сгруппированы в гистограмму с К ячейками и в ячейку с номером i попало n_i величин х _п. Согласно гипотезе Н₀, можно вычислить вероятность p_i попадания величины х в ячейку с номером i. В качестве проверочных статистик используют отношения правдоподобия

и статистику Пирсона

где D_ij - ковариационная матрица для n_i. Независимо от вида F₀ оказывается, что -2lnl и X². при N. распределены согласно c² -распределению с числом степеней свободы К -1. Поэтому можно вычислить критич. значения -2lnl и X². по заданной вероятности а того, что при справедливости гипотезы Н₀. эти критич. значения могут быть превышены. Следовательно, если реализовавшиеся значения превышают критические, можно отвергнуть гипотезу Н₀.

Более эффективными являются критерии, использующие в качестве проверочных статистик разл. "расстояния" между эксперим. (выборочной) ф-цией распределения F_N(x )и ф-цией F₀(x). Выборочную ф-цию распределения определяют след. образом:

Критерий Смирнова основан на проверочной статистике

где f(x)- плотность ф-ции распределения F₀(x),a критерий Колмогорова - на статистике

Используют и др. критерии.

Лит.: Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 3 изд., М., 1983; Кендалл М., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; Статистические методы в экспериментальной физике,

пер. с англ., М., 1976; Тюрин Ю. Н., Непараметрические методы статистики, М., 1978. В. П. Жигуков, С. В. Клименко.