«Риманова геометрия»

многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Р. г. получила своё название по имени Б. Римана, который заложил её основы в 1854.

Понятие о римановой геометрии. Гладкая поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия которого (так называемая Внутренняя геометрия), будучи приближённо евклидовой в малом (в окрестности любой точки она совпадает с точностью до малых высшего порядка с геометрией касательной плоскости), точно не является евклидовой; к тому же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрическим свойствам. Поэтому внутренняя геометрия поверхности и есть не что иное, как Р. г. двух измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.

Так, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Р. г. В основе Р. г. лежат три идеи. Первая идея — признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой, — была впервые развита Н. И. Лобачевским (См. Лобачевский), вторая — это идущее от К. Ф. Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и её аналитический аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности; третья идея — понятие об n-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в 1-й половине 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи (в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 и опубликованной в 1867), ввёл общее понятие о пространстве как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые служат точками этого пространства (см. Геометрия, раздел Обобщение предмета геометрии, Пространство в математике), и перенёс на эти пространства представления об измерении длин малыми шагами.

После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат Р. г. и устанавливали в ней новые теоремы геометрического содержания. Важным шагом было создание итальянскими геометрами Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита на рубеже 20 в. так называемого тензорного исчисления (См. Тензорное исчисление), которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом для разработки Р. г. Решающее значение имело применение Р. г. в создании А. Эйнштейном общей теории относительности, которое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию Р. г. и её разнообразных обобщений. В настоящее время Р. г. вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться, причём особое внимание уделяется вопросам глобального характера.

Определение риманова пространства.К строгому определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точки n-мерного многообразия определяется n координатами x¹, x²,..., xⁿ. В евклидовом n-мерном пространстве расстояние между любыми двумя точками X, Y в надлежаще выбранных координатах выражается формулой

где Δxⁱ — разности координат точек X, Y. Соответственно в римановом пространстве в окрестности каждой точки Амогут быть введены координаты x¹,..., xⁿтак, что расстояние между точками X, Y, близкими к А, выражаются формулой

где ε таково, что X, Y приближаются к А. Отсюда следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками (xⁱ) и (xⁱ+dxⁱ), или, что то же самое, дифференциал длины дуги кривой, задаётся выражением

(здесь коэффициенты R можно аналитически определить как n-мерное многообразие, в котором в каждой точке задана дифференциальная квадратичная форма

(она называется также метрической формой, или просто метрикой, R и является по своему определению положительно определённой). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения метрической формы, однако её величина (вследствие своего геометрического смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат от xⁱ к должна оставаться неизменной:

Это приводит к определённому закону преобразования коэффициентов g_ij как компонент дважды ковариантного тензора (см. Тензорное исчисление); он называется метрическим тензором риманова пространства.

Каждой точке А риманова пространства R сопоставляется так называемое касательное евклидово пространство E_A, в которое отображается некоторая окрестность U точки А так, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке А.Аналитически это сводится к введению вблизи некоторой точки A₀ пространства E_A таких координат, что в них квадрат линейного элемента E_A выражается в точке A₀ такой же формой ds² в точке А. Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.

Простейшие понятия римановой геометрии. 1) Длина дуги s кривой i = 1, …, n, R определяется как интеграл

вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин «малым масштабом», как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространства R соединимы кривой, то R становится метрическим пространством (См. Метрическое пространство): расстояние ρ(Х, Y) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства R.

2) Угол между двумя исходящими из одной точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.

3) Объём V n-мерной области Gриманова пространства определяется по формуле:

Геодезические. Линии, которые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По определению, они являются экстремалями функционала

(см. Вариационное исчисление) и удовлетворяют уравнениям:

где Гⁱ_jk — так называемые Кристоффеля символы, выражающиеся через компоненты метрического тензора g_ij и их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, В достаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутреннему расстоянию ρ(А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (например, полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).

Представляет интерес (для описания периодических движений в механической задаче многих тел, например) оценка числа ν замкнутых геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкарев 1905 в связи с некоторыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: ν ≥ 2, если R односвязно.

Соприкасающееся пространство. Между римановым пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в окрестности U некоторой точки Аможно установить такое соответствие, при котором оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки Агеодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при котором длины дуг геодезических b соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты x¹,..., xⁿ и приписать их значения соответствующим точкам окрестности U, то между линейными элементами ds риманова и ds_o евклидова пространств будет такая связь:

i = 1, …, n.

откуда следует, что разность ds — ds_o имеет порядок не ниже, чем

Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты R_mlki характеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана — Кристоффеля), определяемого по формуле

лишь через g_ik, и их производные до второго порядка.

Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).

Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение её окрестности U_L в евклидово пространство E_Lпри котором оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве E_L называется развёрткой L' этой кривой на евклидово пространство (для поверхности Fв евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к Fвдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L,если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве E_L, соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора αⁱ вдоль кривой xⁱ=xⁱ (t) определяется дифференциальным уравнением

Если Ав точку В зависит, как правило, от кривой AB, вдоль которой происходит перенесение, — в этом отсутствии «абсолютного параллелизма» наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.

Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривой L в точке М оценивает её отклонение от геодезической L₀, касающейся L в точке М, и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно перенесён в точку M' и образует там угол φ с касательной к L в точке М, пусть s — длина дуги MM' кривой L. При стремлении M'к М существует предел

который и называется геодезической кривизной кривой L в точке М.Аналитически геодезическая кривизна кривой x^I=xⁱ (s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:

где

таким образом, геодезическая кривизна кривой L совпадает с (первой) кривизной (См. Кривизна)её развёртки L, а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.

Для кривой L в римановом пространстве R определяются также вторая и т.д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.

Риманова кривизна. Пусть М — точка риманова пространства, F — двумерная поверхность xⁱ=xⁱ (u,υ), проходящая через М, L — простой замкнутый контур на F, проходящий через М,σ— площадь участка поверхности, ограниченного контуром L. Пусть произвольный вектор aⁱ,касательный к поверхности F (т. е. линейно выражающийся через векторы , перенесен параллельно по L.

Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к F, окажется повёрнутой по отношению к aⁱ на угол φ (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода L). При стягивании L в точку Мсуществует предел

называется кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; К зависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке М, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы

Риманова кривизна К связана с тензором кривизны формулой:

где

причём параметры u,υ выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах

В двумерном случае К совпадает с полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для области G, ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну κ, справедлива так называемая формула Гаусса-Бонне:

в частности, для треугольника, образованного отрезками геодезических

где А, В, С — величины углов треугольника. Для замкнутого (т. е. без границы) двумерного риманова пространства R его эйлерова характеристикаχ(R) пропорциональна интегралу римановой кривизны:

Эта формула обобщена на случай чётно-мерного замкнутого риманова пространства, в котором интегрируется некоторая функция компонент тензора кривизны.

Если в каждой точке риманова пространства кривизна не зависит от направления двумерной поверхности, то она не меняется и от точки к точке, т. е. пространство имеет постоянную кривизну. Представляют интерес также (в частности, для описания механических систем с циклическими координатами) римановы пространства со специальной структурой тензора кривизны; они суть обобщение пространств постоянной кривизны и имеют достаточно обширную группу движений. Таковы, например, симметрические пространства, характеризующиеся тем, что их тензор кривизны не меняется при параллельном перенесении, субпроективные пространства, характеризующиеся специальной координатной системой, в которой геодезические описываются линейными уравнениями, и др.

Риманова кривизна играет важную роль в геометрических приложениях Р. г., тем более, что на всяком многообразии можно ввести некоторую риманову метрику. Так, например, топологическое строение полных римановых пространств (т. е. пространств, в которых всякая геодезическая бесконечно продолжаема) зависит от свойств его кривизны: всякое полное односвязное n-мерное риманово пространство гомеоморфно n-мерному евклидову пространству, если его кривизна во всех точках и по всем направлениям неположительна и гомеоморфна n-мерной сфере единичного радиуса, если его кривизна К удовлетворяет неравенствам R зависит и его диаметр d — точная верхняя грань расстояний между точками R,определяемых внутренней метрикой R: например, если К≥K_o>0, то d, если же , то R — сфера радиуса

Метрическая связность. Параллельное перенесение вдоль кривой L с концами А, В задаёт изометричное (т. е. сохраняющее расстояния) преобразование τ_i касательного пространства E_A в точке Ав касательное пространство E_B в точке А. Дифференциал преобразования τ_i в точке А,т. е. главная линейная часть изменения τ_i; при переходе из А(xi)в близкую точку xⁱ+dxⁱ), определяет некоторый геометрический объект, называется римановой связностью, ассоциированной с данным параллельным перенесением. Аналитически эта связность выражается системой линейных дифференциальных форм

i, j, …, n.

Однако в римановом пространстве Rможно определить и другие связности, такие, что ассоциированные с ними параллельные перенесения также сохраняют метрический тензор; они называются метрическими связностями и определяются аналогичными коэффициентами j, k и не выражающимися (подобно символам Кристоффеля) только через тензор g_ij и его производные. Отличие метрической связности от римановой оценивается так называемым тензором кручения:

геометрический смысл которого иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим в двумерном римановом пространстве метрической связности малый треугольник, образованный отрезками геодезических длины а, b, с и углами А, В, С.Тогда главная часть проекции кручения в точке А на сторону AB равна отношению величины с — acosB — bcosAк площади треугольника, а главная часть проекции кручения на перпендикуляр к AB —величине asinB — bsinA, деленной на площадь треугольника. Т. о., в римановом пространстве нулевого кручения имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с площадью треугольника.

Кривые, касательный вектор к которым переносится вдоль них параллельно, называются геодезическими соответствующей связности; они совпадают с римановыми геодезическими, если тензор

кососимметричен по всем индексам.

Подпространства. На m-мерном подмногообразии М риманова пространства R, задаваемом уравнениями xⁱ=xⁱ (u¹,..., u^m), причём ранг матрицы m, имеет место Р. г., определяемая метрическим тензором

М называется римановым подпространством пространства R.

Достаточно малая область m-мерного риманова пространства R может быть погружена в евклидово пространство достаточно большой размерности N (т. е. допускает сохраняющее длины отображение на подмногообразие этого пространства). Известно, что N в общем случае ещё не решен, однако если коэффициенты метрической формы g_ij пространства R являются аналитическими функциями (т. е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то

Наиболее подробно исследованы погружения двумерных римановых пространств. Так, например: 1) двумерное полное риманово пространство положительной кривизны К. погружается в виде замкнутой выпуклой поверхности (овалоида) в трёхмерное риманово пространство кривизны не меньшей К [проблема Г. Вейля (См. Вейль)(1916), решенная немецким математиком Х. Леви (1937) и А. Д. Александровым(1941) для погружения в евклидово пространство и А. В. Погореловым (1957) для риманова пространства], причём любые два погружения, имеющие общую точку и общее соприкасающееся пространство в ней, совпадают [т. е. овалоид однозначно определён своей метрикой, немецкий математик С. Э. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелов (1948)]. 2) Двумерное полное риманово пространство отрицательной кривизны K≤K_o 0 не допускает погружения в виде регулярной поверхности [советский математик Н. В. Ефимов (1963), частный случай плоскости Лобачевского (К=—1) разобран Д. Гильбертом (1901)]. 3) Двумерное риманово пространство, гомеоморфное тору, допускает погружение в четырёхмерное евклидово пространство [советский математик Э. Г. Позняк (1973)].

Приложения и обобщения римановой геометрии. 1) Поскольку Р. г. определяется заданием дважды ковариантного симметричного тензора, постольку всякую физическую задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного поля, можно формулировать как задачу Р. г. В частности, к тензорным полям такого типа относятся различные физические величины, характеризующие упругие, оптические, термодинамические, диэлектрические, пьезомагнитные и другие свойства анизотропных тел. При этом симметрия коэффициентов g_ijявляется отражением одного из фундаментальных физических законов — закона взаимности. Так, задача о теплопроводности анизотропного тела, решенная ещё Риманом (1861), явилась первым приложением Р. г.

2) Рассмотрение конфигурационного пространства в механике системы с nстепенями свободы позволило представить в ясной геометрической форме ряд механических задач. Так, например, траектории свободного (т. е. в отсутствии обобщённых сил) движения голономной механической системы с кинетической энергией

где — обобщённые скорости, являются геодезическими соответствующего n-мерного риманова пространства с метрическим тензором g_ij. О некоторых других фактах упоминалось выше. Аналогичную интерпретацию получает и движение в поле сил, имеющих потенциал (см. Герца принцип).

3) В приложениях Р. г. к механике и физике важную роль играют дополнительные структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова пространства. Так, например:

а) Физическим представлениям об упругой сплошной среде с непрерывным распределением источников внутренних напряжений соответствует риманово пространство с некоторой метрической связностью: параллельное перенесение, соответствующее ей, определяет так называемое естественное состояние среды вдоль кривой, а кручение отождествляется с плотностью Дислокации;

б) римановы пространства с почти комплексной структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного тензора

где Кронекера символ) используются квантовой механикой для описания наблюдаемых и состояний систем многих частиц;

в) привлечение понятия так называемой конформной связности, т. е. связности риманова пространства, при которой результат параллельного перенесения метрического тензора g_ijпропорционален ему самому, позволило смоделировать некоторые из так называемых Бора постулатов (См. Бора постулаты), в частности избранные (или «разрешенные») орбиты движения электронов в атоме — кривые, вдоль которых метрический тензор сохраняется.

4) Развитие Р. г. в связи с общей теорией относительности (см. Тяготение)и механикой сплошных сред породило различные обобщения её предмета, главнейшими из которых являются так называемые псевдоримановы пространства. Таково, например, согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства — времени) — четырёхмерное пространство с заданной на нём знаконеопределённой невырожденной квадратичной формой

(коэффициенты такой «метрики», допускающей мнимые расстояния, как раз и характеризуют поле тяготения, играя роль потенциальных функций). Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена к виду

dσ²=dx²+dy²+dz²— dt²

где х, у, z — пространственные координаты, t — время. Физически такие, так называемые локально галилеевы, системы отсчёта являются свободно падающими в поле тяготения. Однако ввести такую систему на всём многообразии невозможно (поскольку наличие поля тяготения математически выражается в кривизне псевдориманова пространства).

Другой путь обобщения Р. г. связан с рассмотрением более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного элемента ds (см. Финслерова геометрия), и более общих законов параллельного перенесения (См. Параллельное перенесение), а также с отказом от требований регулярности.

Лит.: Риман Б., Соч., пер. с нем., М. — Л., 1948; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971.

А. Д. Александров, Ю. Ф. Борисов.

РИМАНОВА геометрия - многомерное обобщение геометрии на поверхности (т. е. геометрии 2-мерного пространства). Изучает свойства многомерных пространств, в малых областях которых имеет место (с точностью до бесконечно малых второго порядка) евклидова геометрия (при этом все пространство может не быть евклидовым). Названа по имени Б. Римана, заложившего ее основы в 1854.

Riemannian geometry

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

- геометрия риманова пространства. Осн. <понятия Р. г. являются обобщением понятий евклидовой геометрии на пространствас произвольным метрическим тензором g_ij.

Скалярное произведение касательных векторов вточке х определяется ф-лой . Это позволяет определить длины векторов и углы между векторами в данной точке. Длина (s )кривой, х ⁱ= xⁱ(t), i = 1,..., n;,определяется ф-лой

где - вектор скорости.

Расстояние между точками х н у определяется как минимум длин кривых, <соединяющих точки х и у. Ф-ция задаёт метрику в римановом пространстве.

Объём области U риманова пространства определяется ф-лой

На k -мерной поверхности, заданной в римановом пространстве впараметрич. виде,, i= 1,..., п, возникает метрич. тензор

наз. первой квадратичной формой поверхности. Длины кривых, углы н объёмы k -мерных областей на поверхности вычисляются в терминах внутреннейгеометрии, т. о. через первую квадратичную форму. Р. г. двумерных поверхностейв трёхмерном евклидовом пространстве широко применяется в механике оболочек. <Большое внимание уделяется изучению минимальных поверхностей, т. е. экстремалейфункционала k -мерного объёма. Простейшей их физ. реализацией (при k = 2 )являются мыльные плёнки. Считается, что двумерные минимальныеповерхности в пространстве Минковского описывают классич. динамику струнырелятивистской.

Дифференц. исчисление тензоров в римановом пространстве основанона введении симметричной связности,, согласованной с метрикой g_ij. Её Кристоффеля символы имеют вид

Кривизны, тензор. этойсвязности определяет кривизну риманова пространства, характеризующуюего отличие от евклидова.

Д в и ж е н и я рнманова пространства определяются как преобразования, <сохраняющие метрику. Однопараметрич. группы движений определяются векторнымиполями К и л л и н г а , удовлетворяющими соотношениям:,где ,- ковариантная производная. Сдвиги вдоль траекторий системы,, i = 1,...,n, определяют движения пространства. Движения n -мерногориманова пространства образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит п(п-1). Для общих римановых пространств эта группа тривиальна; примерамипространств с группой движений макс. размерности служат евклидово пространство, <сфера (метрика ,- Кронекера символ), простпанство лобачевского (метрика -.Если группа движении достаточно богата, так что с помощью движения любуюточку х можно перевести в заданную точку у, то риманово пространствоназ. однородным. Если для люоой точки существует движение, являющееся симметриейпространства с центром в этой точке, то однородное пространство наз. сим метрическим. Локально симметрические пространства выделяются условиемпостоянства кривизны,.Теория симметрических и римановых однородных пространств сочетает применениеР. г. и методов теории групп Ли. Идей и методы этой теории используютсяпри изучении однородных космологических моделей общей теории относительности.

Конформными наз. такие преобразования ряманова пространства, при к-рыхметрика подвергается растяжению,. Конформные преобразования n -мерного риманова пространства при образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит ( п+ 1)(n+ 2)/2. Инвариантностью относительно конформных преобразованийобычно обладают теории безмассовых частиц.

Геодезическая линия - экстремаль функционала длины, рассматриваемогона кривых с закреплёнными концами. Ур-ния геодезических имеют вид

Геодезические могут быть получены также как экстремаль функционала действия:

Близкие точки х, у риманова пространства всегда можно соединитьлокально единственной геодезической, длина к-рой и будет равна расстоянию .Риманово пространство наз. геодезически полным, если любая геодезическая неограниченно продолжается по t. В полном римановом пространствелюбые две точки можно соединить геодезической (вообще говоря, не единственной).Изучение глобальных свойств геодезических риманова пространства составляетважный раздел вариационного исчисления в целом. Поскольку многиеур-ния классич. механики могут быть записаны в виде ур-ний геодезических, <методы теории геодезических применимы для получения качеств. информациио характере механич. движения. В общей теории относительности, где массивныечастицы движутся по времениподобным (а безмассовые - по изотропным) геодезическим индефинитной метрики., в основном изучаются именно такие геодезические. <Нек-рые их глобальные свойства допускают физ. интерпретацию. Так, наличиезамкнутых геодезических означает нарушение причинности. Геодезич. неполнотатрактуется как наиб. универсальный способ определения сингулярности пространства-времени.

Важная задача Р. г. - установление зависимости между геометрией римановапространства и его топологией. Простейшим примером такой зависимостиявляется ф-ла Гаусса - Бонне, справедливая для замкнутой двумерной поверхности:

где К- гауссова кривизна поверхности,- элемент площади, g - топологич. характеристика поверхности, равнаячислу ручек (напр., для сферы g= 0, для тора g =1). Длямногомерных римановых пространств строятся более сложные топологич. характеристики(характеристич. классы), вычисляемые в виде интегралов от инвариантов тензоракривизны. Известны также теоремы, выводящие топологич. ограничения на римановопространство из соотношений типа неравенств для его кривизны. Простейшимпримером является такое утверждение: полное односвязное (т. е. любой замкнутыйпуть стягивается в точку) риманово пространство отрицат. кривизны топологическиевклидово.

Комплексный аналог Р. г. - теория пространств с эрмитовой метрикой, <записываемой в комплексных, координатах в виде (чертаозначает комплексное сопряжение), причём .В частности, двумерная метрика может быть записана в комплексном виде ,если ввести изотормич. координаты x¹, х ², такие, что ,и положить

, (здесь i- комплексная единица). Конформные преобразования сводятсятогда к комплексно-аналитич. заменам,,,и сопряжению

Большинство методов Р. г. переносятся на псевдори-мановы пространства, <в к-рых задана индефинитная метрика, и поэтому являются осн. аппаратом общей теории относительности.

Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 7 изд., М.,1988; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М.,1967; Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., М.,1961; Д у б р о в и н Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современнаягеометрия, 2 изд., М., 1986; их же, Современная геометрия. Методы теориигомологии, М., 1984. Б. А. Дубровин.

ри́манова геоме́трия

многомерное обобщение геометрии на поверхности (то есть, геометрии 2-мерного пространства). Изучает свойства многомерных пространств, в малых областях которых имеет место (с точностью до бесконечно малых второго порядка) евклидова геометрия (при этом всё пространство может не быть евклидовым). Названа по им. Б. Римана, заложившего её основы в 1854.

* * *

РИ́МАНОВА ГЕОМЕ́ТРИЯ, многомерное обобщение геометрии на поверхности (т. е. геометрии 2-мерного пространства). Изучает свойства многомерных пространств, в малых областях которых имеет место (с точностью до бесконечно малых второго порядка) евклидова геометрия (при этом все пространство может не быть евклидовым). Названа по имени Б. Римана, заложившего ее основы в 1854.

- теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n-мерное связное дифференцируемое многообразие М _п, на к-ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2. Тензор gназ. м е т р и ч ес к и м т е н з о р о м. Р. г. есть многомерное обобщение внутренней геометрии двухмерных поверхностей в эвклидовом пространстве Е ³. Метрика риманова пространства с точностью до первого порядка малости, по сравнению с размерами рассматриваемой области, совпадает с евклидовой метрикой. Отличие этих метрик оценивается (локально) римановой кривизной - многомерным обобщением понятия гауссовой кривизны поверхности в Е ³.

В основании Р. г. лежат три идеи. Первая идея - осознание факта существования неевклидовой геометрии - геометрии Н. И. Лобачевского. Вторая идея - понятие внутренней геометрии поверхностей, созданной К. Гауссом (С. Gauss). Третья идея - понятие n-мерного пространства, разработанное в 1-й пол. 19 в. Б. Риман (В. Riemann) соединил и обобщил эти идеи в лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии". Понятия Р. г. сыграли важную роль в создании А. Эйнштейном (A. Einstein) общей теории относительности, дальнейшее ее развитие связано с созданием аппарата тензорного исчисления. Р. г. и ее многочисленные обобщения успешно развиваются, особенно в той ее части, к-рая наз. римановой геометрией в целом, и находят обширные и глубокие механические и физич. применения.

Основные понятия Р. г. следующие.

С к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е. В каждом касательном пространстве , тензор gопределяет скалярное (внутреннее) произведение по формуле

Верно и обратное: если для любого в определено скалярное произведение, дифференцируемо зависящее от р, то оно определяет тензорное поле gсуказанными выше свойствами. Степени гладкости М ⁿ и gварьируются в зависимости от поставленной задачи. В большинстве случаев достаточно потребовать, чтобы М ⁿ было трижды непрерывно дифференцируемо, а поле тензора g - дважды непрерывно дифференцируемо (далее необходимая степень гладкости указываться не будет). В локальных координатах { х ⁱ}слокальным базисом , компоненты тензора gимеют вид

так что

где

Р и м а н о в о п р о с т р а н с т в о к а к м е т р и ч е с к о е п р о с т р а н с т в о. Д л и н а lгладкой кривой определяется формулой

где - касательный вектор к c(t). Длина кусочно гладкой кривой равна сумме длин ее гладких звеньев. Если х ⁱ = х ⁱ(t)- уравнения c(t)в локальных координатах, то

Имея в виду эту формулу, метрику на М ⁿ записывают в традиционной форме

и ds наз. элементом длины, а функции g_ij(x) - коэффициентами метрической (основной, первой квадратичной) формы. У г о л между двумя кривыми в точке их пересечения определяется как угол между касательными к ним. Объём области , принадлежащей координатной окрестности, определяется формулой

где . Объем произвольной области равен сумме объемов ее частей, причем каждая из частей лежит в нек-рой координатной окрестности.

Р а с с т о я н и е r( р, q )между точками определяется как точная нижняя грань длин всех кусочно гладких кривых, соединяющих с . Аналогично определяется метрика в произвольной связной области U. Два римановых пространства и наз. и з о м е т р и ч н ы м и, если существует отображение , при к-ром

или, что то же,, где с - произвольная кривая в . Если j - изометрия, то для любой точки существует координатная окрестность и координатная окрестность такие, что . Изометрич. отображение М ⁿ на себя наз. д в и ж е н и е м.

Кривая с концами в точках и наз. к р а т ч а й ш е й, если ее длина равна . Стационарная кривая функционала длины lназ. г е о д е з и ч е с к о й линией. Каждая кратчайшая в М ⁿ есть геодезическая, и каждая достаточно малая дуга геодезической есть кратчайшая. Область наз. г е о д е з и ч е с к и в ы п у к л о й, если кратчайшие, определенные по метрике , есть геодезические М ⁿ. Если xⁱ = xⁱ(t), i=l,..., п,- уравнения геодезической в локальной системе координат { хi}, то функции xⁱ(t) удовлетворяют системе уравнений, к-рая в случае, когда t - параметр, пропорциональный длине дуги, имеет вид

где

- символы Кристоффеля, g^ab - элементы матрицы, обратной к

Риманово пространство наз. п о л н ы м (г е о д ез и ч е с к и п о л н ы м), если оно полно как метрич. пространство (если любую дугу геодезической можно неограниченно продолжить в обе стороны). Риманово пространство полно тогда и только тогда, когда оно геодезически полно. В полном римановом пространстве любые две точки можно соединить кратчайшей (не обязательно единственной). На любом дифференцируемом многообразии можно ввести структуру полного риманова пространства.

Р и м а н о в о п р о с т р а н с т в о к а к м н о г оо б р а з и е с о с в я з н о с т ь ю. Ковариантная производная наз. с и м м е т р и ч е с к о й и с о вм е с т н о й с м е т р и к о й gпространства М ^п, если выполняются условия симметричности

и совместности

где X, Y, Z - дифференцируемые векторные поля, а [X, Y] - их коммутатор. Этими условиями производная определяется однозначно через поле метрич. тензора g. В локальных координатах { х ⁱ}компоненты связности имеют вид и совпадают с символом Кристоффеля 1-го рода, а

Аналогичной формулой определяется ковариантная производная любого тензора.

Векторное поле Y(t)вдоль кривой c(t)наз. п а р а лл е л ь н ы м, если . Аналитически параллельное поле Y(t)определяется решением системы

где xⁱ = xⁱ(t) - уравнения кривой c(t). Решения этой системы при различных начальных условиях дают отображение в ; оно оказывается изометричным и наз. п а р а л л е л ь н ы м п е р е н ес е н и е м Л е в и - Ч и в и т а. Результат перенесения зависит, вообще говоря, не только от конечных точек с(0) и с(1), но и от самого пути c(t). Кривая, для к-рой , является геодезической, и это свойство геодезической можно взять за ее определение.

П о д м н о г о о б р а з и я р и м а н о в а п р о с тр а н с т в а. Если , - дифференцируемое подмногообразие риманова пространства М ^п, то в каждом касательном пространстве к индуцируется скалярное произведение и тем самым на возникает структура риманова пространства с метрич. тензором а, компоненты к-рого вычисляются по формулам

где - уравнения в локальных координатах. Внешняя геометрия , описывается вторыми квадратичными формами , к-рые определяются для каждой единичной нормали v_p к формулой

где Xи Y - векторные поля на , а - произвольное поле единичных нормалей, содержащее v_p. Для любой формы определяются нормальные кривизны, главные направления и кривизны, средняя и полная кривизны и т. д. и выводятся уравнения Гаусса - Ко-дацци - Риччи, связывающие коэффициенты первой и вторых квадратичных форм. Свойствами вторых форм характеризуются важные классы подмногообразий, напр. минимальные, вполне геодезические, выпуклые и т. п. Для (гладкая кривая) строится теория, аналогичная теории кривых в Е ^п, определяются первая, вторая и т. д. кривизны и выводятся уравнения, аналогичные формулам Френе. Первая кривизна кривой k₁. обычно наз. геодезической кривизной и вычисляется по формуле

если t - длина дуги; в локальных координатах

где

a xⁱ=xⁱ(t) - уравнения c(t).

Большой круг задач Р. г. связан с изометрическими погружениями одного риманова пространства в другое и изучением свойств этих погружений. Эти задачи трудны и исследованы мало (более подробно - в двумерном случае).

Э к с п о н е н ц и а л ь н о е о т о б р а ж е н и е определяется условием: exp_qX=r, где r - конец дуги геодезической с началом в q, с направлением и длины . Если в окрестности точки рввести систему координат, сопоставляя точке рдекартовы координаты точки , то окажется

это - т. н. (римановы) н о р м а л ь н ы е координаты.

К р и в и з н а. Если в окрестности точки qввести нормальные координаты, то компоненты метрич. тензора записываются в виде

где при . Отсюда выводится важное свойство римановой метрики: для любой точки экспоненциальное отображение обладает свойством

где при . Добиться более высокого по порядку малости совпадения метрик М ^п и ( ТМ ⁿ)_q за счет удачного выбора отображения j в общем случае невозможно. Поэтому коэффициенты характеризуют отличие метрики М ⁿ от евклидовой метрики ( ТМ ⁿ)_q. Эти коэффициенты являются компонентами т. н. т е н з о р а к р и в и з н ы, или т е н з о р а Р и м а н а - К р и с т о ф ф е л я (в точке q). В локальных координатах { х ⁱ}они выражаются через коэффициенты метрич. тензора и их первые и вторые производные по формуле

С тензором кривизны связан целый ряд других понятий, также (с разных сторон) характеризующих меру отличия метрики М ⁿ от евклидовой. Так, через тензор кривизны определяются т е н з о р ы Р и ч ч и

и Э й н ш т е й н а

где

- т. н. с к а л я р н а я к р и в и з н а М ⁿ.

Трилинейное отображение, сопоставляющее трем векторным полям X, Y, Z поле

наз. п р е о б р а з о в а н и е м кривизны. Его свойства:

1) ;

2) (тождество Риччи);

3) ;

4) Кроме того, имеет место т о ж д е с т в о Б и а н к и

Преобразование кривизны можно связать нек-рой конструкцией с параллельным перенесением. Алгебраич. свойства тензора кривизны выводятся из свойств преобразования кривизны, т. к. через него, а именно через "биквадратичную форму" , тензор кривизны (точнее, его значения на векторах X, Y, Z, W )однозначно (алгебраически) выражается (см. Кривизна).

С е к ц и о н н а я к р и в и з н а. Пусть F² - двумерная поверхность в М ⁿ, проходящая через р,s=(TF²)_p, Г - простая замкнутая кривая на Г ², проходящая через р, S - площадь области на F², ограниченной кривой - вектор, полученный из z параллельным перенесением вдоль Г, j - угол между вектором z и касательной составляющей вектора Тогда при стягивании Г к точке рсуществует предел , к-рый наз. римановой секционной к р и в и з н о й пространства М ⁿ в данной точке ри в данном двумерном направлении s (K( р,s). не зависит от поверхности F²,aзависит только от s). Секционная кривизна показывает меру "искривления" М ⁿ в данной точке и в данном двумерном направлении. Вообще говоря, в разных двумерных направлениях это искривление различно; но если в каждой точке кривизна K( р,s) не зависит от выбора s, то она не меняется и от точки к точке (т е о р е м а Ш у р а). Тождественное обращение секционной кривизны в нуль - необходимое и достаточное условие того, чтобы М ⁿ было локально изометрично Eⁿ (в целом оно может отличаться от Е ^п). Секционную кривизну М ⁿ можно связать и с другими объектами Р. г., напр.. с дефектом (избытком) геодезич. треугольника (см. Гаусса - Бoннe теорема). Сам Б. Риман определял секционную кривизну как гауссову кривизну двумерной поверхности ехр _ps, вычисленную по формуле Гаусса в точке р. В свою очередь, по секционной кривизне метрика М ^п определяется однозначно в следующем смысле: если у двух многообразий и секционные кривизны постоянны и равны одному и тому же числу а, то и локально изометричны, если они к тому же оба односвяяны, то - просто изометричны. Односвязное риманово пространство постоянной секционной кривизны аизометрично:

n-мерному пространству Лобачевского L_n при a<0; п- мерному евклидову пространству Е _п при a=0; n-мерной сфере Sⁿ в Е ^{п +1} радиуса при a>0. В общем случае известен следующий результат. Если - аналитическое риманово пространство непостоянной секционной кривизны и существует диффеоморфизм , при к-ром , то при отображение j - изометрия; в случае n=3 это утверждение доказано при нек-рых дополнительных предположениях, а в случае п=2теорема не верна. Однако неизвестно (1983), кроме двумерного случая, какова должна быть функция K( р,s), чтобы для нее существовала метрика g, для к-рой K ( р,s) была бы секционной кривизной. В этом направлении известны только нек-рые отрицательные результаты.

Секционная кривизна связана с преобразованием кривизны формулой

а через компоненты тензора кривизны выражается так:

где s определено векторами

Значение тензора Риччи R_ij на векторе Xсвязано с секционной кривизной следующим образом: пусть векторы X, Y₁,..., Y_n_₁ образуют ортонормированный базис в ( ТМ ⁿ) _р, тогда

где - двумерное направление векторов Xи

К л а с с ы р и м а н о в ы х п р о с т р а н с т в. Помимо общих (произвольных) римановых пространств существуют римановы пространства, на к-рых могут быть введены дополнительные структуры. Эти структуры возникают тогда, когда непосредственно на метрику или на кривизну накладываются те или иные условия геометрического или алгебраич. характера. Таким способом определяются важные классы римановых пространств: многообразия постоянной секционной кривизны (см. Пространственные формы), однородное пространство, симметрическое пространство, эрмитовы и кэлеровы многообразия, пространства Эйнштейна и т. д.

О б о б щ е н и я. Развитие идей Р. г. и геометрии в целом привело к ряду обобщений понятия Р. г.

П с е в д о р и м а н о в а г е о м е т р и я - теория псевдориманова пространства. Псевдоримановым пространством наз. дифференцируемое многообразие, на к-ром задано поле знакопеременного симметричного невырожденного тензора.

Ф и н с л е р о в а г е о м е т р и я - теория дифференцируемого многообразия, на касательном расслоении к-рого задана функция F(x,l), однородная первой степени по l. Длина lкривой с(t)вычисляется:

П р о с т р а н с т в а о г р а н и ч е н н о й к р и в и з н ы - теория двумерных метрич. многообразий с внутренней метрикой (без всяких предположений гладкости), в к-рых определена интегральная кривизна любого ограниченного борелевского множества. Сюда, в частности, относится внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. Этот класс метрич. пространства можно получить, присоединяя к двумерным римановым пространствам двумерные метризованные многообразия, метрика к-рых в окрестности каждой точки допускает равномерное приближение римановыми метриками с ограниченными в совокупности интегралами от абсолютной гауссовой кривизны.

П р о с т р а н с т в а к р и в и з н ы н е б о л ь ш е K - теория полных метрич. многообразий с внутренней метрикой, в к-рых сумма верхних углов треугольников, составленных из кратчайших, не превосходит суммы углов треугольника на плоскости постоянной кривизны K с такими же длинами сторон (кроме того, предполагается, что любые две точки можно соединить единственной кратчайшей).

См. также Геодезических геометрия, Конформная геометрия, Риманово пространство обобщенное.

Лит.:[1] Р и м а н Б., Соч., пер. с нем., М.-Л., 1948; [2] Р а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [4] Г р о м о л Д., К л и н г е н б е р г В., М е й е р В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971: [5] А л е к с а н д р о в А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948; [6] Б у р а г о Ю. Д., 3 а л г а л л е р В. А., "Успехи матем. наук" 1977, т. 32, в. 3, с. 3-55; [7] М и л н о р Д ж., Теория Морса пер. с англ., М., 1965; [8] К а р т а н Э., Геометрия риманоиых пространств, пер. с франц., М.-Л., 1936; [9] К u I k а r n i R. S. "Ann. Math.", 1970, v. 91, № 2, p. 311 - 31; [10] W о 1 f J. A., Spaces of constant curvature, N. Y., 1967. В. А. Топоногов

geometria di Riemann [riemanniana]

многомерное обобщение геометрии на поверхности (т. е. геометрии 2-мерного пространства). Изучает свойства многомерных пространств. в малых областях к-рых имеет место (с точностью до бесконечно малых второго порядка) евклидова геометрия (при этом всё пространство может не быть евклидовым). Названа по имени Б. Римана, заложившего её основы в 1854.