«Предельная точка»

множества А, такая точка ξ пространства, сколь угодно близко от которой имеются отличные от ξ точки множества А, т. е. в любой окрестности (См. Окрестность) которой содержится бесконечное множество точек из А. Характеристическим свойством П. т. множества A является существование по крайней мере одной сходящейся к ней последовательности (См. Последовательность) различных точек множества А.П. т. множества А не обязана ему принадлежать. Так, например, всякая точка числовой прямой является П. т. для множества А рациональных её точек: ко всякому как рациональному, так и иррациональному числу можно подобрать сходящуюся к нему последовательность различных рациональных чисел. Не всякое бесконечное множество имеет П. т. — таково, например, множество всех целых чисел. Однако всякое бесконечное и ограниченное множество любого евклидова пространства имеет по крайней мере одну П. т.

Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948.

матем. accumulation point

limit(ing) point

траектории {/'.г} динамической системы f^t - точка

(1) (a-предельная точка) или

(2)

(w-предельная точка), где {t_k}, kN,- последовательность такая, что при в (1) или при в (2) и пределы (1) или (2) существуют.

Для траектории {f^tx} динамич. системы f^t (или, иначе, f(t, х), см. [1]) a-П. т. (w-П. т.) - то же, что w-П. т. (a-П. т.) траектории {f^-tx} динамич. системы f^-t (системы с обращением времени). Множество W_x(A_x).всех w-П. т. (a-П. т.) траектории {f^tx} наз. w-предельным (a-предельным) множеством этой траектории.

Лит.:[1] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М., 1949. В. М. Миллионщиков.

множества- точка, в любой окрестности к-рой содержится по крайней мере одна точка данного множества, отличная от нее самой. Рассматриваемые множества и точка предполагаются принадлежащими нек-рому топологич. пространству. Множество, содержащее все свои П. т., наз. замкнутым. Совокупность всех П. т. множества Мназ. производным множеством и обозначается М'. Если рассматриваемое топологич. пространство X удовлетворяет первой аксиоме отделимости (для любых двух его точек х и усуществует окрестность U(х), не содержащая точку у), то каждая окрестность П. т. нек-рого множества содержит бесконечно много точек этого множества и производное множество М' - замкнуто. Всякая прикосновения точка множества Мявляется либо его П. т., либо изолированной.

Лит.:[1] Александров II. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Xаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937.

Л. Д. Кудрявцев.

limit(ing) point

матем. punto limite

грани́чна то́чка

грани́чна то́чка