«Чебышева неравенство»

1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей

и

оно имеет вид:

а в интегральной форме ― вид:

где f(x) ≥ 0, g(x) ≥0 и обе функции либо убывают, либо возрастают. Ч. н. установлено П. Л. Чебышевым (1882).

2) Неравенство, дающее оценку вероятности того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания превзойдёт некоторую заданную границу. Пусть ξ — какая-либо случайная величина, Eξ = a — её математическое ожидание, а Dξ = σ² ― её дисперсия. Тогда Ч. н. утверждает, что вероятность неравенства | ξ ― a |≥ k σ не превосходит величины 1/k². Если ξ—сумма независимых случайных величин, то при некоторых дополнительных ограничениях оценка 1/k² может быть заменена оценкой

убывающей с ростом k значительно быстрее.

Своё название Ч. н. получило по имени П. Л. Чебышева, который с его помощью установил (1867) весьма широкие условия приложимости закона больших чисел к суммам независимых случайных величин. См. Больших чисел закон, Предельные теоремы теории вероятностей.

неравенство Бьенеме - Чебышева,- неравенство теории вероятностей, дающее оценку вероятности отклонений значений случайной величины от ее математич. ожидания через ее дисперсию. Пусть - нек-рая случайная величина с конечными математич. ожиданием и дисперсией Ч. н. состоит в том, что для любого вероятность события

не превосходит или

Это неравенство было независимым образом открыто И. Бьенеме (I. Bienayme, 1853) и П. Л. Чебышевым (1866). В современной литературе это неравенство чаще наз. Ч. н., возможно, и потому, что С именем П. Л. Чебышева связано использование его при доказательстве обобщения больших чисел закона (теоремы Чебышева). Ч. н. является представителем целого класса однотипных неравенств, простейшее из к-рых утверждает, что для неотрицательной случайной величины Xс конечным математич. ожиданием

(иногда наз. неравенством Маркова). Из этого неравенства вытекают неравенства для произвольных случайных величин, зависящие от моментов:

(при r=2 и само Ч. н.), а также более общее неравенство

для неотрицательной четной неубывающей при положительных значениях хфункции f(x). Неравенство (3) указывает путь получения новых неравенств того же типа, напр. экспоненциального неравенства:

Сложилась традиция относить все эти неравенства к чебышевскому типу и даже наз. Ч. н. Существует общий принцип получения Ч. н. при определенных условиях на моменты, основанный на использовании системы многочленов Чебышева (см. [4]). Для произвольных случайных величин Ч. н. дают точные, неулучшаемые оценки, однако в нек-рых конкретных ситуациях эти оценки можно уточнить. Напр., если Xимеет унимодальное распределение с модой совпадающей с математич. ожиданием, то справедливо неравенство Гаусса:

где

Значение Ч. п. в теории вероятностен определяется в конечном счете не его точностью, а простотой и универсальностью. Большую роль Ч. н. и ого видоизменения сыграли применительно к суммам случайных величин при доказательстве различных форм закона больших чисел и закона повторного логарифма. Ч. н. для сумм независимых случайных величия было подвергнуто обобщению и уточнению в двух главных направлениях. Первое из них связано с переходом от Ч. н.

к значительно более сильному неравенству

к-рое было доказано А. II. Колмогоровым и использовано им при доказательстве больших чисел усиленного закона (см. Колмогорова неравенство).

Второе направление посвящено замене степенной оценки в Ч. н. на экспоненциально убывающую и приводит к неравенствам Бернштейна- Колмогорова:

где

(см. Берпштейна неравенство). Такие уточнения Ч. н. получаются при дополнительных условиях ограниченности слагаемых X_i.

Получены многомерные аналоги нек-рых из указанных здесь неравенств (см. [5]).

Лит.:[1] Чебышев И. Л., лМатем. сб.

для конечных монотонных последовательностей

- неравенство

Ч. <н. для монотонных функций - неравенство

где f(x)и g(x)либо возрастают, либо убывают. Неравенства установлены П. Л. Чебышевым (1882.)

В. Н. Битюцков.