«Число»

I

Число́

важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количеств. описания и исследования. На первых ступенях развития понятие Ч. определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем Ч. становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия Ч. определяется потребностями этой науки.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального Ч. протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого Ч. отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

Источником возникновения понятия отвлечённого Ч. является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени Ч. становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших Ч. стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого Ч. (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения Ч. значительно расширились. Сначала Ч. стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших Ч. Вавилонские клинописные обозначения Ч., так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначений для Ч. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления (См. Счисление),позволяющая записать любое натуральное Ч. при помощи десяти знаков — цифр (См. Цифры). Т. о., параллельно с развитием письменности понятие натурального Ч. принимает всё более отвлечённую форму, всё более закрепляется отвлечённое от всякой конкретности понятие Ч., воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального Ч. является осознание бесконечности натурального ряда Ч., т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых Ч., в книге Архимеда «Псаммит» — принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших Ч., в частности бо́льших, чем «число песчинок в мире».

С развитием понятия натурального Ч. как результата счёта предметов в обиход включаются действия над Ч. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление — как деление совокупности на равные части (см. Умножение,Деление). Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о Ч. — арифметики (См. Арифметика). В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств Ч. как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального Ч., выделяются классы чётных и нечётных Ч., простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду Ч. продолжается и составляет раздел математики, носящий название Чисел теория.

Натуральные Ч., кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового Ч. (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного Ч. (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых Ч. является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального Ч. долгое время в науке не ставился. Понятие натурального Ч. столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода (См. Аксиоматический метод) в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального Ч. Отчётливое определение понятия натурального Ч. на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального Ч. как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие Ч.), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Ч. в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

Другое обоснование понятия натурального Ч. базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.

Следует отметить, что перенесение понятия порядкового Ч. на бесконечные совокупности [порядковые Трансфинитные числаи более общо́ — порядковые типы (см. Множеств теория)] резко расходится с обобщённым понятием количественного Ч.; это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами.

Исторически первым расширением понятия Ч. является присоединение к натуральным Ч. дробных чисел. Введение в употребление дробных Ч. связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о Ч. созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном Ч. как о частном при делении двух натуральных Ч., из которых делимое не делится нацело на делитель (см. Дробь).

Дальнейшие расширения понятия Ч. обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного Ч. возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного Ч. необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Т. о., широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного Ч. В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные Ч. систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные Ч. окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного Ч. как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.

Ч. целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных Ч. обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных Ч. является снова рациональным Ч. Совокупность рациональных Ч. упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных Ч. обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными Ч. находится бесконечно много рациональных Ч. Это даёт возможность при помощи рациональных Ч. осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Т. о., совокупность рациональных Ч. оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного Ч. было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального Ч., принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных Ч. оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия Ч., заключающееся в переходе от множества рациональных Ч. к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным Ч. т. н. иррациональных чисел. Ещё в Древней Греции было сделано в геометрии открытие огромной принципиальной важности: не всякие точно заданные (что само по себе является присущей геометрии идеализацией) отрезки соизмеримы, т. е. не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным Ч., если за единицу принят другой отрезок. Классическим примером несоизмеримых отрезков является сторона квадрата и его диагональ. Факт существования несоизмеримых отрезков не явился тормозом для развития геометрии. Греками была разработана (изложенная в «Началах» Евклида) теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия (в чисто геометрической форме), т. е. греки обращались с такими отношениями, как с Ч. Однако идея о том, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как Ч., у них не была осознана до конца. Это может быть объяснено культивировавшимся в школе, к которой принадлежал Евклид, идеалистическим отрывом теоретической математики от прикладных вопросов. В работах Архимедамы находим значительно бо́льшую близость к прикладным вопросам, в частности приближённые вычисления отношений несоизмеримых отрезков, однако и у него не появляется понятие иррационального Ч. как Ч., выражающего отношение длин несоизмеримых отрезков.

В 17 в. в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. Отчётливое определение понятия действительного Ч. даётся одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного Ч., рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного Ч. было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.

По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса («разорвать» прямую на две части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором — самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.

Совокупность всех рациональных Ч. свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных Ч. разбить на два класса так, что каждое Ч. первого класса будет меньше каждого Ч. второго класса, то при таком разбиении («сечении» Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего Ч., а во втором — наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные Ч., нуль и все положительные Ч., квадрат которых меньше двух, а ко второму — все положительные Ч., квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального Ч.: каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных Ч. сопоставляется иррациональное Ч., которое считается большим, чем любое Ч. первого класса, и меньшим, чем любое Ч. верхнего класса. Совокупность всех действительных Ч., рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.

Обоснование Кантора понятия действительного Ч. отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное Ч. определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных Ч., которая мыслится как данная вся целиком.

В последние годы разрабатывается концепция «вычислимых» Ч., т. е. таких, приближения к которым могут быть заданы посредством какого-либо алгоритма. Понятие вычислимого Ч. определяется без пользования абстракцией актуальной бесконечности, на базе уточнённого понятия алгоритма.

Заключительный этап в развитии понятия Ч. — введение комплексных чисел (См. Комплексные числа).Источником возникновения понятия комплексного Ч. явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного Ч. возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного Ч., невыполнимому в области действительного Ч. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось след. обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными Ч., по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных Ч. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных Ч. Однако комплексные Ч. и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» Ч. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных Ч. в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных Ч. в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные Ч. начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.

Совокупность всех комплексных Ч. обладает так же, как совокупность действительных Ч. и совокупность рациональных Ч., свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных Ч. обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных Ч. Совокупность всех действительных Ч. (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х²+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных Ч. не может быть далее расширена за счёт присоединения новых Ч. так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных Ч.

Наряду с основной линией развития понятия Ч. (натуральные Ч. → рациональные Ч. → действительные Ч. → комплексные Ч.), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия Ч. в существенно других направлениях. Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных Ч. В современной теории Ч. получили большое значение т. н. р-адические Ч., системы которых получаются из систем рациональных Ч. посредством присоединения новых объектов, отличных от иррациональных Ч. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных Ч. — группы (См. Группа),кольца (См. Кольцо),поля (См. Поле),алгебры (см. также ст. Гиперкомплексные числа).

Лит.: История математики, т. 1—3, М., 1970—72; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951; Нечаев В. И., Числовые системы, М., 1972.

Д. К. Фаддеев.

Число́

в языкознании, грамматическая категория, обозначающая в предложении количество участников действия (Субъектов и Объектов) с помощью морфологических средств. Основным противопоставлением в категории Ч. является единственность — множественность. В некоторых языках имеется также двойственное Ч. и реже тройственное. С развитием языка двойственное Ч. может разрушаться и поглощаться множественными Ч., как это было в истории славянских языков (например в старославянском языке (См. Старославянский язык) различались единственные, множественные и двойственные Ч.: «ты» — «вы» — «ва»). Среди форм и значений многие Ч. различаются множественное дистрибутивное (когда множество мыслится как состоящее из отдельных предметов, например «листы») и множественное собирательное (когда множество мыслится как единая совокупность, например «листья»). Собирательное значение может выражаться формой единственного Ч. («тряпьё», «вороньё»). Формы множественных Ч. могут также обозначать родовое понятие (родовое множественное Ч.), например «в этой местности водятся волки». Употребление формы множественного Ч. в значении единственного Ч. наблюдается в случаях вежливого множественного Ч. («вы» при обращении к одному лицу) и множественные Ч. величия («мы» в речи царствующих особ). Как независимая категория Ч. свойственно существительным и личным местоимениям, другие Части речи (глагол, прилагательное, прочие разряды местоимений) получают числовые характеристики по согласованию (См. Согласование) (синтаксическое Ч.). Согласование по числу обязательно в индоевропейских языках (См. Индоевропейские языки): «он работает» — «они работают», англ. he works — they work. Однако с разрушением морфологии согласование также может исчезать, например в английском языке уже нет согласования по Ч. между прилагательным и существительным (clever child — «умный ребёнок» — clever children — «умные дети»). Способы выражения множественных Ч. различны: аффиксальное Ч. («стол» — «столы», англ. table — tables), супплетивное Ч. («человек» — «люди»), см. Супплетивизм; ломаное Ч. (араб. radžulun — «мужчина», ridžalun — «мужчины»; изменяется огласовка корня); множественное Ч. с повтором (индонез. оранг — «человек», оранг-оранг — «люди»). В индоевропейских языках форма множественного Ч. обязательна, если существительное имеет при себе количественное слово (десять книг, много книг). В некоторых языках существительное в таких конструкциях употребляется в форме единственного Ч. (венг. könyv — «книга», tiz könyv — «10 книг», sok könyv — «много книг»). Во многих языках Азии и Америки для выражения множественного Ч. существительных в конструкции с числительным используются специальные элементы — классификаторы (нумеративы), различные для разных лексических групп существительных; последние при этом своей формы не меняют (вьетнамский яз. hai con meo — «две кошки», где con — классификатор).

Лит.: Сепир Э., Язык, пер. с англ., М.—Л., 1934; Есперсен О., Философия грамматики, пер. с англ., М., 1958; Реформатский А. А., Число и грамматика, сб.: Вопросы грамматики, М.—Л., 1960; Виноградов В. В., Русский язык, 2 изд., М., 1972.

В. А. Виноградов.

Число́ («Число́»,)

государственная налоговая система, введённая в 50-х гг. 13 в. на территориях, подвластных монгольским ханам. «Ч.» сменило откупную систему налогов с завоёванных монголами земель. При великом хане Менгу (1251—59) «Ч.» было введено в Китае, Средней Азии, Иране, Армении, было распространено на русские земли (Северо-Восточная Русь, Рязанское и Муромское княжества, Новгород Великий). Для этого монгольскими чиновниками были проведены переписи населения, которое делилось на десятки, сотни, тысячи и «тьмы» (10 тыс.). Служители церкви из переписи исключались. Лица, проводившие «Ч.», назывались численниками или писцами. Численники переписывали население по домам. Исчисление населения сопровождалось многочисленными злоупотреблениями и вызывало восстания (восстание в Новгороде Великом в 1257). На Руси деление населения по десятичной системе для уплаты налогов или экстраординарных ордынских сборов сохранялось вплоть до 15 в.

Лит.: Насонов А. Н., Монголы и Русь, М.—Л., 1940; Павлов П. Н., К вопросу о русской дани в Золотую Орду, «Уч. зап. Красноярского гос. пед. института», т. 13. Серия историко-филологическая, в. 2, Красноярск. 1958.

1. число́;
2. чи́сла;
3. числа́;
4. чи́сел;
5. числу́;
6. чи́слам;
7. число́;
8. чи́сла;
9. число́м;
10. чи́слами;
11. числе́;
12. чи́слах.

ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь. Четное число, что делится на два без дроби. Круглым числом, средним. Число месяца, день, по счету, счетом, начиная с первого до 31-го. Татарове реша: дайте нам число, ·стар. счет населенью, перепись народа. Не с числа говоришь, вят., пермяц. неверно, ошибочно, неправду. Число в число на тот месяц. Книга Чисел, четвертая из пяти книг Моисеевых: счисленье еврейского народа, станов и колен его, в пустыне. Занятия расписаны по числам (месяца). Все числом да счетом. В том числе, в сем счету, в общем количестве. Числовой вывод, в числах, в цифрах, количественный. Числить что, исчислять, считать, рассчитывать,

| считать в числе чего, полагать в счет. Его числят, он числится в полку. Вычислить путь планеты. Дочислиться до вывода. Зачислить кого на службу. Исчислить нужды свои. Начислить на кого долг. Отчислять часть доходов в запас. Почислить дело решенным. Перечислить кого в другое ведомство. Он причислен к министерству. Прочислил одну статью, пропустил. Расчислить, почем придется на брата. Арифметики счисляют мудреные задачи. Численье, действие по гл. Численные величины, алг. означенные не буквами, а числами. - люди, ·стар. податные, окладные. Численник ·стар. счетчик, переписчик народа русского, от татар. Говори численно, вят. порядком, правильно, законно, верно. Численность, число, счет чего, количество. Численность населенья все растет. Числитель муж. числящий, исчисляющий что.

| Числитель, верхня цифра дроби, означающая, сколько частей взято от целого, разделенного на столько частей, сколько единиц в знаменателе. Числительный, к числителю относящийся; указывающий число чего либо. - имя, грам. слово, означающее счет. Численка жен., тамб., тул. чисменка ниж., пермяц., олон. чисменница костр. в мотке ниток, и в основе ткацкой, зубок; три нитки; десять численок одна пасма; ниж., костр. чисменка четыре нитки или два гнезда; вологод. 20 чисменок, по 3 оборота, одна пасма; местами 40 чисменок пасма, в 120 ниток. Числовед или числослов, арифметик, счетчик. Числословная, числоведная наука, числоведенье, числословие, арифметика, математика, счетная наука.

ЧИСЛО́, -а, мн. числа, -сел, -слам, ср.

1. Основное понятие математики величина, при помощи к-рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы). Рациональное ч. Иррациональное ч.

2. День календарного месяца по порядку счёта от начала к концу. В первых числах мая. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Какое сегодня ч.? Задним числом пометить или датировать (уже прошедшим, более ранним числом, чем следует). Задним числом сообщить или узнать (позже чем следовало бы; разг.).

3. кого (чего). Количество считаемого, поддающегося счёту. Ч. собравшихся. Значительное ч. ошибок. Отряд числом в двадцать человек (в числе двадцати человек). Большое ч. людей.

4. Состав, ряд, совокупность кого-чего-н. Пополнить ч. участников.

5. В грамматике: категория имени и глагола, специальными системами форм (парадигмами) выражающая единичность или множественность. Единственное ч. Множественное ч.

• В числе кого (чего), предл. с род. в составе какого-н. множества, среди кого-чего-н. Быть в числе лучших.

В число кого (чего), предл. с род. в состав какого-н. множества. Попал в число отстающих.

К числу кого (чего), предл. с род. обозначает включённость в состав кого-чего-н. Принадлежать к числу учеников. Проблема относится к числу наиболее сложных.

Из числа кого (чего), предл. с род. из состава какого-н. множества. Назначить бригадира из числа рабочих.

В том числе (-и), союз со знач. присоединения, включения считая, включая. Пошли все, в том числе и мы.

Без числа о неисчислимом множестве. Звёзд на небе без числа.

Числа нет кому (чему) очень много. Поздравлениям нет числа.

По первое число (попадёт, достанется) кому (прост.). о строгом выговоре, наказании. Влетит тебе от отца по первое число.

| прил. числовой, -ая, -ое (к 1 знач.) и численный, -ая, -ое (к 1 знач.; спец.). Числовое программное управление (ЧПУ) (управление механизмами с помощью заранее составленных алгоритмов). Численное решение уравнений.

-а́, мн. чи́сла, -сел, -слам, ср.

1.

Понятие, служащее выражением количества, при помощи которого производится счет.

Простые числа. Целое число. Положительные числа. Теория чисел (наука о целых числах).

2.

День месяца в порядковом ряду других дней.

В первых числах августа.

□

— То было ровно шесть лет тому, весной, тридцать первого марта, — заметьте число, господа, — накануне… — Первого апреля! — закричал юноша в завитках. Достоевский, Ползунков.

— Кто знает, какое сегодня число? Никандров, Седой Каспий.

3.

Количество кого-, чего-л.

Эти заводы — числом десять — занимают собой площадь в шестьсот тысяч десятин. Мамин-Сибиряк, Сестры.

У меня есть одна слабость: мне хочется возможно большее число людей приохотить к писательству. Паустовский, Кара-Бугаз.

4.

Состав, ряд, совокупность кого-, чего-л.

[Чертокуцкий] служил прежде в одном из кавалерийских полков, был один из числа значительных и видных офицеров. Гоголь, Коляска.

Дом ее принадлежал к числу приятнейших в городе. Тургенев, Дворянское гнездо.

Я был в числе писателей, встречавших Назыма Хикмета на аэродроме. Сельвинский, Я буду говорить о стихах.

5. лингв.

Грамматическая категория, выражающая морфологическими средствами языка единичность или множественность предметов или лиц.

Множественное число. Двойственное число.

нет (несть) числа{ кому-чему} без числа

об очень большом количестве, о бесчисленном множестве кого-, чего-л.

- астрономические числа

- задним числом

- по первое число

ЧИСЛО́, числа, мн. числа, чисел, числам, ср.

1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой¹ в 1 знач.). Теория чисел (отдел математики, изучающий общие свойства чисел).

2. То же, что цифра в 1 знач. (старин.).

3. Тот или иной день месяца в его порядковом ряду, месте (при названии месяца слово "число" в речи обычно опускается, напр. "первое мая" вместо "первое число мая"). Первого числа (т.е. в первый день месяца) он возвращается из отпуска. Какое сегодня число? Какого числа твой день рождения? Пометить письмо задним числом (см. задний), завтрашним, вчерашним числом. «Июня третьего числа коляска легкая в дорогу его по почте понесла.» Пушкин. «В последних числах сентября… в деревне скучно, грязь, ненастье.» Пушкин.

4. только ед., кого-чего. Количество (кого-чего-нибудь, считаемого отдельными особями, единицами, штуками). Собралось большое число гостей. Число книг в библиотеке сильно возросло. Круглым числом (см. круглый в 3 знач.). «Хлопочут набирать учителей полки, числом поболее, ценою подешевле.» Грибоедов.

5. только ед. Совокупность, ряд известного количества кого-чего-нибудь. «А смешивать два эти ремесла есть тьма искусников, я не из их числа.» Грибоедов. В числе присутствующих не оказалось ни одного математика. Все дружно принялись за работу, и новички в том числе.

6. Грамматическая категория, показывающая, об одном или о большем числе предметов идет речь (грам.). Единственное число. Двойственное число (указывает на два предмета). Множественное число (указывает на число предметов больше одного или, в языках, имеющих формы двойственного числа, - на число предметов больше двух). Изменяться в роде, числе и падеже.

❖

I

1.

Понятие количества.

отт. Величина, при помощи которой ведется счёт; единица счёта.

отт. разг. Цифра, номер.

2.

День месяца в порядковом ряду других дней.

отт. разг. Дата.

3.

Количество кого-либо или чего-либо, считаемое единицами.

отт. разг. Количество лиц, составляющих какую-либо массу.

4.

Совокупность кого-либо или чего-либо.

II

Грамматическая категория имени и глагола, выражающая системами форм - парадигмами - единичность или раздельную множественность предметов, явлений и лиц (в лингвистике).

"ЧИСЛО" - система налогообложения в 13-15 вв. на подвластных монгольскому государству и Золотой Орде территории (Китай, Ср. Азия, Иран, Северо-Вост. Русь и др.). Основана на переписи (исчислении, "числе") населения. Налоги взимались поголовно, пропорционально имуществу платильщиков.

ЧИСЛО - одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счетом отдельных предметов возникло Понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4.... Задачи измерения длин, площадей и т. п., а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательных числах возникло у индийцев в 6-11 вв. Потребность в точном выражении отношений величин (напр., отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел, которые выражаются через рациональные числа лишь приближенно; рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел. Окончательное развитие теория действительных чисел получила лишь во 2-й пол. 19 в. в связи с потребностями математического анализа. В связи с решением квадратных и кубических уравнений в 16 в. были введены комплексные числа.

ЧИСЛО - грамматическая категория, указывающая на количество предметов, обозначаемых данным словом или словом, находящимся с данным в отношениях синтаксического согласования. Число единственное, множественное; в некоторых языках - двойственное, тройственное. Выражается обычно формами словоизменения или словообразования.

ЧИСЛО, одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности. В связи со счетом предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах: 1, 2, 3,... Задачи измерения длин, площадей и т.п. привели к понятию рационального (дробного) числа. Потребность в точном выражении отношений величин (например, отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел, которые вместе с рациональными числами составляют совокупность действительных чисел. В связи с решением уравнений 1-й степени (линейных уравнений) были введены отрицательные числа, а квадратных уравнений - комплексные числа.

число́ укр. число́, др.-русск. число, ст.-слав. число ἀριθμός (Остром., Супр.), сербохорв. чи́сло – то же, стар., словен. číslo, чеш. číslo, слвц. číslo, др.-польск. сzуsɫо, в.-луж. čisɫo, н.-луж. суsɫо. Из праслав. *čit-slo, родственного чита́ть, честь; см. Бернекер I, 157. Наряду с этим – др.-русск. чисмѧ, мн. чисмена, ст.-слав. чисмѩ ἀριθμός (Супр.) Из *čit-smen-; см. И. Шмидт, KSchlBeitr. 7, 243; Бернекер, там же; Бругман, Grdr. 2, I, 242 и сл.; Сольмсен, Rhein. Мus. 56,497 и сл.
•
• [См. еще Вернадский, "Speculum", 29, 1954, стр. 335. – Т.]

числ|о - с.
1. number;
(тж. грам.);
дробное ~ fractional number;
нечётное ~ odd number;
округлённое ~ round figure/number;
датировать задним ~ом, date back, predate, antedate;
полученный более поздним числом post-dated;
целое ~ whole number;
~ мест (в аудитории, театре и т. п.) seating capacity;
в ~е присутствующих among those present;
в ~е прочих among others, в том ~е inctuding;
он не из ~а тех, которые... he is not one (+ to inf. );

2. (дата) date;
первое, второе и т. д. ~ (месяца) the first, second, etc. (day of the month);
в первых, последних числах октября и т. д. early, late in October, etc.;
какое сегодня ~? what is the day of the month?;
без ~а in countless numbers.

с

1)Zahl f; Anzahl f(количество)

дробное число — Bruch m (умл.), Bruchzahl f

целое число — ganze Zahl

простое число — Primzahl f

2)грам. Zahl f, Numerus m, sg неизм., pl -ri; Zahlform f(форма)

единственное число — Singular m, Einzahl f

множественное число — Plural m, Mehrzahl f

3)(дата) Datum n, pl -ten

какое сегодня число? — der wievielte ist heute?, welches Datum haben wir heute?

в первых числах января — in den ersten Tagen des Januar, Anfang Januar

помечать числом — datieren vt

пометить задним числом — zurückdatieren vt

•
•

в числе участников — unter den Teilnehmern

в том числе — darunter, einschließlich

один из их числа — einer von ihnen

число с 1. Zahl f c; Anzahl f (количество) дробное число Bruch m 1a*, Bruchzahl f целое число ganze Zahl простое число Primzahl f 2. грам. Zahl f, Numerus m, sg неизм., pl -ri; Zahlform f c (форма) единственное число Singular m 1a, Einzahl f множественное число Plural m 1a, Mehrzahl f 3. (дата) Datum n 1, pl -ten какое сегодня число? der wievielte ist heute?, welches Datum haben wir heute? в первых числах января in den ersten Tagen des Januar, Anfang Januar помечать числом datieren vt пометить задним числом zurückdatieren vt а в числе участников unter den Teilnehmern в том числе darunter, einschließlich один из их числа einer von ihnen

с.

1)nombre m

целое число — nombre entier

дробное число — nombre fractionnaire

именованное число — nombre concret

мнимое число — nombre imaginaire

кратное число — multiple m

единственное число грам. — singulier m

множественное число грам. — pluriel m

2)(дата) date f, quantième m

помечать число — mettre la date, dater vt

пометить задним числом — antidater vt

какое сегодня число? — quelle date sommes-nous?, quel quantième sommes-nous?

двенадцатое число — nous sommes le douze (du mois)

в первых числах июня — les premiers jours de juin

•
•

без числа — sans nombre

один из их числа — l'un d'entre eux

в том числе — dont, y compris; parmi eux(между ними)

быть в числе — être parmi

большое число людей — un grand nombre de personnes; une foule de personnes(или de gens)

превосходить числом — excéder en nombre

с.

1)número m

це́лое, дро́бное число́ — número entero, fraccionario

четное, нечетное число́ — número par, impar

отвлеченное, имено́ванное число́ — número abstracto, concreto

просто́е, кра́тное число́ — número primo, múltiple

в большо́м числе́ — en gran número

превосходи́ть число́м — exceder en número

по числу́ чле́нов — según el número de miembros

2)грам. número m

еди́нственное число́ — singular m

мно́жественное число́ — plural m

дво́йственное число́ — dual m

3)(дата) fecha f

како́е сего́дня число́? — ¿qué fecha es hoy?, ¿a cuántos estamos hoy?

в пе́рвых чи́слах ма́я — en los primeros días de mayo

помеча́ть число́м — fechar vt, poner fecha, datar f

поме́тить за́дним число́м — antedatar vt

•
•

без числа́ — sin número

нет (несть) числа́(+ дат. п.) — no hay con qué contarlo, es incontable

оди́н из их числа́ — uno de (entre) ellos

в том числе́ — incluso; comprendido entre ellos

зада́ть по пе́рвое число́ разг. — dar un rapapolvo; poner como un trapo

с.

1)мат. numero m

простые числа — numeri primi(неделимые)

положительные числа — numeri positivi

мнимое число — numero immaginario

целое / дробное число — numero intero / frazionario

кратное число — multiplo m

2)(дата) data f, giorno del mese

какое сегодня число? — quanti ne abbiamo oggi?

в первых / последних числах месяца — ai primi / agli ultimi del mese

пометить (задним) числом — retrodatare vt

3)(количество) numero m, quantità f

превосходить числом — superare numericamente

во все возрастающем числе — in numero sempre crescente / maggiore

в большом числе — in gran numero; in grande quantità

4)(состав, ряд) novero m

быть в числе премированных — essere nel novero dei premiati

один из числа моих друзей — uno dei miei amici

в том числе — compreso

5)грам.

единственное / множественное число — singolare m / plurale m

астрономические числа — cifre astronomiche

октановое число — numero di ottano

нет числа (+Д) без числа — in quantita innumerevole

нет числа его преступлениям — i suoi crimini non si contano

•
•

задать по первое число — fare una partaccia / strigliata

отделать по первое число — conciare per le feste

Число

ЧИСЛО, как грамматическая категория. 1. Форма существительного, указывающая на различное количество предметов, обозначенных основой форм Ч. Форма Ч. существительных является формой несинтаксической, и именно формой словообразования, т. к. обозначает различные предметы мысли независимо от словосочетания, заключающего слова с этой формой. 2. Форма прилагательных, указывающая на отношение прилагательного к существительному, имеющему форму соответствующего Ч. или (в русском языке редко, гл. о. при употреблении прилагательного в роли сказуемого) — к двум или более существительным, обозначающим в совокупности количество двух или более предметов: злая собака — злые собаки, шляпа с белым пером — шляпа с белыми перьями, на нем шуба меховая — на нем шапка и шуба меховые. 3. Спрягаемая форма глагола, указывающая на отношение глагольного признака к предмету или предметам, которые обозначены или могут быть обозначены именительным падежом существительного в соответствующем Ч. или двумя или более существительными: стол стоит — столы стоят, я пишу — мы пишем, молчи — молчите, князь Игорь и Ольга на холме сидят, кошка с собакой дерутся. В русском яз., как и в древнейших индо-европейских языках Ч. обозначается различиями в образовании падежных форм существительных и прилагательных и личных форм глагола: рука — руки, руку — руки, руке — рукам и пр., злой — злые, злого — злых и пр., иду — идем, идешь — идете и пр. В настоящее время в русском яз. различаются формы двух Ч.: единственного и множественного, но раньше (до XII в.) он имел три Ч.: единственное, двойственное (обозначавшее парное число предметов) и множественное, унаследованные им от обще-славянского яз., а последним — от обще-индо-европейского. Двойственное Ч. сохранялось м. пр. в древне-греч. языке и до сих пор существует в словинском языке.

ЧИСЛО, символ, представляющий количество, используемый в расчетах и вычислениях. Все древние культуры создавали свои СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ для практических расчетов и измерений. Развитие идеи разрядов чисел и введение ноля в основную систему, содержащую 10 чисел, привело к знакомой нам ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, которой мы пользуемся по сегодняшний день. Эта система, судя по всему, пришла на запад из Индии в результате перевода с арабского математических трудов в XII в. В процессе обычного счета мы получаем натуральные числа. Эта идея может быть распространена и на определение ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, рациональных, действительных и комплексных чисел. Другие категории числа, такие как ПРОСТЫЕ ЧИСЛА и совершенные числа, имеют отношение к разделу математики, называемому ТЕОРИЕЙ ЧИСЕЛ.

个数

Понятие числа в математике может относиться к объектам различной природы: натуральным числам, используемым при счете (положительным целым числам 1, 2, 3 и т.д.), числам, являющимся возможными результатами (идеализированных) измерений (это такие числа, как 2/3, корень из 3, - их называют действительными числами), отрицательным числам, мнимым числам (скажем, к корню из минус 1) и к другим более абстрактным классам чисел, используемым в высших разделах математики (например, к гиперкомплексным и трансфинитным числам). Число необходимо отличать от его символа, или обозначения, которое его представляет. Мы рассмотрим логические отношения между различными классами чисел (см. также ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ). Элементарная арифметика оперирует с положительными целыми числами и нулем, с дробями, в известной мере с положительными действительными числами, такими как, и иногда с отрицательными действительными числами. Более сложные действия над отрицательными и мнимыми числами обычно принято относить к компетенции алгебры. Правила, осваиваемые при изучении арифметики, применимы без каких-либо ограничений только к положительным действительным числам, поэтому некоторые действия, производимые над более общими классами чисел, часто кажутся загадочными, например

Такие загадки легко разрешаются, если принять во внимание, что различные классы чисел имеют совершенно различный смысл; хотя у них достаточного много общего, чтобы их всех можно было называть числами, не следует думать, что все они будут удовлетворять одним и тем же правилам. Положительные целые числа. Хотя мы все усваиваем положительные целые числа (1, 2, 3 и т.д.) в раннем детстве, когда вряд ли приходит в голову задумываться об определениях, тем не менее такие числа могут быть определены по всем правилам формальной логики. Строгое определение числа 1 заняло бы не один десяток страниц, а формула типа 1 + 1 = 2, если записать ее во всех подробностях без каких-либо сокращений, протянулась бы на несколько километров. Однако любая математическая теория вынуждена начинаться с некоторых неопределяемых понятий и аксиом или постулатов относительно них. Так как положительные целые числа хорошо известны и трудно определить их с помощью чего-то более простого, мы примем их за исходные неопределяемые понятия и будем считать, что основные свойства этих чисел известны.

Отрицательные целые числа и нуль. Отрицательные числа в наши дни вещь обыденная: их используют, например, для того, чтобы представить температуру ниже нуля. Поэтому кажется удивительным, что еще несколько столетий назад какой-либо конкретной интерпретации отрицательных чисел не было, а возникающие по ходу вычислений отрицательные числа назывались "воображаемыми". Несмотря на то, что интуитивная интерпретация отрицательных чисел сама по себе полезна, пытаясь понять такие "правила", как (-4)ґ(-3) = +12, мы должны определить отрицательные числа с помощью положительных. Для этого нам нужно построить множество таких математических объектов, которые будут вести себя в арифметике и алгебре именно так, как можно было бы ожидать от отрицательных чисел. Один из способов построить такое множество состоит в рассмотрении упорядоченных пар положительных чисел (a,b). "Упорядоченность" означает, что, например, пара (2,3) отлична от пары (3,2). Такие упорядоченные пары можно рассматривать как новый класс чисел. Теперь мы должны сказать, когда два таких новых числа равны и что означает их сложение и умножение. Наш выбор определений обусловлен желанием, чтобы пара (a,b) действовала как разность (a - b), которая пока что определена, лишь когда a больше b. Так как в алгебре (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d), мы приходим к необходимости определить сложение новых чисел как (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d); т.к. (a - b)ґ(c - d) = ac + bd - (bc + ad), мы определяем умножение равенством (a,b)ґ(c,d) = (ac + bd, bc + ad); а так как (a - b) = (c - d), если a + d = b + c, мы определяем равенство новых чисел соотношением (a,b) = (c,d), если a + d = b + c. Таким образом,

Используя определения равенства пар, можно записать сумму и произведение пар в более простом виде:

Все пары (a,a) равны (по определению равенства пар) и действуют так, как по нашим ожиданиям должен действовать нуль. Например, (2,3) + (1,1) = (3,4) = (2,3); (2,3)ґ(1,1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5,5) = (1,1). Пары (a,a) мы можем обозначить символом 0 (который до сих пор не использовали). Пары (a,b), где b больше a, ведут себя так, как должны были бы действовать отрицательные числа, и мы можем обозначить пару (a,b) символом -(b - a). Например, -4 - это (1,5), а -3 - это (1,4); (-4)ґ(-3) = (21,9), или (13,1). Последнее число хотелось бы обозначить как 12, но это заведомо не то же самое, что положительное целое число 12, поскольку обозначает пару положительных целых чисел, а не одно положительное целое число. Необходимо подчеркнуть, что поскольку пары (a,b), где b меньше a, действуют как положительные целые числа (a - b), мы будем записывать такие числа как (a - b). При этом надо забыть о положительных целых числах, с которых мы начали, и впредь пользоваться только нашими новыми числами, которые назовем целыми числами. То, что мы намереваемся использовать старые названия для некоторых новых чисел, не должно вводить в заблуждение относительно того, что в действительности новые числа представляют собой объекты иного рода.

Дроби. Интуитивно мы представляем себе дробь 2/3 как результат разбиения 1 на три равные части и взятия двух из них. Однако математик стремится как можно меньше полагаться на интуицию и определять рациональные числа через более простые объекты - целые числа. Это можно сделать, если 2/3 рассматривать как упорядоченную пару (2,3) целых чисел. Для завершения определения необходимо сформулировать правила равенства дробей, а также сложения и умножения. Разумеется, эти правила должны быть эквивалентны правилам арифметики и, естественно, отличаться от правил для тех упорядоченных пар, которые мы определили как целые числа. Вот эти правила:

Нетрудно видеть, что пары (a,1) действуют как целые числа a; продолжая рассуждать так же, как в случае отрицательных чисел, мы обозначим через 2 дробь (2,1), или (4,2), или любую другую дробь, равную (2,1). Забудем теперь о целых числах и сохраним их лишь как средство записи определенных дробей.

Рациональные и иррациональные числа. Дроби принято также называть рациональными числами, так как они представимы в виде отношений (от лат. ratio - отношение) двух целых чисел. Но если нам потребуется число, квадрат которого равен 2, то мы не сможем обойтись рациональными числами, т.к. не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. То же самое выяснится, если поинтересоваться числом, выражающим отношение длины окружности к ее диаметру. Следовательно, если мы хотим получить квадратные корни из всех положительных чисел, то нам необходимо расширить класс рациональных чисел. Новые числа, называемые иррациональными (т.е. не рациональными), можно определять различными способами. Упорядоченные пары для этого не годятся; один из простейших способов состоит в том, чтобы определить иррациональные числа как бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа вместе называются действительными или вещественными числами. Геометрически их можно представить точками на прямой, при этом дроби оказываются в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа - в промежутках между дробями, как показано на рис. 1. Можно показать, что система действительных чисел обладает свойством, известным как "полнота" и означающим, что каждой точке на прямой соответствует некоторое действительное число.

Комплксные числа. Так как квадраты положительных и отрицательных действительных чисел положительны, на прямой действительных чисел нет точки, соответствующей числу, квадрат которого был бы равен -1. Но если бы мы попытались решать квадратные уравнения типа x2 + 1 = 0, то необходимо было бы поступать так, как если бы существовало некоторое число i, квадрат которого был бы равен -1. Но поскольку такого числа нет, нам не остается ничего другого, как воспользоваться "воображаемым", или "мнимым", числом. Соответственно, "число" i и его комбинации с обычными числами (типа 2 + 3i) стали называться мнимыми. Современные математики предпочитают называть такие числа "комплксными", поскольку они, как мы увидим, столь же "реальны", как и те, с которыми нам уже доводилось встречаться раньше. Долгое время математики свободно пользовались мнимыми числами и получали полезные результаты, хотя не до конца понимали то, что они делали. И до начала 19 в. никому и в голову не приходило "оживить" мнимые числа с помощью их явного определения. Для этого нужно построить некоторую совокупность математических объектов, которые с точки зрения алгебры вели бы себя как выражения a + bi, если условиться, что i 2 = -1. Такие объекты можно определить следующим образом. Рассмотрим в качестве наших новых чисел упорядоченные пары действительных чисел, сложение и умножение которых определяется формулами:

Например,

Назовем такие упорядоченные пары комплксными числами. Пары частного вида (a,0) со вторым членом, равным нулю, ведут себя как действительные числа, поэтому мы условимся обозначать их так же: например, 2 означает (2,0). С другой стороны, комплексное число (0,b) по определению умножения обладает свойством (0,b)ґ(0,b) = (0 - b2, 0 + 0) = (-b2,0) = -b2. Например, в случае (0,1)ґ(0,1) мы находим произведение (-1,0); следовательно, (0,1)2 = (-1,0). Мы уже условились записывать комплексное число (-1,0) как -1, поэтому если число (0,1) обозначить символом i, то мы получим комплексное число i, такое, что i 2 = -1. Кроме того, комплексное число (2,3) теперь можно записать в виде 2 + 3i. Важное отличие такого подхода к комплексным числам от традиционного состоит в том, что в данном случае число i не содержит ничего загадочного или мнимого: оно представляет собой нечто, хорошо определяемое посредством уже существовавших ранее чисел, хотя, разумеется, и не совпадает ни с одним из них. Точно так же, действительное число 2 не является комплексным, хотя мы и используем символ 2 для обозначения комплексного числа. Так как на самом деле в мнимых числах нет ничего "мнимого", то неудивительно, что они широко используются в реальных ситуациях, например в электротехнике (где вместо буквы i обычно используют букву j, так как в электротехнике i - символ для текущего значения силы тока). Алгебра комплексных чисел во многом напоминает алгебру действительных чисел, хотя имеются и существенные различия. Например, правило для комплексных чисел не выполняется:, поэтому, в то время как. Определение комплексных чисел как пар действительных чисел подсказывает способ их наглядного геометрического представления. Хотя прямая не может вместить и действительные, и комплексные числа, их вполне может вместить плоскость (см. рис. 2,а). Например, число 2 + 3i представлено точкой плоскости с координатами (2,3) (см. также АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

Рис. 2,а. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА - геометрические представления: a - в декартовых координатах.

Рис. 2,б. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА - геометрические представления: б - в полярных координатах.

Сложение комплексных чисел допускает простую геометрическую интерпретацию. Например, сумма чисел 2 + 3i и 3 - i есть число 5 + 2i, которому соответствует четвертая вершина параллелограмма с тремя вершинами в точках 0, 2 + 3i и 3 - i. Точку на плоскости можно задавать не только прямоугольными (декартовыми) координатами (x,y), но и ее полярными координатами (r,q), задающими расстояние от точки до начала координат и угол. Следовательно, комплексное число x + iy может быть записано и в полярных координатах (рис. 2,б). Длина радиуса-вектора r равна расстоянию от начала координат до точки, соответствующей комплексному числу; величина r называется модулем комплексного числа и определяется по формуле. Часто модуль записывают в виде. Угол q называется "углом", "аргументом" или "фазой" комплексного числа. Такое число имеет бесконечно много углов, отличающихся на величину, кратную 360°; например, i имеет угол 90°, 450°, -270°, ј Так как декартовы и полярные координаты одной и той же точки связаны между собой соотношениями x = r cos q, y = r sin q, справедливо равенство x + iy = r (cos q + i sin q). Если z = x + iy, то число x - iy называется комплексно сопряженным с z и обозначается, а в технике z*. Формула z = r2 удобна для вычисления модуля комплексного числа z, особенно если это число определяется сложной формулой. Пользуясь формулами тригонометрии, находим:

Отсюда правило: чтобы перемножить два комплексных числа, необходимо умножить их модули и сложить их аргументы. В частности, квадрат числа r (cos q + i sin q) равен r 2(cos 2q + i sin 2q), более общая, n-я степень того же числа равна rn(cos nq + i sin nq) (формула Муавра). Эта формула справедлива при надлежащей интерпретации, даже если n - не положительное целое число. Например,

Следовательно, можно ожидать, что кубический корень из 8i (n = 1/3) будет равен

Поскольку аргумент числа i можно считать равным и 90° + 360° = 450°, и 90° + 360° + 360° = 810°, мы можем найти еще два кубических корня из 8i, а именно:

и

(рис. 3). Любое комплексное число (кроме нуля) также имеет три кубических корня (геометрически расположенных в вершинах равностороннего треугольника) и n корней n-й степени, если n - положительное целое число.

Рис. 3. КУБИЧЕСКИЕ КОРНИ из числа 8i.

Так как мы можем определить целые степени и корни из комплексных чисел, можно ввести и любую рациональную степень, например (2 + i)-3/4. Сложнее определить иррациональные или комплексные степени. Прежде всего необходимо ввести экспоненциальную функцию. Это можно сделать, используя ее разложение в степенной ряд

Известно, что если q - действительное число, то eiq определяется этим степенным рядом и eiq = cos q + i sin q; следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа представима в компактном виде z = reiq. Логарифм комплексного числа reiq, по определению, равен ln r + iq, где ln означает логарифм по основанию e, а q принимает все возможные значения, измеряемые в радианах. Таким образом, комплексное число имеет бесконечно много логарифмов. Например, ln (-2) = ln 2 + ip + любое целое кратное 2p. В общем виде степени можно теперь определить с помощью соотношения ab = e b ln a. Например, i-2i = e -2 ln i. Так как значения аргумента числа i равны p/2 (90°, выраженное в радианах) плюс целое кратное, то число i -2i имеет значения ep, e3p, e-p и т.д., которые все являются действительными.

Гиперкомплексные числа. Комплексные числа были изобретены, чтобы иметь возможность решать все квадратные уравнения с действительными коэффициентами. Можно показать, что на самом деле комплексные числа позволяют сделать гораздо больше: с их введением становятся разрешимыми алгебраические уравнения любой степени даже с комплексными коэффициентами. Следовательно, если бы нас интересовали только решения алгебраических уравнений, то необходимость во введении новых чисел отпала бы. Однако для других целей необходимы числа, устроенные в чем-то аналогично комплексным, но с большим количеством компонент. Иногда такие числа называют гиперкомплексными. Их примерами могут служить кватернионы и матрицы.

См. также

АЛГЕБРА;

АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ;

АРИФМЕТИКА;

ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ;

МАТЕМАТИКА;

ЧИСЛО p;

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ.

ЧИСЛО

абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой-нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от другого того же рода. У всех народов имеется числовая символика (ср. Пифагор); счастливые числа (напр., 3), священные числа (напр., 3 и 7) и несчастливые числа (напр., 13).

ЧИСЛО́ -а́; мн. чи́сла, -сел, -слам; ср.

1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное количество). Рациональное, иррациональное ч. Положительные числа. Теория чисел (наука о целых числах). Астрономическое ч. (очень большое).

2. День месяца в порядковом ряду других дней. В первых числах августа. Какое сегодня ч.?

3. Количество кого-, чего-л. В небольшом числе городов. Получить равное ч. голосов. Семья числом в пять человек. Большое ч. чего-л.; несть числа чему-л.; без числа что-л. (об очень большом количестве, о бесчисленном множестве чего-л.).

4. Ряд, совокупность, состав кого-, чего-л. Быть в числе первых. Попасть в ч. победителей конкурса. Назначить бригадира из числа рабочих. Включить в ч. лучших спортсменов.

5. Лингв. Грамматическая категория, выражающая морфологическими средствами языка единичность или множественность предметов или лиц. Единственное, множественное ч. Двойственное ч.

◊ По первое число́ задать, получить и т.п. Разг. О строгом наказании. Задним число́м. 1. Более ранним сроком, чем следует. Датировать справку задним числом. -2. Разг. Слишком поздно. Спохватиться задним числом.

◁ В том числе́ (и), в зн. союза. Включая, присоединяя. Пошли все, в том числе и мы. Числово́й, -а́я, -о́е. Ч-ая величина. Ч-ая последовательность. Ч. масштаб карт. Ч-ые данные. Чи́сленный (см.).

* * *

I

• число́

одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4... Задачи измерения длин, площадей и т. п., а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательных числах возникло у индейцев в VI—XI вв. Потребность в точном выражении отношений величин (например, отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел, которые выражаются через рациональные числа лишь приближённо; рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел. Окончательное развитие теория действительных чисел получила лишь во второй половине XIX в. в связи с потребностями математического анализа. В связи с решением квадратных и кубических уравнений в XVI в. были введены комплексные числа.

II

• число́

грамматическая категория, указывающая на количество предметов, обозначаемых данным словом или словом, находящимся с данным в отношениях синтаксического согласования. Число единственное, множественное; в некоторых языках — двойственное, тройственное. Выражается обычно формами словоизменения или словообразования.

III

• «число́»

система налогообложения в XIII—XV вв. на подвластных монгольскому государству и Золотой Орде территориях (Китай, Средняя Азия, Иран, Северо-Восточная Русь и др.). Основана на переписи (исчислении, «числе») населения. Налоги взимались поголовно, пропорционально имуществу плательщиков.

IV

• число́

«е», то же, что неперово число.

1) символ или объединение нескольких символов, представляющие количественную величину в определенной системе счисления;

2) абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какого-либо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой-нибудь другой определенный член;

3) абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от другого того же рода.

I. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ

1) с помощью Ч. ведется счет однородных единиц (людей, животных, предметов, временных отрезков, массы и т.д.); кр. того, с их помощью обозначают порядок внутри определ. количества этих единиц;

2) ряд последоват. увеличивающихся Ч. подразделяется на группы Ч., что служит упрощению счета. Особое распространение получили две системы счисления: десятичная, к-рая основана на числе 10, т.е. на количестве пальцев на двух руках человека; и двенадцатиричная система, построенная на числе 12 и благодаря многокр. делимости своих основных единиц имеющая нек-рые практич. преимущества. В то время как Ч. 5 как половина Ч. 10 является простым Ч., то 6 как половина 12 представляет собой самую малую величину, делимую на два Ч. - 3 и 2; 50 делится на 2, 5, 10 и 25, а 60 - на 2, 3, 4, 5, 10, 12, 15, 20, 30;

3) в Библии находит применение и двенадцатиричная система счисления (см. ниже, II,12), но преобладает все же десятичная. В своей просьбе о помиловании жителей Содома Авраам начинает с 50 человек, потом дважды снижает это Ч. на 5, потом трижды на 10 и заканчивает десятью (Быт 18:24-32). В другом месте мы обнаруживаем ряд в 1, 2, 5, 10, 20, 30 дней (Чис 11:19 и след.). Круглые числа, соотношения чисел и умножение, как правило, передаются в десятичной системе: 1 тыс. и тысячи (Исх 20:6; 34:7); 10 тыс. (Суд 1:4; 3:29; 4:6; 7:3); 5 и 100, 100 и 10 тыс. (Лев 26:8); "тысячи и десятки тысяч" (1Цар 18:7); по 10 из 100, по 100 из 1 тыс., по 1 тыс. из 10 тыс. (Суд 20:10; ср. Чис 31:4; Ам 5:3); "тысячи тысяч" (Быт 24:60). Деление народа Израиля на группы из 1 тыс., 100, 50 и 10 человек происходило по тому же принципу (Исх 18:21; Втор 1:15);

4) Ч., если их не писали прописью, на письме обозначались буквами или значками. Евреи для обозначения Ч. пользовались буквами алфавита, причем здесь применялась десятичная система. Первые девять букв означали единицы, след. девять - десятки, а последние четыре - сотни от 100 до 400. Все остальные Ч. обозначали на письме комбинацией соотв. букв. Кроме того, существовали и особые значки для обозначения Ч., напр., при указании веса (подобные тем, к-рые присутствуют на арам. и финик. монетах и в надписях). И здесь в основу также была положена десятичная система;

5) из практики употребления букв для обозначения Ч. возникала возможность расставить буквы в порядке возрастания их числового значения (см. Алфавит, см. Нерон);

6) в книгах премудрости используется особый лит. прием, когда в изречениях упоминаются Ч. В Притч 30:24-28; Сир 25:1 и след. перечисляется определ. количество однородных преметов. В Книге пр. Амоса используется прием повторения Ч. 3 и 4 (Ам 1:3,6,9,13; 2:1,4,6), что усиливает впечатление от сказанного. В Еккл 4:12; Ис 17:6 Ч. 1, 2, 3 и 2, 3, 4, 5 приведены в порядке нарастания. Все это создает особый ритм в библ. стихах.

II.Кроме чисто функцион., Ч. в Библии нередко имеют еще и СИМВОЛИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Причем у одних Ч. оно выражено определенно, у других - не столь ясно, а нек-рые Ч. вообще не имеют подобных взаимосвязей. Т.о., Библия, в отличие от совр. ей или более поздних системных воззрений на Ч., в этом отношении не содержит законч. системы; нек-рые Ч. относятся как к Богу, так и к богопротивным силам (напр., числа 2, 6, 7, 10). Поэтому возможное или определ. символич. значение к.-л. Ч. никоим образом не исключает его предметного значения; то и другое может сосуществать (ср., напр., часто упоминаемые временные отрезки в 40 дней в Исх 24:18; Мф 4:2; Деян 1:3). След. примеры призваны раскрыть важнейшие смысловые связи Ч.:

1) ОДИН: Бог един (Втор 6:4; Мф 19:17; 23:8; Гал 3:20; Иак 2:19), Его сущность - единство. Грехи и Божий суд над ними разрушили первонач. единство сотвор. мира (Быт 11:1,6 и след.). Отныне посреднику между Богом и людьми Иисусу Христу (1Тим 2:5; ср. Мф 23:8,10), Который един со Своим Отцом (Ин 10:30), надлежит восстановить утрач. единство и общение людей с Богом (Ин 17:11,21-23; 1Кор 8:6). Он сотворил из иудеев и язычников новый народ Божий (Еф 2:14-16), в к-ром надлежит сохранять единство духа в союзе мира: одно тело и один дух, призв. к одной надежде, одному Господу, одной вере, одному крещению, одному Богу и Отцу всех, Который над всеми и через всех, и во всех нас (Еф 4:3-6);

2) ДВА - минимальное Ч., при к-ром возможно общение. Объединение двух людей в браке или дружбе означает преодоление одиночества и беспомощности (Быт 2:20-24; Мф 19:4-6; Еккл 4:8-12). Истинность любого показания должны подтвердить два свидетеля (Втор 17:6; Ин 8:17; ср. Откр 11:3). Своих учеников Иисус посылает в мир по двое (Мф 21:1; Мк 14:13; Лк 10:1; ср. Мф 18:19 и след.). Никто не может одноврем. служить двум господам (Мф 6:24). Образ двух путей (Мф 7:13 и след.), как и пример двух людей (Лк 18:9-14; ср. 17:34-36), показывает, что для Бога важно последнее решение, ведущее к жизни или к смерти, к спасению или к проклятию;

3) с Богом тесно связано Ч. ТРИ. Бог открывает Себя как Отец, Сын и Дух Святой (Мф 28:19; см. Бог, IV); о Христе свидет-вуют дух, вода и кровь (1Ин 5:8); серафимы трижды провозглашают пред Господом: "свят, свят, свят" (Ис 6:3; ср. Откр 4:8). Трое мужей явились Аврааму (Быт 18:2); Аароново благословение состояло из трех частей (Чис 6:24-26); передний двор, Святое и Святое Святых составляли святилище, жилище Бога, обитающего среди Своего народа (Исх 26:33; 27:9; см. Скиния). Три дня отделяют воскресение Иисуса от Его смерти (Мф 12:40; Ин 2:19). Кр. того, дьявол троекратно искушал Иисуса (Мф 4:1-11); описание богопротивного зверя в Откр 13 также связано с Ч. три: барс, медведь и лев, а также сила, престол и власть (ст. 2);

4) Ч. ЧЕТЫРЕ знаменует собой целостность сотвор. мира, когда говорится о четырех концах (краях) (Ис 11:12; Иез 7:2) или углах земли (Откр 7:1; 20:7), а также о четырех ветрах (Дан 11:4; Зах 2:10; Мф 24:31; Мк 13:27). Река, выходившая из Эдема, также разделялась на четыре реки (Быт 2:10). Кр. того, четыре живых существа присутствуют у престола Божьего (Иез 1:5-18; ср. Откр 4:5-8). Господь говорит о четырех казнях, к-рые Он хочет послать на Свой непокорный народ (Иер 15:3; ср. ст. 2; Иез 14:21);

5) Ч. ПЯТЬ не обнаруживает в Библии заметных символических связей;

6) Ч. ШЕСТЬ измеряются дни и годы человеч. труда (Исх 20:9; 23:10; ср. 21:2). Дни находятся между посвящ. Богу субботами, а годы - между субботними годами. Бог сотворил мир за шесть дней (Быт 1:31; Исх 20:11). Однако у исполина, к-рый имеет по шесть пальцев на каждой руке и каждой ноге (2Цар 21:20), очевидно, проступает нарушение установл. Богом порядка; в Откр 13:18 число 666 есть число зверя, воплощение богопротивных сил мира; ср. см. Нерон;

7) Ч. СЕМЬ выражает заверш. целое в его совершенстве, чаще всего в соотв. с Божьей волей, как, напр., сотворение мира (Быт 2:2 и след.). Седьмой день, суббота (Исх 20:10), и седьмой, субботний, год (Исх 23:11) разделяют и упорядочивают время, труд и богослужение человека. Семикратны возмездие (Быт 4:15; Пс 78:12; Притч 6:31)и прощение (Лк 17:4), восстанавливающие наруш. порядок; семь раз священник должен производить искупит. см. Окропление (Лев 4:6; 8:11; 14:7,16,51; 16:14). Иногда жертва состояла из семи одинаковых животных (Чис 28:11, 19; 1Пар 15:26; 2Пар 29:21; Иез 45:23). У моавитян жертвы возносили одноврем. на семи жертвенниках (Чис 23:1 и след.,29 и след.). Семь потомков Саула должны были умереть за его кровавое преступление (2Цар 21:6,9). Неумеренности человека, к-рый хочет отмщения "в семьдесят раз всемеро" (Быт 4:24), противостоит безграничное прощение Божье (до 77 раз; Мф 18:22). Так Ч. СЕМЬ становится Ч. святым, Ч. Божьим. В НЗ это особо очевидно следует из см. Откровения Иоанна: семь духов Божьих (Откр 1:4); семь звезд, светильников и церквей (ст. 20); семь посланий (Откр 2-3); семь печатей (Откр 5:1); семь рогов и очей Агнца (ст. 6); семь труб и чаш гнева (Откр 8:2; 15:6 и след.); семь громов (Откр 10:3 и след.). Семисвечник (Исх 25:37) - это образ Господа как полноты света, где нет места тьме (1Ин 1:5). Но и зло изображается семикратным: семь нечистых духов (Мф 12:45); семь голов и семь диадем дракона (Откр 12:3); семь голов зверей (Откр 13:1; 17:3,7);

8) Ч. ВОСЕМЬ появляется в Библии несколько раз как число нового начала. Восемь человек спасаются во время потопа (Быт 6:18; 1Пет 3:20; 2Пет 2:5), и от них происходит новое человечество (Быт 10:1 и след.). На восьмой день у иудеев совершалось обрезание, к-рое делало дитя членом народа Божьего (Быт 21:4; Лев 12:3; Лк 2:21). Восьмой сын Иессея стал богоизбр. царем Израиля (1Цар 16:10 и след.,13), из его рода произошел Мессия (2Цар 7:12 и след.);

9) в противоположность язычеству, где Ч. ДЕВЯТЬ играет большую роль, в Библии оно нигде не употребляется в символич. значении;

10) Ч. ДЕСЯТЬ - основа десятичной системы счисления, употребляемой у израильтян; вместе с кратными ему числами оно часто встречается в текстах, содержащих сведения о скинии, напр. о ее размерах и других данных (Исх 26:1,16,18 и след.; 27:9-12), а также о храме (3Цар 6:3,16 и след.,20,23-26; 7:23 и след.,43,49). Временной отрезок в десять дней - это треть месяца, он часто упоминается как точный или приблизит. срок (Чис 11:10 и след.; 1Цар 25:38; Неем 5:18; Иер 42:7; Дан 1:12; Откр 2:10). В десятый день первого месяца выбирали пасх. агнца (Исх 12:3), а в десятый день седьмого месяца праздновали День очищения (Лев 16:29). После того как Господь десятью казнями егип. (см. Казни египетские) освободил Свой народ из рабства (Исх 7-12), Он облек Свои требования и Свою волю по отношению к народу Израиля в см. Десять заповедей (Исх 20:1-17; 34:28) и установил десятину (см. Десятина) (Лев 27:30). Но Ч. может быть связано и с богопротивными силами: в видениях Даниила и в Откровении различные звери и дракон имеют по десять рогов, символизирующих их власть, иногда они истолковываются как десять царей (Дан 7:7,24; Откр 12:3; 13:1; 17:3,7,12,16);

11) кратные десяти Ч. появляются в особом значении:

а) ТРИДЦАТЬ лет было Иосифу, когда он предстал перед фараоном (Быт 41:46), в том же возрасте левиты начинали служить при скинии (Чис 4:3), а Давид стал царем над всем Израилем (2Цар 5:4). Прим. в том же возрасте Иисус начал Свое общественное служение (Лк 3:23). Тридцать дней народ Израиля скорбел по Аарону (Чис 20:29) и по Моисею (Втор 34:8). Тридцать сребреников согл. Зах 11:12 и след.составляли плату пастуха и явились также платой за предат-во Иуды (Мф 26:15; 27:3,5);

б) Ч. СОРОК часто встречается при указаниях на временные отрезки. Сорок лет - это тот срок, за к-рый вымирает старшее поколение и вырастает новое; в этом значении повторяющиеся данные в Книге Судей следует понимать как округл. Ч. (Суд 3:11; 5:31; 8:28; в Суд 3:30 этот срок удвоен). Не следует, однако, воспринимать как округл. Ч. сорок лет перехода через пустыню (см. Переход через пустыню) (Чис 32:13; Втор 2:7; 8:2,4; Нав 5:6) и время царствования Давида (2Цар 5:4; ср. ст. 5), Соломона (3Цар 11:42) и Иоаса (4Цар 12:2). Срок в сорок дней неоднокр. упоминается в рассказе о потопе (Быт 7:4,12,17; 8:6), Моисей дважды по сорок дней оставался на горе Синай (Исх 24:18; 34:28), израильтяне сорок дней разведывали землю Ханаанскую (Чис 13:25; 14:33 и след.), а Илия сорок дней шел до горы Хорив (3Цар 19:8). Иисус сорок дней постился в пустыне (Мф 4:2; Мк 1:13; Лк 4:2), прежде чем приступить к Своему обществ. служению, и в течение сорока дней являлся ученикам после Своего воскресения (Деян 1:3). В проповеди Ионы в Ниневии сорок дней были определены как срок для покаяния (Иона 3:4). Большая часть упомянутых примеров связана с подготовкой к чему-либо и с различными испытаниями;

в) Ч. СЕМЬДЕСЯТ (= 7 х 10) - это также Ч. полноты, завершения. Семьдесят старейшин представляли народ Израиля пред Господом (Исх 24:1,9-11), такое же Ч. их было выделено для того, чтобы помочь Моисею нести груз управления народом (Чис 11:16 и след.). Семьдесят учеников Иисус послал в те города и места, куда хотел прийти Сам (Лк 10:1). Это указывает и на то, что Его Весть была предназначена всему человечеству. Семьдесят лет просуществовала Нововавилонская империя (Иер 25:11 и след.; 29:10), покорившая Израиль; так же долго должно было продлиться время суда над Тиром (Ис 23:15,17). Срок в семьдесят седьмин был установлен для совершения важного цикла событий Свящ. истории (Дан 9:24-27);

г) ТЫСЯЧА (= 10 х 10 х 10) знаменует собой см. Тысячелетнее царство Божие, к-рое Иисус установит на земле (Откр 20:1-6);

12) Ч. ДВЕНАДЦАТЬ, число месяцев в году (см. 1Пар 27:1) и часов в дне (Ин 11:9), особым образом является полным Ч. народа Божьего. Двенадцать сыновей Иакова стали прародителями двенадцати Израильских колен (см. Колено) (Исх 24:4; 28:9 и след.; Нав 4:8 и след.; 3Цар 18:31; Мф 19:28; Иак 1:1; ср. Лев 24:5 и след.; Суд 19:29; возм. также 3Цар 7:25; 10:20); им соответствуют в НЗ двенадцать см. Апостолов (Мф 10:1-4; Деян 1:13-26). Двадцать четыре - это Ч. отделений священников (1Пар 24) и левит. певцов (1Пар 25), сорок восемь - Ч. городов левитов и священников (Чис 35:7; Нав 21:42). Особенно часто Ч. двенадцать с производными от него Ч. упоминается в Откровении. Двенадцать звезд в венце женщины, символизирующей Церковь (Откр 12:1); Ч. 12, 12 тыс. и 144 тыс. представлены в описании нового Иерусалима (Откр 21:12-21); 12 х 12 тыс. = 144 тыс. - это Ч. запечатл. из Израильских колен (Откр 7:4-8; ср. 14:1); 24 старца поклоняются Господу перед престолом Божьим (Откр 4:4,10).

государственная налоговая система, введенная в 50-х гг. 13 в. на территориях, подвластных монгольским ханам. "Ч." сменило откупную систему налогов с завоеванных монголами земель. При великом хане Менгу (1251-59) "Ч." было введено в Китае, Средней Азии (1250-51), затем в Иране (1251-53), Армении (1254-55). "Ч." было распространено и на рус. земли (Сев.-Вост. Русь, Рязанское и Муромское кн-ва, Новгород Великий), что явилось важной вехой в оформлении монг.-тат. владычества над Русью. Новый налог взимался поголовно, пропорционально имуществу плательщиков. Для этого монг. чиновниками из Каракорума были составлены переписи населения, к-рое делилось на десятки, сотни, тысячи и "тьмы" (10 тыс.). Служители церкви из переписи исключались. Лица, проводившие "Ч.", назывались численниками или писцами. Численники переписывали население по домам. Исчисление населения (отсюда само слово "число") сопровождалось многочисленными злоупотреблениями и вызывало восстания (восстание в Новгороде Великом в 1257). На Руси деление населения по десятичной системе для уплаты налогов или экстраординарных ордынских сборов сохранялось вплоть до 15 в.

Лит.: Насонов А. Н., Монголы и Русь, М., 1940; Очерки истории СССР, Период феодализма IX-XV вв., ч. I, M., 1953; Павлов П. Н., К вопросу о русской дани в Золотую Орду, "Уч. зап. Красноярского гос. пед. ин-та. Серия историко-филологич.", т. 13, в. 2, Красноярск, 1958.

числ’о — хотя и является важной характеристикой пространственных размеров, количества и времени, в Священном Писании очень часто имеет относительное, символическое или иносказательное значение (см. семь, семь народов, три, тридцать, тьма, четвертый род ). В древности, когда цифры еще не были изобретены (у евреев — вплоть до Маккавейского периода), для обозначения чисел использовались буквы, которые имели каждая свое количественное значение. Видимо, из-за трудности перевода, связанной с этой особенностью текста, в некоторых местах встречаются различные числа, относящиеся к одному и тому же предмету (срн. Быт.15:13 и Исх.42:20; 2Цар.8:4; 2Цар.10:18 и 1Пар.18:4; 1Пар.19:18; 4Цар.21:1 и 2Пар.33:1 ). В отдельных местах при сложении или вычитании приведенных чисел данный результат не получается (напр., Суд.20).

Многие древние философы, особенно Пифагор и его последователи, придавали огромное значение числу, считая его сущностью всего во всем космосе. До сих пор выискиваются «замечательные» числа и определяется их значение. В средние века даже возникло течение в иудаизме под названием «кабала» (отсюда «кабалистика»), которое считало все в Священном Писании (и особенно числа) закодированным, а потому имеющим особое, сокровенное значение. Так многие думают и до сих пор, но на деле все объясняется нашей неспособностью понимать многогранный, бесконечно глубокий Божий язык, сохранять в памяти многое из того, что уже было сказано по поводу того или иного обстоятельства.

- основное понятие математики, сложившееся в ходе длительного историч. развития. Возникновение и формирование ятого понятия происходило вместе с зарождением и развитием математики. Практич. деятельность человека, с одной стороны, и внутренние потребности математики - с другой определили развитие понятия числа.

Потребность счета предметов привела к возникновению понятия натурального числа. Все народы, обладавшие письменностью, владели понятием натурального числа и пользовались той или иной системой счисления. О ранних этапах возникновения и развития понятия Ч. можно судить лишь на основе косвенных данных, к-рые доставляют языкознание и этнография. Первобытному человеку, видимо, не требовалось умение считать, чтобы установить, полной или нет является какая-нибудь совокупность.

Впоследствии за определенным количеетвом предметов или явлений, с к-рыми люди часто встречались, закрепились особые наименования. Так, в языках нек-рых народностей имелись слова для обозначения таких объектов, как лтри человека

count, figure, number, numeral

* * *

1. (совокупность предметов и т. п.) count, number

2. (математическое представление исчислимого количества) number

вводи́ть число́ (в счё́тную маши́ну) — key [enter] a number into (a calculator)

изобража́ть число́ — represent a number

обознача́ть число́ — express a number

число́ о́бщее — total of …

округли́ть число́ — round off a number

представля́ть число́ в дополни́тельном ко́де вчт. — cast a number in true complement form

представля́ть число́ в обра́тном ко́де вчт. — cast a number in base [radix] minus ones complement form

представля́ть число́ в прямо́м ко́де вчт. — cast a number in sign-and-magnitude [in sign-and-absolute value] form

представля́ть двои́чное число́ в дополни́тельном ко́де вчт. — cast a binary number in 2's complement form

представля́ть двои́чное число́ в обра́тном ко́де вчт. — cast a binary number in 1's complement form

представля́ть десяти́чное число́ в дополни́тельном ко́де вчт. — cast a decimal number in 10's complement form

представля́ть десяти́чное число́ в обра́тном ко́де вчт. — cast a decimal number in 9's complement form

сбра́сывать чи́сла (на счё́тной маши́не) — clear the calculator

составля́ть (такое-то) [m2]число́ — be in (such and such number )

число́ кана́лов (составля́ет) четы́ре — the channels are four in number

усека́ть число́ — truncate a number

3. (в таблицах) (не путать c №№ n/n) No. of …

4. (количество) quantity

проверя́ть число́, напр. болто́в — check, e. g., the bolts for correct count

число́ А́ббе — Abbe number

число́ Авога́дро — Avogadro number

арифмети́ческое число́ — arithmetic number, absolute number

а́томное число́ — atomic number

ацето́новое число́ — acetone number

число́ без зна́ка вчт. — unsigned number

безразме́рное число́ — dimensionless [nondimensional, pure] number

число́ Берну́лли — Bernoulli number

число́ Ве́бера — Weber number

веще́ственное число́ — real number

взаи́мно-просты́е чи́сла — coprime numbers, relatively prime numbers

водоро́дное число́ — hydrogen number

водяно́е число́ (калориметра) — water equivalent

волново́е число́ — wave number

гидрокси́льное число́ — hydroxyl number

число́ Грасго́фа — Grashoff number

число́ Гре́ца — Graetz number

двои́чно-десяти́чное число́ — binary coded decimal [BCD] number

двои́чное число́ — binary number

двои́чно-пятери́чное число́ — biquinary number

число́ двойны́х ходо́в в мину́ту — strokes per minute, s.p.m.

десяти́чное число́ — decimal (number)

десяти́чное, двои́чно-коди́рованное число́ — binary coded decimal [BCD] number

докрити́ческое число́ мех. — subcritical number

дро́бное число́ — fraction, fractional [broken] number

закрити́ческое число́ мех. — beyond-critical [supercritical] number

n

-зна́чное число́ — n -digit number

золото́е число́ — the golden number

изотопи́ческое число́ — isotopic number

имено́ванное число́ — denominate(d) number

иррациона́льное число́ — irrational (number), surd (number)

ио́дное число́ — iodine number, iodine value

число́ кавита́ции — cavitation number

кардина́льное число́ — cardinality, cardinal number

число́ Карма́на — Karman number

ква́нтовое число́ — quantum number

ква́нтовое, азимута́льное число́ — azimuthal quantum number

ква́нтовое, вну́треннее число́ — inner quantum number

ква́нтовое, гла́вное число́ — first [principal] quantum number

ква́нтовое, магни́тное число́ — magnetic quantum number

ква́нтовое, спи́новое число́ — spin quantum number

кислоро́дное число́ — oxygen number

кисло́тное число́ — acid number

ко́мплексное число́ — complex number

координацио́нное число́ — coordination number

кра́тное число́ — multiple

кру́глое число́ — round number

число́ Ло́кка — Lock number

число́ Лошми́дта — Loschmidt number

число́ Лью́иса — Lewis number

число́ М — Mach (number), M number

с число́м М — triplesonic

ма́ссовое число́ яд. физ. — mass [nucleon] number

число́ Ма́ха — Mach (number), M number

число́ Ма́ха, гиперзвуково́е — hypersonic M number

число́ Ма́ха, дозвуково́е — subsonic M number

число́ Ма́ха, околозвуково́е — transonic M number

число́ Ма́ха, сверхзвуково́е — supersonic [over-one] M number

число́ мест (в транспортном средстве, зрительном зале и т. п.) — seating capacity

мни́мое число́ — imaginary (number)

многозна́чное число́ — multidigit [multiplace] number

натура́льное число́ — natural number

число́ нейтрализа́ции — neutralization number

число́ нейтро́нов (в ядре) — neutron number

ненормализо́ванное число́ — nonnormalized number

неотрица́тельное число́ — nonnegative number

нечё́тное число́ — odd number

нормализо́ванное число́ — standard [normalized] number, a number in normal form

число́ Ну́ссельта — Nusselt number

число́ оборо́тов — rotational speed

число́ оборо́тов в мину́ту — revolutions per minute, r.p.m.

число́ оборо́тов дви́гателя — engine speed

число́ оборо́тов дви́гателя на холосто́м ходу́ — idling speed

число́ оборо́тов, уде́льное — specific speed

число́ обраще́ний, допусти́мое (в электростатических запоминающих трубках) — selection ratio

число́ обраще́нии ме́жду регенера́циями (в электростатическом запоминающем устройстве) — read-around number, read-around ratio

число́ окисле́ния — oxidation number

окта́новое число́ — octane number, octane value, octane rating

число́ омыле́ния — saponification number, saponification value

ордина́льное число́ — ordinal (number)

отвлечё́нное число́ — dimensionless [nondimensional, pure] number

относи́тельные чи́сла — directed [signed, algebraic] numbers

отрица́тельное число́ — negative number

число́ Пекле́ — Peclet number

переводно́е число́ (в физической химии) — transference number

переда́точное число́

1. мех. gear ratio

переда́точное число́ ме́жду зубча́тыми колё́сами А и Б равно́ 60: [m2]1 — gears A and B are geared by 60 to 1

переда́точное число́ от А к Б составля́ет 1:n (в сервомеханизмах) — A is geared 1: n to B

2. эл. gain

переда́точное число́ два к одному́ — two-to-one ratio, two-to-one gear

число́ переда́ч — number of gears

пе́рекисное число́ — peroxide number

число́ перено́са

1. (в физической химии) transport number

2. мат. carry quantity

пермангана́тное число́ (целлюлозы) — permanganate number

пифаго́ровы чи́сла — Pythagorean numbers, Pythagorean triples

подкоренно́е число́ — radicand

поря́дковое число́ — ordinal; ordinal [serial] number

число́ Пра́ндтля — Prandtl number

число́ проду́ба кож. — tanning number

просто́е число́ — prime number

равнооста́точные чи́сла — congruent numbers

число́ разря́дов в реги́стре — register length

рациона́льное число́ — rational (number)

число́ Рейно́льдса — Reynolds number

число́ Рейно́льдса, крити́ческое — transition Reynolds number

число́ Ре́йхерта—Ме́йссля — Reichert-Meissl number

рода́новое число́ — thiocyanogen number, thiocyanogen value

случа́йные чи́сла — random numbers

выраба́тывать случа́йные чи́сла вчт. — generate random numbers

составно́е число́ — composite number

спиртово́е число́ — alcohol number

число́ с пла́вающей запято́й — floating-point number

число́ Строуха́ла — Strouhal number

число́ Стэ́нтона — Stanton number

число́ с фикси́рованной запято́й — fixed-point number

число́ твё́рдости — hardness number

число́ твё́рдости по Брине́ллю — Brinell (hardness) number

число́ твё́рдости по Ви́ккерсу — Vickers (hardness) number

число́ твё́рдости по Моо́су — Moos (hardness) number

число́ твё́рдости по Ро́квеллу — Rockwell (hardness) number

число́ теорети́ческих таре́лок — theoretical plate number

число́ Фараде́я — Faraday constant, faraday

фигу́рные чи́сла — figurate numbers

фле́гмовое число́ хим. — reflux ratio

число́ Фру́да — Froude number

це́лое число́ — integer, integral [whole] number

це́лое, ко́мплексное число́ — complex [Gaussian] integer

цета́новое число́ — cetane number

чё́тное число́ — even number

чи́сто мни́мое число́ — pure imaginary (number)

число́ Ше́рвуда — Sherwood number

число́ Шми́дта — Schmidt number

число́ Э́йлера — Euler number

эфи́рное число́ — ester number, ester value

с.

1)numero m ( см. тж числа)

2)(количество) numero m, quantità f

3) хим. indice m

число натурального ряда, натуральное число — numero (di serie) naturale

- число Аббе

- чётное число

1) астр., матем., техн., физ. число́

- абсолютное число

- дробное число

- евклидово число

- единственное число

- экспозиционное число

2) матем.(количество) кі́лькість, -кості

- число классов

1) астр., матем., техн., физ. число́

- абсолютное число

- дробное число

- евклидово число

- единственное число

- экспозиционное число

2) матем.(количество) кі́лькість, -кості

- число классов

коли́чество, астр.; матем.; техн.; физ. число́

одно из осн. понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отд. предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) Ч., а затем идея о безграничности натурального ряда Ч.: 1, 2, 3, 4... Задачи измерения длин, площадей и т.п., а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) Ч. Понятие об отрицат. Ч. возникло у индейцев в 6-11 вв. Потребность в точном выражении отношений величин (напр., отношение диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных Ч., к-рые выражаются через рациональные Ч. лишь приближённо; рациональные и иррациональные Ч. составляют совокупность действит. Ч. Окончат, развитие теория действит. Ч. получила лишь во 2-й пол. 19 в. в связи с потребностями матем. анализа. В связи с решением квадратных и кубич. ур-ний в 16 в. были введены комплексные числа.